18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
1.(2018岱岳期中)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=31°,则∠OBC的度数为( C )
(A)31° (B)49° (C)59° (D)69°
2.(2018义乌模拟)如图,四边形ABCD是菱形,过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E,则下列式子不成立的是( A )
(A)BD=CE (B)DA=DE
(C)∠EAC=90° (D)∠ABC=2∠E
3.(2018泸州模拟)如图,已知菱形ABCD对角线AC,BD的长分别为
6 cm,8 cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( C )
(A)5 (B)2 (C) (D)
4.(2018山西模拟)如图所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F两点分别从A,B两点同时出发,以相同的速度分别向终点B,C移动,连接EF,在移动的过程中,EF的最小值为( D )
(A)1 (B) (C) (D)
5.已知一个菱形的周长为24 cm,有一个内角为60°,则这个菱形较短的一条对角线长为 6 cm .
6.如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60°的菱形,剪口与折痕所成的角α的度数应为 30°或60° .
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第6题图
7.(2018吉林模拟)如图,四边形ABCD是菱形,点A,B,C,D的坐标分别是(m,0),(0,n),(1,0),(0,2),则mn= 2 .
第7题图
8.(2018苏州期中)如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,CE∥BD,EB∥AC,连接OE.
(1)求证:OE=CB;
(2)如果OC∶OB=1∶2,CD=,求菱形的面积.
(1)证明:因为CE∥BD,EB∥AC,
所以四边形OCEB是平行四边形,
因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
即四边形OCEB是矩形,
所以OE=CB.
(2)解:因为四边形ABCD是菱形,所以BC=CD=,AC⊥BD,OC=OA,OB=OD,
在Rt△BOC中,OC∶OB=1∶2,由勾股定理得BC2=OC2+OB2,
设OC=x,则OB=2x,
即x2+(2x)2=()2,解得x=1,
所以OC=1,OB=2,
所以AC=2OC=2×1=2,BD=2OB=2×2=4,
所以菱形ABCD的面积为BD·AC=×4×2=4.
9.如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:DF=BE.
证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以∠ADC=∠ABC,CD=CB,
所以∠CDF=∠CBE,
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因为CE⊥AB,CF⊥AD,
所以∠CFD=∠CEB=90°.
在△CDF与△CBE中,
所以△CDF≌△CBE(AAS),
所以DF=BE.
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以AB∥CD,AC⊥BD,
所以AE∥CD,∠AOB=90°,
因为DE⊥BD,所以∠EDB=90°,
所以∠AOB=∠EDB,
所以DE∥AC,
所以四边形ACDE是平行四边形.
(2)解:因为四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
所以AO=AC=×8=4,
DO=BD=×6=3,AD=CD,
在Rt△AOD中, 根据勾股定理,
AD===5,
因为四边形ACDE是平行四边形,
所以AE=CD=AD=5,DE=AC=8,
所以△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
11.(拓展探究题)在▱ABCD中,E为BC边的中点,连接DE并延长,交AB边的延长线于点F.
(1)如图1,求证:BF=AB;
(2)如图2,G是AB边的中点,连接DG并延长,交CB边的延长线于点H,若四边形ABCD为菱形,试判断∠H与∠F的大小关系,并证明你的
结论.
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(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以DC=AB,DC∥AB,
所以∠C=∠EBF,∠CDE=∠F.
因为E是CB的中点,所以CE=BE.
在△CDE和△BFE中
∠CDE=∠F,∠C=∠EBF,EC=BE,
所以△CDE≌△BFE,所以BF=DC,
所以BF=AB.
(2)解:∠F=∠H.证明如下:
因为四边形ABCD是菱形,
所以AD=DC=CB=AB,∠A=∠C,AD∥CB,DC∥AB,
所以∠ADG=∠H,∠CDE=∠F.
因为E,G分别是CB,AB的中点,所以AG=CE.
在△ADG和△CDE中
AG=CE,∠A=∠C,AD=CD,
所以△ADG≌△CDE,所以∠CDE=∠ADG,
所以∠H=∠F.
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