§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.函数y=2sin+1的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析函数y=2sin+1的最大值为2+1=3.
答案C
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=( )
A.- B. C. D.-
解析由=π,得ω=2,此时f(x)=sin.
∴f=sin.
答案B
3.函数y=3sin的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解析y=3sin=-3sin,当x∈时,x-,此时y=sin在区间上是增加的,从而y=-3sin在区间上是减少的,即单调递减区间是.
答案B
4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x∈[0,2π])的图像和直线y=的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析作出函数y=cosπ,x∈[0,2π]的图像及y=的图像可得,应选C.
答案C
5.
已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( )
- 8 -
A.ω=1,φ=
B.ω=1,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
解析∵T=4×=π,
∴ω==2,由五点作图法知2×+φ=,φ=-.
答案D
6.
如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
解析由图像可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数的解析式可设为y=sin(2x+φ).代入可得φ的一个值为,故图像中函数的一个解析式是y=sin,所以只需将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.
答案A
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )
A.y=4sin4x+ B.y=2sin2x++2
C.y=2sin4x++2 D.y=2sin4x++2
- 8 -
解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+,∴当k=1时,φ=,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.
答案D
8.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为 和 .
解析依据图像变换得函数g(x)=sin.
∵x∈,∴4x+,
∴当4x+时,g(x)取最大值;当4x+时,g(x)取最小值-.
答案 -
9.设函数f(x)=4sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是 .
解析由正弦曲线的图像可知,f(x1),f(x2)分别是函数f(x)=4sin的最小值、最大值,|x1-x2|的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,故|x1-x2|的最小值=T==2.
答案2
10.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图像的一部分如图所示,求函数f(x)的解析式.
解由图像可知,A=2,T=8.
∵T=8,∴ω=.
∴f(x)=2sin.
方法一:由图像过点(1,2)得,2sin=2,
∴sin=1.∴+φ=2kπ+(k∈Z),
- 8 -
即φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|0,
则φ至少为,即y=sincos 2x+为偶函数.
∴应将函数y=sin的图像平移至函数y=sin的图像处.
由函数图像平移方法知:y=sin的图像y=sin的图像,
∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数.
B组 能力提升
- 8 -
1.将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则y=g(x)图像的一条对称轴是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin的图像,再向右平移个单位长度,可得y=3sin=3sin的图像,故g(x)=3sin.
令2x-=kπ+,k∈Z,得到x=·π+,k∈Z.则得y=g(x)图像的一条对称轴是x=.故选C.
答案C
2.导学号93774030设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是( )
A. B. C. D.3
解析y=sin+2向右平移个单位长度,
得y1=sin+2,
即y1=sin+2,
又函数y与y1的图像重合,则-ω=2kπ(k∈Z),
∴ω=-k(k∈Z).
又ω>0,k∈Z,
∴当k=-1时,ω取得最小值.故选C.
答案C
3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
- 8 -
解析将函数f(x)=sin ωx的图像向右平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为f(x)=sin ω=sin.因为函数的图像经过点,所以sin=sin=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为2.
答案D
4.函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,且在这个区间上的最大值是,则ω可以为( )
A. B. C.2 D.4
解析因为函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,所以周期T≥π,所以00)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈(0,2π),f=2,求α的值.
解(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,
∴ω=2.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)f=2sin+1=2,
即sin.
∵0
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