18.2.3 正方形
1.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( D )
(A)邻边相等 (B)四个角都是直角
(C)对角线相等 (D)对角线互相平分
2.从下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD中,增加一个能使菱形ABCD成为正方形,这个条件是( C )
(A)①或③ (B)②或③ (C)②或④ (D)①或④
3.(2018陕西模拟)如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE的长为( A )
(A)-1 (B)
(C)1 (D)1-
4.在四边形ABCD中,AC,BD相交于O点,下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是( D )
(A)OA=OC,OB=OD
(B)OA=OB=OC=OD
(C)OA=OC,OB=OD,AC=BD
(D)OA=OB=OC=OD,AC⊥BD
5.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点B的坐标为( A )
(A)(1-,+1)
(B)(-,+1)
(C)(-1,+1)
(D)(-1,)
6.(2018青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 .
4
7.(2018锦江模拟)如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE= 3 .
8.如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为 2 .
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添加一个条件 AC=BC(答案不唯一) ,使四边形BECF是正方形.
10.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB的中点,过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,求证:四边形CEDF是正方形.
证明:如图,连接CD.
因为DE⊥AC,DF⊥BC,
所以∠CED=90°,
∠CFD=90°,
因为∠ACB=90°,
所以四边形CEDF是矩形,
因为AC=BC,D是AB中点,
所以DC平分∠ACB,
因为DE⊥AC,DF⊥CB,
所以DE=DF,
4
所以四边形CEDF是正方形.
11.(2018重庆模拟)如图,已知点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.求证:EA⊥AF.
证明:因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=AD,∠ABF=∠ABC=∠D=∠BAD=90°,
在△BAF和△DAE中,
AB=AD,∠ABF=∠ADE,BF=DE,
所以△BAF≌△DAE,
所以∠FAB=∠EAD.
因为∠EAD+∠BAE=90°,
所以∠FAB+∠BAE=90°,
所以∠FAE=90°,
所以EA⊥AF.
12.(核心素养—数学推理)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB∶AD= 1∶2 时,四边形MENF是正方形.
13.如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF都是直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,求EF的长.
解:如图所示,在△ABE与△CDF中
所以△ABE≌△CDF(SSS),
所以∠ABE=∠CDF,
4
因为∠AEB=90°,∠BAD=90°,
所以∠ABE+∠BAE=90°,
∠DAG+∠BAE=90°,
所以∠ABE=∠DAG,
所以∠CDF=∠DAG,
所以∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°,
即∠DGA=90°,
在△ABE和△DAG中,
所以△ABE≌△DAG(AAS),
所以AE=DG=5,BE=AG=12,
所以GF=EG=AG-AE=12-5=7,
又因为∠HEG=∠EGF=∠GFH=90°,
所以四边形EGFH是正方形,
所以在Rt△EGF中,根据勾股定理,
得EF===7.
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