18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下结论不一定成立的是( D )
(A)∠BCD=90° (B)AC=BD
(C)OA=OB (D)OC=CD
2.(2018桐梓模拟)如图,矩形ABCD中,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为( B )
(A)2 (B)4
(C)2 (D)4
3.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
(A)4.8 (B)5 (C)6 (D)7.2
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,P为AD上任意一点,连接BP,点A关于PB的对称点为A′,连接DA′,则线段DA′的最小值为( D )
(A)3 (B) (C) (D)2-2
5.(2018杭州)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设
∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=
50°,则( A )
(A)(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°
(B)(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40°
(C)(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70°
4
(D)(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°
6.(2018牡丹区模拟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,F为CD上一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,BE=12,则AB的长为 18 .
7.矩形的对角线长为20,两邻边之比为3∶4,则矩形的面积
为 192 .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= 75° .
9.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B分别在y轴,x轴上,当B在x轴上运动时,A随之在y轴运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离
为 +1 .
10.(2018珠海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,AM=AN,∠N+∠CAN=180°.求证:MN=AC.
证明:因为∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,
所以CM=AM=AB,
所以∠MCA=∠MAC,
因为AM=AN,所以∠AMN=∠ANM.
因为∠N+∠CAN=180°,
所以AC∥MN,所以∠AMN=∠MAC,
所以∠MCA=∠ANM,
所以∠MCA+∠CAN=180°,
4
所以AN∥MC,又AC∥MN,
所以四边形ACMN是平行四边形,
所以MN=AC.
11.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,OB=4,求AB的长.
(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD,AB∥CD.
所以AB∥CE,
又因为BE∥AC,
所以四边形ABEC为平行四边形,
所以BE=AC,所以BD=BE.
(2)解:因为四边形ABCD为矩形,
所以OA=OB=4,∠ABC=90°,
又因为∠DBC=30°,所以∠ABO=60°,
所以△ABO为等边三角形,所以AB=OB=4.
12.(核心素养—直观想象)如图,在矩形ABCD中,AB=8 cm,BC=12 cm,点P从点B出发,以2 cm/秒的速度沿BC向终点C运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)当t=3时,求证:△ABP≌△DCP;
(2)当点P从点B开始运动的同时,点Q从点C出发,以v cm/秒的速度沿CD向终点D运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:当t=3时,BP=2×3=6,
所以PC=BC-BP=12-6=6,
所以BP=PC.
在矩形ABCD中,AB=CD,∠B=∠C=90°.
在△ABP与△DCP中
BP=PC,∠B=∠C,AB=CD,
所以△ABP≌△DCP.
(2)解:存在.①当BP=CQ,AB=PC时,
△ABP≌△PCQ,
因为AB=8,所以PC=8,
所以BP=BC-PC=12-8=4,
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所以2t=4,解得t=2.
所以CQ=BP=4.
即2v=4,解得v=2;
②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP.
因为PB=PC,
所以BP=PC=BC=×12=6,
所以2t=6,解得t=3.
所以CQ=AB=8,
即3v=8,解得v=.
综上所述,当v=2或v=时,△ABP与△PQC全等.
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