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中考数学模试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分)
1.(3 分) 的值等于( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.
2.(3 分)下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a5 C.(a3)2=a5 D.a8n•a8n=2a8n
3.(3 分)如图,由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形,它的左视图是( )
A. B. C. D.
4.(3 分)下列说法正确的是( )
A.为了解苏州市中学生的睡眠情况,应该采用普查的方式
B.某种彩票的中奖机会是 1%,则买 100 张这种彩票一定会中奖
C.一组数据 1,5,3,2,3,4,8 的众数和中位数都是 3
D.若甲组数据的方差 s 甲 2=0.1,乙组数据的方差 s 乙 2=0.2,则乙组数据比甲组数据稳定
5.(3 分)如图所示,在△ABC 中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点 A 和点 C 为圆心,大于
AC 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则∠BAD 的度
数为( )
A.45° B. 55° C.60° D.65°
6.(3 分)在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则 cosB 的值为( )2
A. B. C. D.
7.(3 分)2017 年,在创建文明 城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树
木 30 万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多 20%,结果提前 5 天完成任务,
设原计划每天植树 x 万棵,可列方程是( )
A. ﹣ =5B. ﹣ =5
C. +5= D. ﹣ =5
8.(3 分)关于 x 的一元二次方程 x2+(a2﹣2a)x+a﹣1=0 的两个实数根互为相反数,则 a
的值为( )
A.2 B.0 C.1 D.2 或 0
9.(3 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点坐标
为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当 y>0 时,x 的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当 x<0 时,y 随 x 增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
10.(3 分)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为 1 个单位的半圆 O1,O2,O3,…组成
一条平滑的曲线,点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 个单位长度,
则第 2018 秒时,点 P 的坐标是点( )3
A.(2017,1) B.(2018,0) C.(2017,﹣1) D.(2019,0)
二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
11.(3 分)分解因式:a3﹣ab2= .
12.(3 分)一次函数 y=(2m﹣1)x+1,若 y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值范围是
13.(3 分)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠C=40°,则∠ABO 的大小为 .
14.(3 分)如图,在平面直角坐标系中,函数 (k>0)的图象经过点 A(1,2)、B 两
点,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AB、BC.若三角形 ABC 的面积为 3,则点 B 的坐
标为 .
15.(3 分)如图 1,在等边△ABC 中,点 D 是 BC 边的中点,点 P 为 AB 边上的一个动点,设
AP=x,PD=y,若 y 与 x 之间的函数关系的图象如图 2 所示,则等边△ABC 的面积为
三、解答题(共 7 小题,满分 55 分)4
16.(6 分)先化简,再求值:(1﹣ )÷ ,其中 x= ﹣1.
17.(6 分)为了切实关注、关爱贫困家庭学生,某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况
进行了统计,以便国家精准扶贫政策有效落实.统计发现班上贫困家庭学生人数分别有 2 名、
3 名、4 名、5 名、6 名,共五种情况.并将其制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)求该校一共有多少个班?并将条形图补充完整;
(2)某爱心人士决定从 2 名贫困家庭学生的这些班级中,任选两名进行帮扶,请用列表法
或树状图的方法,求出被选中的两名学生来自同一班级的概率.
18.(7 分)如图,将矩形 ABCD 折叠,使 C 点与 A 点重合,折痕为 EF.
(1)判断四边形 AFCE 的形状,并说明理由;
(2)若 AB=4,BC=8,求折痕 EF 的长.
19.(8 分)如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED,从办公楼顶端 A 测
得旗杆顶端 E 的俯角 α 是 45°,旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米,梯坎坡
长 BC 是 12 米,梯坎坡度 i=1: ,求大楼 AB 的高度是多少?(精确到 0.1 米,参考数据:
≈1.41, ≈1.73, ≈2.45)
20 .( 8 分 ) 已 知 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 以 AB 为 直 径 的 ⊙ O 经 过 点 D , ∠5
DAB=45°.
(Ⅰ)如图①,判断 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)如图②,E 是⊙O 上一点,且点 E 在 AB 的下方,若⊙O 的半径为 3cm,AE=5cm,求点 E
到 AB 的距离.
21.(9 分)阅读下面 的材料:
如果函数 y=f(x),满足:对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1,x2
(1)若 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)是增函数;
(2)若 x1<x2,都有 f(x1)>f(x2),则称 f(x)是减函数.
例题:证明函数 f(x)= (x>0)是减函数.
证明:假设 x1<x2,且 x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)= ﹣ =
∵x1<x2,且 x1>0,x2>0
∴x2﹣x1>0,x1x2>0
∴ >0,即 f(x1)﹣f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴函数 f(x)= (x>0)是减函数.
根据以上材料,解答下面的问题:
(1)函数 f(x)= (x>0),f(1)= =1,f(2)= = .
计算:f(3)= ,f(4)= ,猜想 f(x)= (x>0)是 函数(填“增”
或“减 ”);
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.
22.(11 分)如图,抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与 y 轴交于6
点 C
(1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的函数表达式;
(2)抛物线上是否存在点 P,使得△BCP 是以 BC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所
有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过抛物线上动点 Q 作 QE 垂直于点 E,交直线 BC 于点 D,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为
F,连接 EF,直接写出△DEF 外接圆的最小直径.
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参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分)
1.
【考点】22:算术平方根.
【分析】此题考查的是 9 的算术平方根,需注意的是算术平方根必为非负数.
【解答】解:∵ =3,
故选:A.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,一个正数只有一个算术平方根,0 的算术平方
根是 0.
2.
【考点】47:幂的乘方与积的乘方;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法.
【分析】根据合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的
指数不变;同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底
数不变,指数相乘进行计算即可.
【解答】解:A、a2 和 a3 不是同类项,不能合并,故原题计算错误;
B、a2•a3=a5,故原题计算正确;
C、(a3)2=a6,故原题计算错误;
D、a8n•a8n=a16n,故原题计算错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方,关键是掌握各计算法
则.
3.
【考点】U2:简单组合体的三视图.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中.
【解答】解:从左面看易得第一层有 2 个正方形,第二层最左边有一个正方形.
故选:B.8
【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.
4.
【考点】X3:概率的意义;V2:全面调查与抽样调查;W4:中位数;W5:众数;W7:方
差.
【分析】根据抽样抽查、概率的定义、中位数以及方差的定义进行判断.
【解答】解:A、为了解苏州市中学生的睡眠情况,应该采用抽样调查的方式,故本选项错
误;
B、某种彩票的中奖机会是 1%,则买 100 张这种彩票中奖的可能性很大,但不是一定中奖,
故本选项错误;
C、一组数据 1,5,3,2,3,4,8 的众数和中位数都是 3,故本选项正确;
D、方差反映了一组数据的波动情况,方差越小数据越稳定,故本选项错误.
故选:C.
【点评】此题考查了概率、抽样调查、众数、中位数、方差,中位数是将一组数据从小到大
(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡
量一组数据波动大小的量.
5.
【考点】N2:作图—基本作图;KG:线段垂直平分线的性质.
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°,由中垂线性质知 DA=DC,即∠DAC=∠C=30°,从
而得出答案.
【解答】解:在△ABC 中,∵∠B=55°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=95°,
由作图可知 MN 为 AC 的中垂线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=30°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=65°,
故选:D.
【点评】本题主要考查作图﹣基本作 图,熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.
9
6.
【考点】KQ:勾股定理;T1:锐角三角函数的定义.
【分析】先设小正方形的边长为 1,然后找个与∠ B 有关的 Rt△ABD,算出 A B 的长,再求
出 BD 的长,即可求出余弦值.
【解答】解:设小正方形的边长为 1,则 AB=4 ,BD=4,
∴cos∠B= = .
故选:B.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识,此题比较简单,关键是找出
与角 B 有关的直角三角形.
7.
【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程.
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程.
【解答】解:设原计划每天植树 x 万棵,需要 天完成,
∴实际每天植树(x+0.2x)万棵,需要 天完成,
∵提前 5 天完成任务,
∴ ﹣ =5,
故选:A.
【点评】本题考查分式方程的应用,解题的关键是利用题目中的等量关系,本题属于基础题
型.
8.
【考点】AB:根与系数的关系.
【分析】设方程的两根为 x1,x2,根据根与系数的关系得 a2﹣2a=0,解得 a=0 或 a=2,然后10
利用判别式的意义确定 a 的取值.
【解答】解:设方程的两根为 x1,x2,
根据题意得 x1+x2=0,
所以 a2﹣2a=0,解得 a=0 或 a=2,
当 a=2 时,方程化为 x2+1=0,△=﹣4<0,故 a=2 舍去,
所以 a 的值为 0.
故选:B.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两
根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .也考查了根的判别式.
9.
【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与
x 轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1
时函数值为 0 可得到 3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在 x 轴上方所对应 的自变量
的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.
【解答】解:∵抛物线与 x 轴有 2 个交点,
∴b2﹣4ac>0,所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,
而点(﹣1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1,x2=3,所以②正确;
∵x=﹣ =1,即 b=﹣2a,
而 x=﹣1 时,y=0,即 a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,所以③错误;
∵抛物线与 x 轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),
∴当﹣1<x<3 时,y>0,所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,
∴当 x<1 时,y 随 x 增大而增大,所以⑤正确.
故选:B.11
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次
项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线
向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>
0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右;常数项 c 决定抛物
线与 y 轴交点位置:抛物线与 y 轴交于(0,c);抛物线与 x 轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac
>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b2﹣4ac
<0 时,抛物线与 x 轴没有交点.
10.
【考点】D2:规律型:点的坐标.
【分析】以时间为点 P 的下标,根据半圆的半径以及部分点 P 的坐标可找出规律“P4n(n,
0),P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+ 2,0),P4n+3(4n+3,﹣1)”,依此规律即可得出第 2018
秒时,点 P 的坐标.
【解答】解:∵圆的半径都为 1,
∴半圆的周长=π,
以时间为点 P 的下标.
观察发现规律:P0(0,0),P 1(1,1),P 2(2,0),P 3(3,﹣1),P4(4,0),P 5(5 ,
1),…,
∴P4n(n,0),P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,﹣1).
∵2018=504×4+2,
∴第 2018 秒时,点 P 的坐标为(2018,0),
故选:B.
【点评】本题考查的是点的坐标规律,解题的关键是找出点 P 的变化规律“P4n(n,0),P4n+1
(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,﹣1)”.
二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)
11.
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式 a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:a3﹣ab212
=a(a2﹣b2)
=a(a+b)(a﹣b).
故答案为:a(a+b)(a﹣b).
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关
键.
12.
【考点】F7:一次函数图象与系数的关系.
【分析】根据图象的增减性来确定(m+2)的取值范围,从而求解.
【解答】解:∵一次函数 y=(2m﹣1)x+1,y 随 x 的增大而增大,
∴2m﹣1>0,
解得,m> .
故答案是:m> .
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系.一次函数值 y 随 x 的增大而减小⇔k<0;
函数值 y 随 x 的增大而增大⇔k>0.
13.
【考点】MA:三角形的外接圆与外心.
【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB=2∠C=80°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内
角和计算∠OBA 的度数.
【解答】解:∠AOB=2∠C=80°,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB= (180°﹣80°)=50°.
故答案为 50°.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质.也
考查了圆周角定理.
14.
【考点】GB:反比例函数综合题.13
【分析】由于函数 y= (x>0 常数 k>0)的图象经过点 A(1,2),把(1,2)代入解析式
求出 k=2,然后得到 AC=2.设 B 点的横坐标是 m,则 AC 边上的高是(m﹣1),根据三角形的
面积公式得到关于 m 的方程,从而求出,然后把 m 的值代入 y= ,即可求得 B 的纵坐标,
最后就求出了点 B 的坐标.
【解答】解:∵函数 y= (x>0、常数 k>0)的图象经过点 A(1,2),
∴把(1,2)代入解析式得到 2= ,
∴k=2,
设 B 点的横坐标是 m,
则 AC 边上的高是(m﹣1),
∵AC=2
∴根据三角形的面积公式得到 ×2•(m﹣1)=3,
∴m=4,把 m=4 代入 y= ,
∴B 的纵坐标是 ,
∴点 B 的坐标是(4, ).
故答案为:(4, ).
【点评】解答本题的关键是根据已知坐标系中点的坐标,可以表示图形中线段的长度.根据
三角形的面积公式即可解答.
15.
【考点】E7:动点问题的函数图象.
【分析】根据函数图象可以求得 BC 的长,从而可以求得△ABC 的面积.
【解答】解:由图象可得,
点 D 到 AB 的最短距离为 ,
∴BD= =2,
∵点 D 是 BC 的中点,
∴BC=4,14
∴△ABC 的面积是: =4
故答案为:4 .
【点评】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,求出等边三角形的边
长,利用数形结合的思想解答.
三、解答题(共 7 小题,满分 55 分)
16.
【考点】6D:分式的化简求值.
【分析】先根据分式混合元算的法则把原式进行化简,再代入进行计算即可.
【解答】解:原式= •
= ,
当 x= ﹣1 时,原式=
【点评】本题考查了分式的化简求值.解题的关键是对分式的分子分母要因式分解.
17.
【考点】X6:列表法与树状图法;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.
【分析】(1)根据留守儿童有 4 名的班级有 6 个,占 30%,可求得有留守儿童的班级总数,
再求得留守儿童是 2 名的班数;
(2)由(1)得只有 2 名留守儿童的班级有 2 个,共 4 名学生.设 A1,A2 来自一个班,B1,
B2 来自一个班,列表可得出来自一个班的共有 4 种情况,继而可得所选两名留守儿童来自
同一个班级的概率.
【解答】解:(1)该校的班级共有 6÷30%=20(个),
有 2 名贫困生的班级有 20﹣5﹣6﹣5﹣2=2(个),
补全条形图如图:15
(2)根据题意,将两个班级 4 名学生分别记作 A1、A2、B1、B2,
列表如下:
A1 A2 B1 B2
A1 A1,A2 A1,B1 A1,B2
A2 A2,A1 A2,B1 A2,B2
B1 B1,A1 B1,A2 B1,B2
B2 B2,A1 B2,A2 B2,B1
由上表可知,从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有 12 种等可能结果,其中被选中的两
名学生来自同一班级的有 4 种结果,
∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为 = .
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图、树状图的画法以及规律公式;读懂统计图,
从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目
的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
18.
【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.
【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形,即得结论;
(2)可设 BF 的长为 x,利用勾股定理求出 BF,CF 即可得 EF 的长.
【解答】解:(1)四边形 AFCE 是菱形,
理由是:由题意可知:AF=CF,AE=CE,且∠AFE=∠CFE,
∵矩形 ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠AEF=∠CFE,16
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=CF=CE,
∴四边形 AFCE 是菱形;
(2)设 BF=x,则 AF=CF=8﹣x,
在△ABF 中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,
即 42+x2=(8﹣x)2,
x=3,
∴AF=5,
∴AC= = =4 ,
∵四边形 AFCE 是菱形,
∴AC⊥EF,
由 × ,
EF=2 .
【点评】本题考查了翻折变换,考查了菱形的判定以及矩形的性质,掌握菱形性质的判定,
会利用勾股定理求解一些简单的直角三角形.
19.
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;T9:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问
题.
【分析】延长 AB 交 DC 于 H,作 EG⊥AB 于 G,则 GH=DE=15 米,EG=DH,设 BH=x 米,则 CH=
x 米,在 Rt△BCH 中,BC=12 米,由勾股定理得出方程,解方程求出 BH=6 米,CH=6 米,
得出 BG、EG 的长度,证明△AEG 是等腰直角三角形,得出 AG=EG=6 +20(米),即可得出
大楼 AB 的高度.
【解答】解:延长 AB 交 DC 于 H,作 EG⊥AB 于 G,如图所示:17
则 GH=DE=15 米,EG=DH,
∵梯坎坡度 i=1: ,
∴BH:CH=1: ,
设 BH=x 米,则 CH= x 米,
在 Rt△BCH 中,BC=12 米,
由勾股定理得:x2+( x)2=122,
解得:x=6,
∴BH=6 米,CH=6 米,
∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9(米),EG=DH=CH+CD=6 +20(米),
∵∠α=45°,
∴∠EAG=90°﹣45°=45°,
∴△AEG 是等腰直角三角形,
∴AG=EG=6 +20(米),
∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4(米).
故大楼 AB 的高度大约是 39.4 米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题;通过作辅助 线运用勾股定理
求出 BH,得出 EG 是解决问题的关键.
20.
【考点】MD:切线的判定;KQ:勾股定理.
【分析】(1)连接 OD,则∠AOD 为直角, 由四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB∥DC.从而得
出∠CDO=90°,即可证出答案.
(2)作 EF⊥AB 于 F,连接 BE,根据圆周角定理得∠AEB=90°,然后根据勾股定理求得 BE,
然后根据 sin∠BAE= = 求得 EF 即可.
【解答】解:(1)CD 与圆 O 相切.18
证明:如图①,连接 OD,则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥DC.
∴∠CDO=∠AOD=90°.
∴OD⊥CD.
∴CD 与圆 O 相切.
(2)如图②,作 EF⊥AB 于 F,连接 BE,
∵AB 是圆 O 的直径,
∴∠AEB=90°,AB=2×3=6.
∵AE=5,
∴BE= = ,
∵sin∠BAE= = .
∴ =
∴EF= .
【点评】本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的性质以及圆周角定理,注意辅助线的
作法是解此题的关键.
21.
【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征;G4:反比例函数的性质.19
【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题;
(2)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.
【解答】解:(1)∵f(x)= (x>0),
∴f(3)= = ,f(4)= = ,
故答案为: , ,减;
(2)证明:假设 x1<x2,且 x1>0,x2>0
f(x1)﹣f(x2)= = ,
∵x1<x2,且 x1>0,x2>0,
∴ >0, >0,
∴ >0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴函数 f(x)= (x>0)是减函数.
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质,解答本题的关键是明
确题意,找出所求问题需要的条件,利用反比例函数的性质解答.
22.
【 考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)利用交点式写出抛物线解析式;
(2)先确定 C(0,3),则判断△OBC 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,过 点 C 作
CM⊥BC 交 x 轴于点 M,作 BN⊥BC 交 y 轴于 N,如图 1,利用△ONB 和△OCM 都为等腰直角三
角形得到 M(﹣3,0),N(0,﹣3),利用直线平移得到直线 MC 的解析式为 y=x+3,直线 BN
的解析式为 y=x﹣3,然后分别解方程组 和 得满足条件的 P
点坐标;20
(3)连接 OD,作 OH⊥BC,如图 2,利用等腰直角三角形的性质得到 OH= ,再根据圆周
角定理得到 EF 为△DEF 外接圆的直径,而 OD=EF,所以当 OD 与 BC 垂直时,OD 的值最小,EF
最小,此时 OD=OH= ,从而得到△DEF 外接圆的最小直径.
【解答】解:(1)抛物线解析式为 y=﹣(x+1)(x﹣3),
即 y=﹣x2+2x+3;
(2)存在.
当 x=0 时,y=﹣x2+2x+3=3,则 C(0,3),
∵OB=OC=3,
∴△OBC 为等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
过点 C 作 CM⊥BC 交 x 轴于点 M,作 BN⊥BC 交 y 轴于 N,如图 1,
易得△ONB 和△OCM 都为等腰直角三角形,
∴OM=OC=3,ON=OB=3,
∴M(﹣3,0),N(0,﹣3),
∴直线 MC 的解析式为 y=x+3,直线 BN 的解析式为 y=x﹣3,
解方程组 得 或 ,此时 P 点坐标为(1,4);
解方程组 得 或 ,此时 P 点坐标为(﹣2,﹣5);
综上所述,当 P 点坐标为(1,4)或(﹣2,﹣5)时,使得△BCP 是以 BC 为直角边的直角
三角形;
(3)连接 OD,作 OH⊥BC,如图 2,
∵△OBC 为等腰直角三角形,
∴BC= OB=3 ,
∴OH= BC= ,
∵△DEF 为直角三角形,
∴EF 为△DEF 外接圆的直径,
易得四边形 DEOF 为矩形,
∴OD=EF,21
当 OD 与 BC 垂直时,OD 的值最小,此时 OD=OH= ,
∴△DEF 外接圆的最小直径为 .
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数
的性质、等腰直角三角形的性质和直角三角形的外接圆;会利用待定系数法求函数解析式,
会通过解方程组确定两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决
数学问题.