平行四边形的判定
一课一练·基础闯关
题组从两组对边的角度判定平行四边形
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【解析】选B.∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∠B=∠EDC,∠FDB=∠C,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠FDB,∠C=∠EDC,
∴BF=FD,DE=EC,
∴▱AFDE的周长等于AB+AC=10.
2.如图所示,AB,CD,EF互相平行,AE,GI,BF互相平行,则图形中有______个平行四边形 ( )
世纪金榜导学号10164138
A.5 B.7 C.8 D.9
【解析】
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选D.图中有9个平行四边形,有四边形ACHG,四边形ECHI,四边形IHDF,四边形HGBD,四边形ACDB,四边形GIFB,四边形DCEF,四边形AEIG,四边形AEFB.
【方法技巧】平行四边形的定义既可以作为平行四边形的判定用,又可以作为性质用.具体来说,若一个四边形的两组对边分别平行,则可判定这个四边形是平行四边形;若一个四边形是平行四边形,则它的两组对边一定分别平行.
3.用两根长40cm的木条,作为四边形的一组对边,再用两根长为30cm的木条作为四边形的另一组对边,拼成一个四边形,这个四边形是________,其根据是______________________.
【解析】根据题意得:该四边形的两组对边分别相等,所以这个四边形是平行四边形,其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
答案:平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形为________.
【解析】∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
∴(a2-2ac+c2)+(b2-2bd+d2)=0,
∴(a-c)2+(b-d)2=0,
所以a-c=0,b-d=0,a=c,b=d,
两组对边分别相等,所以是平行四边形.
答案:平行四边形
5.用两个全等的三角形最多能拼成________个不同的平行四边形.
【解析】当三角形是不等边三角形时,可以拼成3个不同的平行四边形;如下:
答案:3
6.如图,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
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世纪金榜导学号10164139
【证明】∵EC∥AB,∴∠EDA=∠DAB,
∵∠EDA=∠ABF,∴∠DAB=∠ABF,∴AD∥BC,
∵DC∥AB,∴四边形ABCD为平行四边形.
题组从一组对边的角度判定平行四边形
1.(2017·衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是 ( )
A.AB=CD B.BC=AD
C.∠A=∠C D.BC∥AD
【解析】选B.添加B,具备“一组对边平行,另一组对边相等”的条件,不能推断为平行四边形,B错误.
2.(2017·乐山中考)如图,延长▱ABCD的边AD到F,使DF=DC,延长CB到点E,使BE=BA,分别连接AE和CF.求证:AE=CF. 世纪金榜导学号10164140
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴AF∥EC,
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∵DF=DC,BE=BA,
∴BE=DF,
∴AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF.
3.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵AE⊥AD,CF⊥BC,
∴∠EAD=∠FCB=90°,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,
∵AE=CF,∴△AED≌△CFB(AAS),
∴AD=CB,
∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
4.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点.求证:四边形MNCD是平行四边形.
世纪金榜导学号10164141
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴MD=NC,MD∥NC,
∴四边形MNCD是平行四边形.
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(2017·镇江中考)如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.
【解析】(1)∵∠A=∠F,∴DF∥AC.
又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2.
∴DB∥EC.
∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形.
(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,
∵DB∥EC,∴∠DBN =∠BNC,
∴∠NBC =∠BNC,∴BC=CN.
∵四边形BCED为平行四边形,
∴BC=DE=2,∴CN=2.
【母题变式】
[变式一]如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠CAF=∠DFA,∠1=∠2,EN=BM,连接AD,CF.
求证:四边形ACFD是平行四边形.
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【证明】∵∠CAF=∠DFA,
∴DF∥AC.
又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2.
∴DB∥EC.
∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形,
∴BC=DE,
∵∠CAF=∠DFA,∠1=∠2,EN=BM,
∴△ABM≌△FEN,
∴AB=EF,∴AC=DF,又DF∥AC,
∴四边形ACFD是平行四边形.
[变式二]如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠CAF=∠DFA,∠1=∠2,DM=CN,连接AD,CF.
求证:四边形ACFD是平行四边形.
【证明】∵∠CAF=∠DFA,
∴DF∥AC.
又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2.
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∴DB∥EC.
∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形,
∴BC=DE,BD=CE,∵DM=CN,∴EN=BM,
∵∠CAF=∠DFA,∠1=∠2,EN=BM,
∴△ABM≌△FEN,
∴AB=EF,∴AC=DF,又DF∥AC,
∴四边形ACFD是平行四边形.
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