习题课--函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
课后篇巩固探究
1.下列函数中,在上是减少的,且周期为π的是 ( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
解析C,D中函数周期为2π,所以错误.当x∈时,2x+,函数y=sin为减少的,而函数y=cos为增加的.
答案A
2.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
解析∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.
由已知条件知-≤-,∴ω≥.
答案B
3.将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x),则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析∵函数y=2sin的周期T==π,
∴将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x)=2sin=2sin,
∴令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.故选A.
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答案A
4.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.- B.- C. D.
解析函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度得y=sin=sin的图像.
又其为奇函数,则+φ=kπ,k∈Z,
解得φ=kπ-.
又|φ|0)取得最小值,则函数y=f( )
A.是奇函数且图像关于点对称
B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称
C.是奇函数且图像关于直线x=对称
D.是偶函数且图像关于直线x=π对称
解析∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴函数f(x)的图像关于直线x=对称,
∴由f(0)=f得φ=+kπ,k∈Z,
∴f(x)=Asin,k∈Z,
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∴f=Asin
=Asin(π-x+kπ)=
∴y=f是奇函数,且图像关于直线x=对称.
答案C
6.已知关于x的方程sin=k在区间上有两个不同的实数解,则k的取值范围为 .
解析设f(x)=sin.
∵x∈,∴≤2x+.
易知函数f(x)=sin上是增加的,在上是减少的,
∴当方程sin时,有f(0)≤0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是 .
解析将函数y=sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数为y=sin ω.
再由所得图像经过点,
可得sin ω=sinω=0,
∴ω=kπ,k∈Z.
故ω的最小值是2.
答案2
10.已知函数f(x)=2sin+1.
(1)当x=时,求f(x)的值;
(2)若存在区间[a,b](a,b∈R且a0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,f,求cos α,sin β的值.
解(1)由已知得=10π,∴ω=.
(2)∵f(x)=2cos,
∴f=2cos=-2sin α,
f=2cos=2cos β.
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又f=-,f,
∴sin α=,cos β=.
又∵α,β∈,
∴cos α=,sin β=.
12.导学号93774035已知f(x)=Asin(A>0)的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在上的值域.
解(1)因为A>0,所以由题意知A=6.
(2)由(1)得f(x)=6sin.
将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度后得到y=6sin=6sin的图像,
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图像,
因此g(x)=6sin.
因为x∈,
所以4x+.
故g(x)在上的值域为[-3,6].
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