2019年中考数学模试试题（8）（含解析）.doc

1 中考数学模试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分） 的值等于（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 2．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a5 C．（a3）2=a5 D．a8n•a8n=2a8n 3．（3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）下列说法正确的是（　　） A．为了解苏州市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 B．某种彩票的中奖机会是 1%，则买 100 张这种彩票一定会中奖 C．一组数据 1，5，3，2，3，4，8 的众数和中位数都是 3 D．若甲组数据的方差 s 甲 2=0.1，乙组数据的方差 s 乙 2=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定 5．（3 分）如图所示，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠BAD 的度 数为（　　） A．45° B． 55° C．60° D．65° 6．（3 分）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（　　）2 A． B． C． D． 7．（3 分）2017 年，在创建文明 城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树 木 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 20%，结果提前 5 天完成任务， 设原计划每天植树 x 万棵，可列方程是（　　） A． ﹣ =5B． ﹣ =5 C． +5= D． ﹣ =5 8．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为（　　） A．2 B．0 C．1 D．2 或 0 9．（3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标 为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④当 y＞0 时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 10．（3 分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位的半圆 O1，O2，O3，…组成 一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度， 则第 2018 秒时，点 P 的坐标是点（　　）3 A．（2017，1） B．（2018，0） C．（2017，﹣1） D．（2019，0） 　 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．（3 分）分解因式：a3﹣ab2=　 　． 12．（3 分）一次函数 y=（2m﹣1）x+1，若 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是　 　 13．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠C=40°，则∠ABO 的大小为　 　． 14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 （k＞0）的图象经过点 A（1，2）、B 两 点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AB、BC．若三角形 ABC 的面积为 3，则点 B 的坐 标为　 　． 15．（3 分）如图 1，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上的一个动点，设 AP=x，PD=y，若 y 与 x 之间的函数关系的图象如图 2 所示，则等边△ABC 的面积为　 　 　 三、解答题（共 7 小题，满分 55 分）4 16．（6 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ﹣1． 17．（6 分）为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况 进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有 2 名、 3 名、4 名、5 名、6 名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图： （1）求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整； （2）某爱心人士决定从 2 名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法 或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率． 18．（7 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，折痕为 EF． （1）判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由； （2）若 AB=4，BC=8，求折痕 EF 的长． 19．（8 分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测 得旗杆顶端 E 的俯角 α 是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡 长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i=1： ，求大楼 AB 的高度是多少？（精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45） 20 ．（ 8 分 ） 已 知 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 以 AB 为 直 径 的 ⊙ O 经 过 点 D ， ∠5 DAB=45°． （Ⅰ）如图①，判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）如图②，E 是⊙O 上一点，且点 E 在 AB 的下方，若⊙O 的半径为 3cm，AE=5cm，求点 E 到 AB 的距离． 21．（9 分）阅读下面 的材料： 如果函数 y=f（x），满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2 （1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数； （2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数． 例题：证明函数 f（x）= （x＞0）是减函数． 证明：假设 x1＜x2，且 x1＞0，x2＞0 f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ∵x1＜x2，且 x1＞0，x2＞0 ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0 ∴ ＞0，即 f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数 f（x）= （x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： （1）函数 f（x）= （x＞0），f（1）= =1，f（2）= = ． 计算：f（3）=　 　，f（4）=　 　，猜想 f（x）= （x＞0）是　 　函数（填“增” 或“减 ”）； （2）请仿照材料中的例题证明你的猜想． 22．（11 分）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于6 点 C （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； （2）抛物线上是否存在点 P，使得△BCP 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所 有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过抛物线上动点 Q 作 QE 垂直于点 E，交直线 BC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF，直接写出△DEF 外接圆的最小直径． 　7 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1． 【考点】22：算术平方根． 【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数． 【解答】解：∵ =3， 故选：A． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0 的算术平方 根是 0． 　 2． 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法． 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的 指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底 数不变，指数相乘进行计算即可． 【解答】解：A、a2 和 a3 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； B、a2•a3=a5，故原题计算正确； C、（a3）2=a6，故原题计算错误； D、a8n•a8n=a16n，故原题计算错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是掌握各计算法 则． 　 3． 【考点】U2：简单组合体的三视图． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选：B．8 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 　 4． 【考点】X3：概率的意义；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；W5：众数；W7：方 差． 【分析】根据抽样抽查、概率的定义、中位数以及方差的定义进行判断． 【解答】解：A、为了解苏州市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项错 误； B、某种彩票的中奖机会是 1%，则买 100 张这种彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖， 故本选项错误； C、一组数据 1，5，3，2，3，4，8 的众数和中位数都是 3，故本选项正确； D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了概率、抽样调查、众数、中位数、方差，中位数是将一组数据从小到大 （或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡 量一组数据波动大小的量． 　 5． 【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质． 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知 DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从 而得出答案． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠B=55°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=95°， 由作图可知 MN 为 AC 的中垂线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=65°， 故选：D． 【点评】本题主要考查作图﹣基本作 图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 　9 6． 【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义． 【分析】先设小正方形的边长为 1，然后找个与∠ B 有关的 Rt△ABD，算出 A B 的长，再求 出 BD 的长，即可求出余弦值． 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB=4 ，BD=4， ∴cos∠B= = ． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出 与角 B 有关的直角三角形． 　 7． 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程． 【解答】解：设原计划每天植树 x 万棵，需要 天完成， ∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要 天完成， ∵提前 5 天完成任务， ∴ ﹣ =5， 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题 型． 　 8． 【考点】AB：根与系数的关系． 【分析】设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得 a2﹣2a=0，解得 a=0 或 a=2，然后10 利用判别式的意义确定 a 的取值． 【解答】解：设方程的两根为 x1，x2， 根据题意得 x1+x2=0， 所以 a2﹣2a=0，解得 a=0 或 a=2， 当 a=2 时，方程化为 x2+1=0，△=﹣4＜0，故 a=2 舍去， 所以 a 的值为 0． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两 根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= ．也考查了根的判别式． 　 9． 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1 时函数值为 0 可得到 3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在 x 轴上方所对应 的自变量 的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线 x=1， 而点（﹣1，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣1，x2=3，所以②正确； ∵x=﹣ =1，即 b=﹣2a， 而 x=﹣1 时，y=0，即 a﹣b+c=0， ∴a+2a+c=0，所以③错误； ∵抛物线与 x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3 时，y＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B．11 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线 向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物 线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac ＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 　 10． 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【分析】以时间为点 P 的下标，根据半圆的半径以及部分点 P 的坐标可找出规律“P4n（n， 0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+ 2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”，依此规律即可得出第 2018 秒时，点 P 的坐标． 【解答】解：∵圆的半径都为 1， ∴半圆的周长=π， 以时间为点 P 的下标． 观察发现规律：P0（0，0），P 1（1，1），P 2（2，0），P 3（3，﹣1），P4（4，0），P 5（5 ， 1），…， ∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）． ∵2018=504×4+2， ∴第 2018 秒时，点 P 的坐标为（2018，0）， 故选：B． 【点评】本题考查的是点的坐标规律，解题的关键是找出点 P 的变化规律“P4n（n，0），P4n+1 （4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”． 　 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：a3﹣ab212 =a（a2﹣b2） =a（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a（a+b）（a﹣b）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关 键． 　 12． 【考点】F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解． 【解答】解：∵一次函数 y=（2m﹣1）x+1，y 随 x 的增大而增大， ∴2m﹣1＞0， 解得，m＞ ． 故答案是：m＞ ． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．一次函数值 y 随 x 的增大而减小⇔k＜0； 函数值 y 随 x 的增大而增大⇔k＞0． 　 13． 【考点】MA：三角形的外接圆与外心． 【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB=2∠C=80°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内 角和计算∠OBA 的度数． 【解答】解：∠AOB=2∠C=80°， ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB= （180°﹣80°）=50°． 故答案为 50°． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质．也 考查了圆周角定理． 14． 【考点】GB：反比例函数综合题．13 【分析】由于函数 y= （x＞0 常数 k＞0）的图象经过点 A（1，2），把（1，2）代入解析式 求出 k=2，然后得到 AC=2．设 B 点的横坐标是 m，则 AC 边上的高是（m﹣1），根据三角形的 面积公式得到关于 m 的方程，从而求出，然后把 m 的值代入 y= ，即可求得 B 的纵坐标， 最后就求出了点 B 的坐标． 【解答】解：∵函数 y= （x＞0、常数 k＞0）的图象经过点 A（1，2）， ∴把（1，2）代入解析式得到 2= ， ∴k=2， 设 B 点的横坐标是 m， 则 AC 边上的高是（m﹣1）， ∵AC=2 ∴根据三角形的面积公式得到 ×2•（m﹣1）=3， ∴m=4，把 m=4 代入 y= ， ∴B 的纵坐标是 ， ∴点 B 的坐标是（4， ）． 故答案为：（4， ）． 【点评】解答本题的关键是根据已知坐标系中点的坐标，可以表示图形中线段的长度．根据 三角形的面积公式即可解答． 　 15． 【考点】E7：动点问题的函数图象． 【分析】根据函数图象可以求得 BC 的长，从而可以求得△ABC 的面积． 【解答】解：由图象可得， 点 D 到 AB 的最短距离为 ， ∴BD= =2， ∵点 D 是 BC 的中点， ∴BC=4，14 ∴△ABC 的面积是： =4 故答案为：4 ． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出等边三角形的边 长，利用数形结合的思想解答． 　 三、解答题（共 7 小题，满分 55 分） 16． 【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合元算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可． 【解答】解：原式= • = ， 当 x= ﹣1 时，原式= 【点评】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子分母要因式分解． 　 17． 【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图． 【分析】（1）根据留守儿童有 4 名的班级有 6 个，占 30%，可求得有留守儿童的班级总数， 再求得留守儿童是 2 名的班数； （2）由（1）得只有 2 名留守儿童的班级有 2 个，共 4 名学生．设 A1，A2 来自一个班，B1， B2 来自一个班，列表可得出来自一个班的共有 4 种情况，继而可得所选两名留守儿童来自 同一个班级的概率． 【解答】解：（1）该校的班级共有 6÷30%=20（个）， 有 2 名贫困生的班级有 20﹣5﹣6﹣5﹣2=2（个）， 补全条形图如图：15 （2）根据题意，将两个班级 4 名学生分别记作 A1、A2、B1、B2， 列表如下： A1 A2 B1 B2 A1 A1，A2 A1，B1 A1，B2 A2 A2，A1 A2，B1 A2，B2 B1 B1，A1 B1，A2 B1，B2 B2 B2，A1 B2，A2 B2，B1 由上表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有 12 种等可能结果，其中被选中的两 名学生来自同一班级的有 4 种结果， ∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为 = ． 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图、树状图的画法以及规律公式；读懂统计图， 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目 的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 18． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，即得结论； （2）可设 BF 的长为 x，利用勾股定理求出 BF，CF 即可得 EF 的长． 【解答】解：（1）四边形 AFCE 是菱形， 理由是：由题意可知：AF=CF，AE=CE，且∠AFE=∠CFE， ∵矩形 ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠AEF=∠CFE，16 ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=CF=CE， ∴四边形 AFCE 是菱形； （2）设 BF=x，则 AF=CF=8﹣x， 在△ABF 中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， 即 42+x2=（8﹣x）2， x=3， ∴AF=5， ∴AC= = =4 ， ∵四边形 AFCE 是菱形， ∴AC⊥EF， 由 × ， EF=2 ． 【点评】本题考查了翻折变换，考查了菱形的判定以及矩形的性质，掌握菱形性质的判定， 会利用勾股定理求解一些简单的直角三角形． 　 19． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问 题． 【分析】延长 AB 交 DC 于 H，作 EG⊥AB 于 G，则 GH=DE=15 米，EG=DH，设 BH=x 米，则 CH= x 米，在 Rt△BCH 中，BC=12 米，由勾股定理得出方程，解方程求出 BH=6 米，CH=6 米， 得出 BG、EG 的长度，证明△AEG 是等腰直角三角形，得出 AG=EG=6 +20（米），即可得出 大楼 AB 的高度． 【解答】解：延长 AB 交 DC 于 H，作 EG⊥AB 于 G，如图所示：17 则 GH=DE=15 米，EG=DH， ∵梯坎坡度 i=1： ， ∴BH：CH=1： ， 设 BH=x 米，则 CH= x 米， 在 Rt△BCH 中，BC=12 米， 由勾股定理得：x2+（ x）2=122， 解得：x=6， ∴BH=6 米，CH=6 米， ∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6 +20（米）， ∵∠α=45°， ∴∠EAG=90°﹣45°=45°， ∴△AEG 是等腰直角三角形， ∴AG=EG=6 +20（米）， ∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4（米）． 故大楼 AB 的高度大约是 39.4 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助 线运用勾股定理 求出 BH，得出 EG 是解决问题的关键． 　 20． 【考点】MD：切线的判定；KQ：勾股定理． 【分析】（1）连接 OD，则∠AOD 为直角， 由四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB∥DC．从而得 出∠CDO=90°，即可证出答案． （2）作 EF⊥AB 于 F，连接 BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得 BE， 然后根据 sin∠BAE= = 求得 EF 即可． 【解答】解：（1）CD 与圆 O 相切．18 证明：如图①，连接 OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC． ∴∠CDO=∠AOD=90°． ∴OD⊥CD． ∴CD 与圆 O 相切． （2）如图②，作 EF⊥AB 于 F，连接 BE， ∵AB 是圆 O 的直径， ∴∠AEB=90°，AB=2×3=6． ∵AE=5， ∴BE= = ， ∵sin∠BAE= = ． ∴ = ∴EF= ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的性质以及圆周角定理，注意辅助线的 作法是解此题的关键． 21． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质．19 【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立． 【解答】解：（1）∵f（x）= （x＞0）， ∴f（3）= = ，f（4）= = ， 故答案为： ， ，减； （2）证明：假设 x1＜x2，且 x1＞0，x2＞0 f（x1）﹣f（x2）= = ， ∵x1＜x2，且 x1＞0，x2＞0， ∴ ＞0， ＞0， ∴ ＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2）， ∴函数 f（x）= （x＞0）是减函数． 【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明 确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 　 22． 【 考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式； （2）先确定 C（0，3），则判断△OBC 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，过 点 C 作 CM⊥BC 交 x 轴于点 M，作 BN⊥BC 交 y 轴于 N，如图 1，利用△ONB 和△OCM 都为等腰直角三 角形得到 M（﹣3，0），N（0，﹣3），利用直线平移得到直线 MC 的解析式为 y=x+3，直线 BN 的解析式为 y=x﹣3，然后分别解方程组 和 得满足条件的 P 点坐标；20 （3）连接 OD，作 OH⊥BC，如图 2，利用等腰直角三角形的性质得到 OH= ，再根据圆周 角定理得到 EF 为△DEF 外接圆的直径，而 OD=EF，所以当 OD 与 BC 垂直时，OD 的值最小，EF 最小，此时 OD=OH= ，从而得到△DEF 外接圆的最小直径． 【解答】解：（1）抛物线解析式为 y=﹣（x+1）（x﹣3）， 即 y=﹣x2+2x+3； （2）存在． 当 x=0 时，y=﹣x2+2x+3=3，则 C（0，3）， ∵OB=OC=3， ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， 过点 C 作 CM⊥BC 交 x 轴于点 M，作 BN⊥BC 交 y 轴于 N，如图 1， 易得△ONB 和△OCM 都为等腰直角三角形， ∴OM=OC=3，ON=OB=3， ∴M（﹣3，0），N（0，﹣3）， ∴直线 MC 的解析式为 y=x+3，直线 BN 的解析式为 y=x﹣3， 解方程组 得 或 ，此时 P 点坐标为（1，4）； 解方程组 得 或 ，此时 P 点坐标为（﹣2，﹣5）； 综上所述，当 P 点坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）时，使得△BCP 是以 BC 为直角边的直角 三角形； （3）连接 OD，作 OH⊥BC，如图 2， ∵△OBC 为等腰直角三角形， ∴BC= OB=3 ， ∴OH= BC= ， ∵△DEF 为直角三角形， ∴EF 为△DEF 外接圆的直径， 易得四边形 DEOF 为矩形， ∴OD=EF，21 当 OD 与 BC 垂直时，OD 的值最小，此时 OD=OH= ， ∴△DEF 外接圆的最小直径为 ． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数 的性质、等腰直角三角形的性质和直角三角形的外接圆；会利用待定系数法求函数解析式， 会通过解方程组确定两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决 数学问题．