2019年中考数学模试试题（2）（含解析）.doc

1 中考数学模试卷 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）下列各数中，互为倒数的是（　　） A．﹣3 与 3 B．﹣3 与 C．﹣3 与 D．﹣3 与|﹣3| 2．（3 分）如图，直线 a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2 的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．| |= B．x3•x2=x6 C．x2+x2=x4 D．（3x2）2=6x4 4．（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C ． D． 5．（3 分）如图，几何体是由 3 个完全一样的正方体组成，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小 红既是 该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（　　）2 A． B． C． D． 7．（3 分）已知一个正多边形的内角是 140°，则这个正多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（3 分）十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为 480 元， 出发时又有 4 名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊 4 元车费．设原来游玩的同学有 x 名，则可得方程（　　） A． ﹣ =4 B． ﹣ =4 C． ﹣ =4 D． ﹣ =4 9．（3 分）如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16，10.5 B．8，9 C．16，8.5 D．8，8.5 10．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=45°，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，若 BC=4 ，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1 11．（3 分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列 图案，若第 n 个图案中有 2017 个白色纸片，则 n 的值为（　　）3 A．671 B．672 C．673 D．674 12．（3 分）如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形 DBFE 是菱形，还需要添加的 条件是（　　） A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE 平分∠ABC 13．（3 分）若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … … 则下列说法错 误的是（　　） A．二次函数图象与 x 轴交点有两个 B．x≥2 时 y 随 x 的增大而增大 C．二次函数图象与 x 轴交点横坐标一个在﹣1～0 之间，另一个在 2～3 之间 D．对称轴为直线 x=1.5 14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y1=2x﹣2 与坐标轴交于 A、B 两点，与双曲 线 y2= （x＞0）交于点 C，过点 C 作 CD⊥x 轴，且 OA=AD，则以下结论错误的是（　　）4 A．当 x＞0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小 B．k=4 C．当 0＜x＜2 时，y1＜y2 D．当 x=4 时，EF=4 　 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 15．（3 分）因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　 　． 16．（3 分）计算：（1﹣ ）÷ =　 　． 17．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，四边形 DEFB 是菱形， AB=6，BC=4，那么 AD=　 　． 18．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，sinA= ，BC=2 ，则△ABC 的面积为　 　． 19．（3 分）阅读材料：设 =（x1，y1）， =（x2，y2），如果 ∥ ，则 x1•y2=x2•y1．根据该5 材料填空：已知 =（2，3）， =（4，m），且 ∥ ，则 m=　 　． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共计 63 分） 20．（7 分）计算： × ﹣2sin60°﹣| ﹣2|+（ ）﹣1 21．（7 分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读 书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现， 学生课外阅读的本数最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了不完整的图表： 本数（本） 人数（人数） 百分比 5 a 0.2 6 18 0.36 7 14 b 8 8 0.16 合计 c 1 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）a=　 　，b=　 　，c=　 　； （2）补全上面的条形统计图； （3）若该校八年级共有 1200 名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的有多 少名？ 22．（7 分）如图所示，C 城市在 A 城市 正东方向，现计划在 A、C 两城市间修建一条高速公 路（ 即线段 AC），经测量，森林保护区的中心 P 在 A 城市的北偏东 60°方向上，在线段 AC 上距 A 城市 120km 的 B 处测得 P 在北偏东 30°方向上，已知森林保护区是以点 P 为圆心， 100km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考 数据： ≈1.73）6 23．（9 分）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AD、BD 是⊙O 的弦，BC 是⊙O 的切线，切点为 B， OC∥AD，BA、CD 的延长线相交于点 E． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若 AE=1，ED= 3，求⊙O 的半径． 24．（9 分）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自 1 月 1 日起对市区民用 管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： 每月用气量 单价（元/m3） 不超出 75m3 的部分 2.5 超出 75m3 不超出 125m3 的部 分 a 超出 125m3 的部分 a+0.25 （1）填空：a 的值为　 　； （2）若调价后每月支出的燃气费为 y（元），每月的用气量为 x（m3），y 与 x 之间的关系如 图所示，请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若某用户 2、3 月份共用气 175m 3（3 月份用气量低于 2 月份用气 量），共缴费 455 元，问该用户 2、3 月份的用气量各是多少 m3？7 25．（11 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （Ⅰ）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA．若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 CD 的长． （Ⅱ）如图 2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP．动点 M 在线段 AP 上 （点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F， 作 ME⊥BP 于点 E．试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度 是否发生变化？若变 化，说明变化规律．若不变，求出线段 EF 的长度． 26．（13 分）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1），点 B（﹣9，10），AC∥x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积 最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角 形与△ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．8 　9 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1． 【考点】17：倒数． 【分析】根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案． 【解答】解：A、﹣3 与 3 互为相反数，不是互为倒数关系，故本选项错误； B、﹣3 与﹣ 互为相反数，故本选项错误； C、﹣3 与﹣ 互为相反数，故本选项正确； D、|﹣3|=3，﹣3 与 3 互为相反数，故本选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了倒数，掌握倒数的定义是本题的关键，倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 　 2． 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据 两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°． 故选：B．10 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性 质，熟记性质并准确 识图是解题的关键． 　 3． 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；28：实数的性质；35：合并同类项；46：同底数幂的乘 法． 【分析】分别利用绝对值以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则分 别化简求出答案． 【解答】解：A、| ﹣1|= ﹣1，正确，符合题意； B、x3•x2=x5，故此选项错误； C、x2+x2=2x2，故此选项错误； D、（3x2）2=9x4，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了绝对值以及同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算等知 识，正确掌握运算法则是解题关键． 　 4． 【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 ﹣ ＞1，得：x＜﹣2， 解不等式 3﹣x≥2，得：x≤1， ∴不等式组的解集为 x＜﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 　 5． 【考点】U2：简单组合体的三视图．11 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 　 6． 【考点】X6：列表法与树状图法． 【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】解：如图， ， 共有 16 种结果，小明和小红分在同一个班的结果有 4 种，故小明和小红分在同一个班的机 会= = ． 故选：A． 【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键． 　 7． 【考点】L3：多边形内角与外角． 【分析】首先根据一个正多边形的内角是 140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外 角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可． 【解答】解：360°÷（180°﹣140°） =360°÷40° =9． 答：这个正多边形的边数是 9． 故选：D． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确多边 形的外角和定理．12 　 8． 【考点】B6：由实际问题抽象出分式 方程． 【分析】原来参加游玩的同学为 x 名，则后来有（x+4）名同学参加，根据增加 4 名学生之 后每个同学比原来少分担 4 元车费，列方程即可． 【解答】解：由题意得： =4， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列方程． 　 9． 【考点】W5：众数；VC：条形统计图；W4：中位数． 【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超 过 8 小时的有 14+7=21 人． 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组 数据的中位数是 9； 故选：B． 【点评】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是 将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均 数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列， 就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数． 　 10． 【考点】MO：扇形面积的计算；KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理． 【分析】连接 DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD 和∠DOA 的度数，再分别求出△BOD 和扇 形 DOA 的面积即可． 【解答】解：连接 OD、AD， ∵在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=45°，13 ∴∠C=45°， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是 Rt△BAC， ∵BC=4 ， ∴AC=AB=4， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，BO=DO=2， ∵OD=OB，∠B=45°， ∴∠B=∠BDO=45°， ∴∠DOA=∠BOD=90°， ∴阴影部分的面积 S=S△BOD+S 扇形 DOA= + =π+2． 故选：B． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形 DOA 的面积和△ DOB 的面积是解此题的关键． 　 11． 【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加 3 个白色纸片；据此可得第 n 个图案中白色纸片数，从而可得关于 n 的方程，解方程可 得． 【解答】解：∵第 1 个图案中白色纸片有 4=1+1×3 张； 第 2 个图案中白色纸片有 7=1+2×3 张； 第 3 个图案中白色纸片有 10=1+3×3 张； … ∴第 n 个图案中白色纸片有 1+n×3=3n+1（张），14 根据题意得：3n+1=2017， 解得：n=672， 故选：B． 【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多 3 块，从而总结出第 n 个图形的白色纸片的块数是解题的关键． 　 12． 【考点】L9：菱形的判定． 【分析】当 BE 平分∠ABC 时，四边形 DBFE 是菱形，可知先证明四边形 BDEF 是平行四边形， 再证明 BD=DE 即可解决问题． 【解答】解：当 BE 平分∠ABC 时，四边形 DBFE 是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠EBC， ∵∠EBC=∠EBD， ∴∠EBD=∠DEB， ∴BD=DE， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形 DBFE 是平行四边形， ∵BD=DE， ∴四边形 DBFE 是菱形． 其余选项均无法判断四边形 DBFE 是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 　 13． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H3：二次函数的性质． 【分析】根据 x=1 时的函数值最小判断出抛物线的开口方向；根据函数的对称性可知当 x=2 时的函数值与 x=0 时的函数值相同，并求出对称轴直线方程． 【解答】解：A、由图表数据可知 x=1 时，y 的值最，所以，抛物线开口向上．所以该抛物15 线与 x 轴有两个交点．故本选项正确； B、根据图表知，当 x≥2 时 y 随 x 的增大而增大．故本选项正确； C、抛物线的开方方向向上，抛物线与 y 轴的交点坐标是（ 0，﹣ ），对称轴是 x=1，所以 二次函数图象与 x 轴交点横坐标一个在﹣1～0 之间，另一个在 2～3 之间．故本选项正确； D、因为 x=0 和 x=2 时的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线 x=1．故本选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，从图表数据信息得到 x=1 时取得最大值以及二次函数 的对称性是解题的关键． 　 14． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】根据图象和函数的性质判断 A 即可；求出 C 的坐标即可判断 B；根据图象和函数的 性质判断 C 即可；求出 F、E 的纵坐标，即可求出 EF，再判断 D 即可． 【解答】解：A、从图象可知：当 x＞0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小，故 本选项不符合题意； B、y1=2x﹣2， 当 y=0 时，x=1， 即 OA=1， ∵OA=AD， ∴OD=2， 把 x=2 代入 y=2x﹣2 得：y=2， 即点 C 的坐标是（2，2）， 把 C 的坐标代入双曲线 y2= （x＞0）得：k=4，故本选项不符合题意； C、根据图象可知：当 0＜x＜2 时，y1＜y2，故本选项不符合题意； D、当 x=4 时，y1=2×4﹣2=6，y2= =1， 所以 EF=6﹣1=5，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象和性质，能熟记函数的 性质是解此题的关键，数形结合思想的运用．16 　 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 15． 【考点】53：因式分解﹣提公因式法． 【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解． 【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）． 故答案是：（x+1）（x﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式 法． 　 16． 【考点】6C：分式的混合运算． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题． 【解答】解：（1﹣ ）÷ = = =x+1， 故答案为：x+1． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法． 　 17． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质． 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出 ，再利用菱形的性质代入解答即可． 【解答】解 ：∵四边形 DEFB 是菱形， ∴BD=BF=DE，DE∥BF， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ，17 即 ， 解得：AD= 故答案为： ； 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定和性质得出 是解题关键． 　 18． 【考点】T7：解直角三角形；KH：等腰三角形的性质． 【分析】过 B 作 BD⊥AC，交 AC 于点 D，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定义及 sinA 的值，设出 BD=3x，AB=AC=5x，利用勾股定理求 出 AD，由 AC﹣AD 表示出 CD，在直角三角形 BCD 中，利用勾股定理求出 x 的值，确定出 AC 与 BD，即可求出面积． 【解答】解：过 B 作 BD⊥AC，交 AC 于点 D， 在 Rt△ABD 中，sinA= = ， 设 AB=AC=5x，BD=3x， 根据勾股定理得：AD=4x，即 CD=x， 在 Rt△BDC 中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即 40=9x2+x2， 解得：x=2（负值舍去）， ∴BD=6，AB=AC=10， 则 S△ABC= AC•BD=30． 故答案为：30 【点评】此题考查了解直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的 关键．18 　 19． 【考点】D5：坐标与图形性质． 【分析】由题意设 =（x1，y1）， =（x2，y2）， ∥ ，则 x1•y2=x2•y1，由此列出方程即可 解决问题． 【解答】解：由题意：∵ =（2，3）， =（4，m），且 ∥ ， ∴2m=12， ∴m=6， 故答案为 6． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属 于基础题． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共计 63 分） 20． 【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数 得出答案． 【解答】解：原式=4﹣2× ﹣（2﹣ ）+2 =3﹣ ﹣2+ +2 =3． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 　 21． 【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体． 【分析】（1）根据统计图和表格中的数据可以得到 a、b、c 的值； （2）根据（1）中 a 的值，可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以求得该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的有多少名． 【解答】解：（1）本次调查的学生有：18÷0.36=50（人）， a=50×0.2=10，19 b=14÷50=0.28， c=50， 故答案为：10、0.28、50； （2）由（1）知，a=10， 补全的条形统计图如右图所示； （3）∵1200×（0.28+0.16）=528（名）， ∴该校八年级学生课外阅读 7 本及以上的有 528 名． 【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答． 　 22． 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用． 【分析】作 PH⊥AC 于 H．求出 PH 与 100 比较即可解决问题． 【解答】解：结论；不会．理由如下： 作 PH⊥AC 于 H． 由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°， ∴∠PAB=30°，∠PBH=60°， ∵∠PBH=∠PAB+∠APB， ∴∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=120，20 在 Rt△PBH 中，sin∠PBH= ， ∴PH=PB•sin60°=120× ≈103.80， ∵103.80＞100， ∴这条高速公路不会穿越保护区． 【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 　 23． 【考点】ME：切线的判定与性质． 【分析】（1）首先连接 OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等， 求得∠CDO=90°，即可证得直线 CD 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为 R，则 OE=R+1，在 Rt△ODE 中，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）证明：连结 DO． ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD． 又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB． 在△COD 和△COB 中 ∵OD=OB，OC=OC， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO=∠CBO．21 ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBO=90°， ∴∠CDO=90°， 又∵点 D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为 R，则 OD=R，OE=R+1， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠EDO=90°， ∴ED2+OD2=OE2， ∴32+R2=（R+1）2， 解得 R=4， ∴⊙O 的半径为 4． 【点评】本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾 股定理列出关于 r 的方程是解题的关键． 　 24． 【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】（1）根据题意求出用费用的变化量除以煤气用量的增加量，可求 a； （2）以 75、125 为临界点，列出相应函数关系式； （3）在（2）的基础上，讨论分段讨论得到符合条件的煤气用量． 【解答】解：（1）由已知，用气量 75m3 时，费用为 75×2.5=187.5 ∴a= 故应填：2.75 （2）当 0≤x＜75 时， y=2.5x 当 75≤x≤125 时， y=75×2.5+2.75（x﹣75）=2.75x﹣18.75 当 x＞125 时， y=325+（2.75+0.25）（x﹣125）=3x﹣5022 （3）设乙用户 2 月份用气 xm3，则 3 月用气（175﹣x）m3 当 x＞125，175﹣x≤75 时， 3x﹣50+2.5（175﹣x）=455 解得：x=135，175﹣135=40 满足题意； 当 75＜x≤125，175﹣x＜75 时 2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455 解得：x﹣145，不满足题意舍去 当 75＜x≤125，75＜175﹣x≤125 时， 2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）﹣18.75=455 方程无解 ∴乙用户 2 月、3 月用气量分别为 135m3 和 40m3． 【点评】本题是一次函数的实际应用问题，通过分析函数图象，列出分段函数，通过分类讨 论思想解决实际问题． 　 25． 【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3， 即可证出△OCP∽△PDA； 根据△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，得出 CP= AD=4，设 OP=x，则 CO=8﹣x，由勾股定理 得 x2=（8﹣x）2+42，求出 x，最后根据 AB=2OP 即可求出边 AB 的长； （2）作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，求出 MP=MQ，BN=QM，得出 MP=MQ，根据 ME⊥PQ，得出 EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出 QF= QB， 再求出 EF= PB，由（1）中的结论求出 PB= ，最后代入 EF= PB 即可得出线 段 EF 的长度不变 【解答】解：（1）如图 1，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，23 ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3， 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA； ∵△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4， ∴ ， ∴CP= AD=4， 设 OP=x，则 CO=8﹣x， 在 Rt△PCO 中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42， 解得：x=5， ∴AB=AP=2OP=10， ∴边 CD 的长为 10； （2）作 MQ∥AN，交 PB 于点 Q，如图 2， ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ， ∵BN=PM， ∴BN=QM． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ= PQ． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ 和△NFB 中， ， ∴△MFQ≌△NFB（AAS）． ∴QF= QB，24 ∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB， 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°， ∴PB= ， ∴EF= PB=2 ， ∴在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2 ． 【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角 形． 　 26． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1），表示出 PE=﹣ m2﹣3m，再用 S 四边形 AECP=S△AEC+S△APC= AC× PE，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出 PF=CF，再得到∠PCA=∠EAC，以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分 两种情况计算即可． 【解答】解：（1）∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，25 ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 y= x2+2x+1， （2）∵AC∥x 轴，A（0，1） ∴ x2+2x+1=1， ∴x1=﹣6，x2=0， ∴点 C 的坐标（﹣6，1）， ∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， 设点 P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1） ∴PE=﹣m+1﹣（ m2+ 2m+1）=﹣ m2﹣3m， ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S 四边形 AECP =S△AEC+S△APC = AC×EF + AC×PF = AC×（EF+PF） = AC×PE = ×6×（﹣ m2﹣3m） =﹣m2﹣9m =﹣（m+ ）2+ ， ∵﹣6＜m＜0 ∴当 m=﹣ 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，26 此时点 P（﹣ ，﹣ ）； （3）∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45° 同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q， 设 Q（t，1）且 AB=9 ，AC=6，CP=3 ∵以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t=﹣4 或 t=﹣8（不符合题意，舍） ∴Q（﹣4，1） ②当△CQP∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t=3 或 t=﹣15（不符合题意，舍） ∴Q（3，1） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面 积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．