第2课时 矩形的判定
1.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连接EG,HF,则图中矩形的个数共有( C )
(A)5个 (B)8个 (C)9个 (D)11个
2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
(A)AB∥CD,AB=CD,AC=BD
(B)∠A=∠B=∠D=90°
(C)AB=BC,AD=CD,且∠C=90°
(D)AB=CD,AD=BC,∠A=90°
3.如图,四边形ABCD中,AB=CD,且AB⊥BC,CD⊥BC,延长边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E的度数为( A )
(A)15° (B)20° (C)25° (D)30°
4.已知:线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.
以下是甲,乙两同学的作业:
甲:(1)以点C为圆心,AB长为半径画弧;
(2)以点A为圆心,BC长为半径画弧;
(3)两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如
图①.
乙:(1)连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
(2)连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如图②.
对于两人的作业,下列说法正确的是( A )
(A)两人都对 (B)两人都不对
(C)甲对,乙不对 (D)甲不对,乙对
5.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形时,原四边形ABCD必须满足的条件是( C )
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(A)AD⊥CD (B)AD=CD
(C)AC⊥BD (D)AC=BD
6.(2018龙东)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AC=BD或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°或 ∠DAB=90°或AB⊥BC等(答案不唯一) ,使平行四边形ABCD是矩形.
7.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向在矩形ABCD的边上运动,若点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则 4 s时,四边形ABPQ成为矩形.
8.如图,AB∥CD,∠A=∠B=90°,AB=3 cm,BC=2 cm,则AB与CD之间的距离为 2 cm.
9.如图,已知在△ABC中,D是BC的中点,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.如果AB=AC,试判断四边形ADCE是什么四
边形?
解:四边形ADCE为矩形.理由如下:
在△ABC中,因为AB=AC,D为BC的中点,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
因为NA为△ABC外角∠CAM的平分线,
所以∠MAE=∠CAE,
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.
因为CE⊥AN,
所以∠CEA=∠DAE=∠ADC=90°,
所以四边形ADCE是矩形.
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10.(2018云南模拟)如图,平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,EF⊥BD于点O,EF分别交AD,BC于点E,F.且AE=EO=DE,那么平行四边形ABCD是否是矩形,为什么?
解:平行四边形ABCD是矩形.理由如下:
如图,取DE的中点G,连接OG,
因为EF⊥BD,所以∠EOD=90°,
在Rt△DOE中,
OG=DE=EG=DG,
因为AE=EO=DE,
所以EO=OG=EG,
所以△OEG是等边三角形,
所以∠AEO=∠DGO=120°.
因为AE=DG,OE=OG,
所以△AOE≌△DOG,
所以AO=DO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AC=2AO=2DO=BD,
所以平行四边形ABCD是矩形.
11.(2018黄陂期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.
(1)证明:因为AO=CO,BO=DO,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以∠ABC=∠ADC.
因为∠ABC+∠ADC=180°,
所以∠ABC=∠ADC=90°,
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所以四边形ABCD是矩形.
(2)解:因为∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,
所以∠FDC=∠ADC=×90°=36°.
因为DF⊥AC,
所以∠DCO=90°-∠FDC=90°-36°=54°.
因为四边形ABCD是矩形,
所以OC=OD,
所以∠ODC=∠DCO=54°,
所以∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°.
12.(探究题)已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为AB上任意一点,PF⊥AC于F,PE⊥BC于E,则EF的最小值是 2.4 .
13.(拓展探究题)如图,在等边△ABC中,D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.取AB边的中点F,连接CF,CE,试判断四边形AFCE的形状.并说明理由.
解:四边形AFCE是矩形.
理由:
因为△ABC是等边三角形,且D是BC的中点,
所以DA平分∠BAC,即∠BAD=∠DAC=30°;
因为△DAE是等边三角形,
所以∠DAE=60°,
所以∠FAE=∠BAD+∠DAE=90°;
因为△BAC是等边三角形,F是AB的中点,
所以CF⊥AB,
所以∠AFC=90°,
所以AE∥CF,
因为△BAC是等边三角形,且AD,CF分别是BC,AB边的中线,
所以AD=CF,
又因为AD=AE,
所以CF=AE,
所以四边形AFCE是平行四边形,
因为∠AFC=90°,
所以四边形AFCE是矩形.
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