第2课时 平行四边形对角线的性质
1.如图,在▱ABCD中,下列结论中错误的是( B )
(A)∠1=∠2
(B)BA=BC
(C)AO=CO
(D)AD=CB
2.(2018常州模拟)如图,▱ABCD中,AC=3 cm,BD=5 cm,则边AD的长可以是( A )
(A)3 cm (B)4 cm
(C)5 cm (D)6 cm
3.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,
∠ACB=30°,则BD的长是( D )
(A)2 (B)2 (C)4 (D)4
4.(2018朝阳模拟)如图,直线a∥b,则直线a,b之间的距离是( B )
(A)线段AB的长度
(B)线段CD的长度
(C)线段EF的长度
(D)线段GH的长度
5.(2018山西模拟)如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若△ABF的周长为6,则▱ABCD的周长为( B )
(A)6 (B)12 (C)18 (D)24
6.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于O点,则图中有 4 对全等三角形.
4
7.(2018荆州)如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为 14 .
8.(2018吉林模拟)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,DC边上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=16 cm2,S△BQC=25 cm2,则图中阴影部分的面积为 41 cm2.
9.(2018淮安)已知:如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别与AD,BC相交于点E,F.求证:AE=CF.
证明:因为▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,所以AO=CO,AD∥BC,所以∠EAC=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,
所以△AOE≌△COF,所以AE=CF.
10.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF.
(1)根据题意,补全图形;
(2)求证:BE=DF.
(1)解:补全图形,如图所示.
(2)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,
所以OB=OD,OA=OC.
又因为E,F分别是OA,OC的中点,
所以OE=OA,OF=OC,
所以OE=OF.
在△BEO与△DFO中,
OE=OF,∠BOE=∠DOF,OB=OD,
所以△BEO≌△DFO,
所以BE=DF.
11.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,AB=2,且AC∶BD=2∶3.
4
(1)求AC的长;
(2)求△AOD的面积.
解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=AC,OB=BD,
因为AC∶BD=2∶3,
所以OA∶OB=2∶3,
设OA=2x,OB=3x,
因为AC⊥AB,AB=2,
所以在Rt△BAO中,根据勾股定理,
OA2+AB2=OB2,
即(2x)2+(2)2=(3x)2,
解得x=2,所以OA=4,
所以AC=2OA=8.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OB=OD,
所以S△AOD=S△AOB=AB·OA
=×2×4
=4.
12.(易错题)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=BC,连接OE.下列结论:
①∠CAD=30°;②S▱ABCD=AB·AC;③OB=AB;④OC=AB,成立的个数有( C )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
13.(规律探究题)已知:如图(1),▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且分别与BC,AD相交于点E,F.
(1)求证:OE=OF.
4
(2)如图(2),若题目中的条件都不变,将EF向两方延长,与BA边的延长线交于点E,与DC边的延长线交于点F,(1)的结论是否成立?请说明你的理由.
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,AD∥BC,
所以∠OAF=∠OCE,
在△OAF和△OCE中,
所以△AOF≌△COE(ASA),
所以OE=OF.
(2)解:成立.理由:
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,AB∥CD,
所以∠E=∠F,
在△OAE和△OCF中,
所以△AOE≌△COF(AAS),
所以OE=OF.
4
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