第21章一元二次方程单元检测
一、夯实基础
1．（2014 •江苏苏州中考）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
2.（2015·贵州安顺中考）已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x+35=0的根，则该三角形的周长是（ ）
A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
3．要使方程a-3x2+b+1x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
4．已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则ba+ab的值是（ ）
A.7 B.－7 C.11 D.－11
5．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．
6．（2015·兰州中考）若一元二次方程ax2－bx－2 015=0有一根为x=－1，则a+b=.
7．若|b－1|+a-4=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0（k≠0）有实数根，则k的取值范围是.
二、能力提升
8．(2016·湖北黄冈中考)若方程3x3-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=( )
A.-4 B.3 C.-43 D.43
9．（2015·兰州中考）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A.1+x2=1110 B.1+x2=109 C.1+2x=1110 D.1+2x=109
10. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389
11. (2016·山东威海中考)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则ba的值是( )
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A.14 B.-14 C.4 D.-1
12．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a + b)x2+ 2cx+ (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
13．若a+b+c=0且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．
14.若矩形的长是6cm，宽是3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．（2015·浙江丽水中考·4分）解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程_________.
16．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 .
三、课外拓展
17．在长为10cm，宽为8 cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.
18．若方程x2-2x+3(2-3)=0的两根是a和b（a>b），方程x2-4=0的正根是c，试判断以a，b，c为边长的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
19.已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-c-a=0 的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ABC的形状．
20．（2014•南京中考）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为.
（1）用含的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
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四、中考链接
1. (2016·河北中考)a,b,c为常数，且a-c2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.有一根为0
2. (2016·南京中考)设x1,x2是方程x2-4x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1,
则x1+x2=,m=.
3.（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
4.（2016·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案：
1. C 解析： 把A，B选项中a，b，c的对应值分别代入中，A，B选项中，故A，B选项中的方程都没有实数根；而D选项中，由得－1，因为，所以没有实数根；故只有C选项中的方程有实数根.
2. B解析：解方程x2-12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.
3. B 解析：由a-3≠0，得a≠3．
4. A 解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.
可以把a和b看作是方程x2－6x+4=0的两个实数根，
∴ a+b=6，ab=4，∴ ba+ab=b2+a2ab=(a+b)2-2abab=62-2×44=7.
5. D解析：根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2＝-ba=43.
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6. B解析：设此股票原价为a元，跌停后的价格为0.9a元.
如果每天的平均增长率为x，经过两天涨价后的价格为0.9a，
于是可得方程0.9a=a，即x满足的方程是(1+x)2=109.
7. B 解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
得去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，
今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）（1+x）=389(1+x)2（元），
根据关键语句“今年上半年发放了438元”，可得方程389(1+x)2=438.
8.A解析：∵ x1,x2是方程x2+ax－2b=0的两实数根，∴ x1+x2=－a=－2,x1·x2=－2b=1，
∴ a=2，b=－12，∴ ba=-122=14.
9.A 解析：因为Δ=2c2-4a+ba+b=4c+a+bc-a-b，
又因为a，b，c 分别是三角形的三边长，
所以c+a+b>0，c-a-bx2），
则x1+x2=-1，x1-x2=1，
解得x1=0，x2=-1．
（2）当x=0时，a+c×02+2b×0-(c-a)=0，
所以c=a.
当x=-1时，a+c×-12+2b×-1-c-a=0，
所以a=b.
所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形．
20．解：（1）.
（2）根据题意，得.
解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
故可变成本平均每年增长的百分率是10%．
中考链接;
1. B解析：∵ a-c2>a2+c2，∴ a2-2ac+c2>a2+c2,∴ -2ac>0,
∴ Δ＝b2-4ac>0,∴ 方程有两个不相等的实数根，∴ 选项B正确.
2.4 3解析：根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2= 4,x1x2=m，
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∵ x1+x2-x1x2=1，∴ 4-m=1，∴ m=3.
3. 解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
4. 解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
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x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=±，
∴|m|≤2不成立．
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