2019年中考数学模试试题（4）（含解析）.doc

1 中考数学模试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.） 1．（3 分）据宜宾市旅游局公布的数据，今年“五一”小长假期间，全市实现旅游总收入 330000000 元．将 330000000 用科学记数法表示为（　　） A．3.3×108 B．3.3×109 C．3.3×107 D．0.33×1010 2．（3 分）不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）已知 m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式 的值为（　　） A．9 B．±3 C．3 D．5 4．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为 a 和 b，且 a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 5．（3 分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3 的度数为（　　） A．150° B．120° C．90° D．180° 6．（3 分）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算 cos55°，按键顺序正确的是（　　）2 A． B ． C． D． 7．（3 分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成 这个几何体的小正方体的个数最多有（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（3 分）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均 数，中位数分别是（　　） A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15 9．（3 分）如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于 D，E 两点，且∠ ACD=45°，DF⊥AB 于点 F，EG⊥AB 于点 G，当点 C 在 AB 上运动时．设 AF=x，DE=y，下列中 图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，3 将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则 k 的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 11．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 AB 上，且 AE： EB=1：2，F 是 BC 的中点，过 D 分别作 DP⊥AF 于 P，DQ⊥CE 于 Q，则 DP：DQ 等于（　　） A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ： 12．（3 分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾 三，股四，则弦五”的 记载．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以 用其面积关系验证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4， 点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（　　） A．90 B．100 C．110 D．121 　 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.） 13．（3 分）分解因式：x3﹣2x2+x=　 　． 14 ．（ 3 分 ） 若 关 于 x 的 分 式 方 程 = ﹣2 有 非 负 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围4 是　 　． 15．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30° 得到菱形 AB′C′D′，其中点 C 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为　 　． 16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，∠MPN=90°，点 P 在 AC 上，PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE=2PF 时，A P=　 　． 17．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6， 4）．已知△A1B1C1 的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC 与△A1B1C1 位似，则△A1B1C1 的第三个顶点的坐标为　 　． 18．（3 分）二次函数 y= 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A2，A3…An 在 y 轴的 正半轴上，点 B1，B2，B3…Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2，C3…Cn 在二次 函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3…四边形5 An﹣1BnAnCn 都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2 B3A3…=∠An﹣1BnAn=60°，菱形 An﹣1BnAnCn 的周 长为　 　． 　 三.解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（7 分）先化简再求值： ，其中 x 是方程 x2﹣2x=0 的根． 20．（8 分）目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学 兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为： A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和 扇形统计图 2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长； （2）求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数，并将图 1 补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计 1 万名中学生家长中有多少名家长持反对态度； （4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有 2 位家长对中学生带手机持反对 态度，现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法 求选出的 2 人来自不同班级的概率． 21．（9 分）LED 灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活6 中，人们更倾向于 LED 灯的使用，某校数学兴趣小组为了解 LED 灯泡与普通白炽灯泡的销售 情况，进行了市场调查：某商场购进一批 30 瓦的 LED 灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进 价与标价如下表： LED 灯泡 普通白炽灯 泡 进价（元） 45 25 标价（元） 60 30 （1）该商场购进了 LED 灯泡与普通白炽灯泡共 300 个，LED 灯泡按标价进行销售，而普通 白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利 3200 元，求该商场购进 LED 灯泡与普 通白炽灯泡的数量分别为多少个？ （2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡 120 个， 在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%，并 求出此时这批灯泡的总利润为多少元？ 22．（8 分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关 注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢， 太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，均为 300cm，AB 的倾斜角为 30°，BE=CA=50cm， 支撑角钢 CD，EF 与底座地基台面接触点分别为 D、F，CD 垂直于地面，FE⊥AB 于点 E．两个 底座地基高度相同（即点 D，F 到地面的垂直距离相同），均为 30cm，点 A 到地面的垂直距 离为 50cm，求支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是多少 cm（结果保留根号）． 23．（10 分）如图，AB、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦 CD 与 AB、BF 分别相交于点 E、G，过 点 F 的切线 HF 与 DC 的延长线相交于点 H，且 HF=HG． （1）求证：AB⊥CD；7 （2）若 sin∠HGF= ，BF=3，求⊙O 的半径长． 24．（12 分）如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上， 点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD． （1）猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE 绕着点 C 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与 MP、 BD 分别交于点 G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由； （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明． 25．（12 分）已知：如图，直线 y=﹣x+2 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，A 点坐标为 （﹣1，0）． （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式． （2）在直线 BC 上方的抛物线上有一点 D，过 D 作 DE⊥BC 于 E，作 DF∥y 轴交 BC 于 F，求△ DEF 周长的最大值． （3）在满足第②问的条件下，在线段 BD 上是否存在一点 P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求 出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．8 　9 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求.） 1． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】找出所求数字的位数，减去 1 得到 10 的指数，表示成科学记数法即可． 【解答】解：330000000 用科学记数法表示为 3.3×108． 故选：A． 【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式， 其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 2． 【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集， 再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得 答案． 【解答】解：解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4， 解不等式 5x﹣2＞3（x+1），得：x＞ ， ∴不等式组的解集为： ＜x≤4， 故选：A． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 　 3． 【考点】7A：二次根式的化简求值． 【分析】原式变形为 ，由已知易得 m+n=2，mn=（1+ ）（1﹣ ）=﹣1，然10 后整体代入计算即可． 【解答】解：m+n=2，mn=（1+ ）（1﹣ ）=﹣1， 原式= = = =3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然 后利用整体代入的思想代入计算． 　 4． 【考点】AB：根与系数的关系． 【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出 a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将 a2﹣ab+b2=18 变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于 p 的一元一次方程，解方程 即可得出 p 的值，经验证 p=﹣3 符合题意，再将 + 变形成 ﹣2，代入数据即可得 出结论． 【解答】解：∵a、b 为方程 x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根， ∴a+b=3，ab=p， ∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18， ∴p=﹣3． 当 p=﹣3 时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0， ∴p=﹣3 符合题意． + = = = ﹣2= ﹣2=﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关 键是求出 p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找 出两根之和与两 根之积是关键． 　 5． 【考点】LE：正方形的性质；KK：等边三角形的性质． 【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角，再利 用三角形的内角和等于 180°列式整理即可得解．11 【解答】解：如图， ∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1， ∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3， ∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2， 在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°， ∴∠1+∠2+∠3=150°． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用∠1、∠ 2、∠3 表示出△ABC 的三 个内角是解题的关键，也是本题的难点． 　 6． 【考点】T6：计算器—三角函数；25：计算器—数的开方． 【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中 R﹣CM 表示存储、读出键，M+为 存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结 果． 【 解 答 】 解 ： 利 用 该 型 号 计 算 器 计 算 cos55° ， 按 键 顺 序 正 确 的 是 ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用计算器求数的开方，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌 握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能 力，又提高了学生学习的兴趣． 　 7． 【考点】U3：由三视图判断几何体．12 【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第 二层小正方体的最多个数，相加即可． 【解答】解：由俯视图易得最底层有 4 个小正方体，第二层最多有 2 个小正方体，那么搭成 这个几何体的小正方体最多为 4+2=6 个． 故选：C． 【点评】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面 的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答 案． 　 8． 【考点】VC：条形统计图；W1：算术平均数；W4：中位数． 【分析】根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解． 【 解 答 】 解 ： 根 据 图 中 信 息 可 知 这 些 队 员 年 龄 的 平 均 数 为 ： =15（岁）， 该足球队共有队员 2+6+8+3+2+1=22（人）， 则第 11 名和第 12 名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为 15 岁， 故选：D． 【点评】本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先 排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即 为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 　 9． 【考点】E7：动点问题的函数图象． 【分析】本题考查动点函数图象的问题． 【解答】解：点 C 从点 A 运动到点 B 的过程中，x 的值逐渐增大，DE 的长度随 x 值的变化先 变大再变小， 当 C 与 O 重合时，y 有最大值， ∵x=0，y= AB13 x=AB﹣ AB 时，DE 过点 O，此时：DE=AB x=AB，y= AB 所以，随着 x 的增大，y 先增后降，类抛物线 故选：A． 【点评】注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 本题也可以通过求函数解析式的方法求解，不过这种方法比较复杂． 　 10． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G5：反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】先根据 S△ABO=4，tan∠BAO=2 求出 AO、BO 的长度，再根据点 C 为斜边 A′B 的中点， 求出点 C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为 k 值． 【解答】解：设点 C 坐标为（x，y），作 CD⊥BO′交边 BO′于点 D， ∵tan∠BAO=2， ∴ =2， ∵S△ABO= •AO•BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A'O'B， ∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4， ∵点 C 为斜边 A′B 的中点，CD⊥BO′， ∴CD= A′O′=1，BD= BO′=2， ∴y=BO﹣CD=4﹣1=3，x=BD=2， ∴k=x•y=3•2=6． 故选：C．14 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出 合适的辅助线，求出点 C 的坐标，然后根据点 C 的横纵坐标之积等于 k 值求解即可． 　 11． 【考点】L5：平行四边形的性质；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理． 【分析】连接 DE、DF，过 F 作 FN⊥AB 于 N，过 C 作 CM⊥AB 于 M，根据三角形的面积和平行 四边形的面积得出 S△DEC=S△DFA= S 平行四边形 ABCD，求出 AF×DP=CE×DQ，设 AB=3a，BC=2a， 则 BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，求出 AF= a，CE=2 a，代入求出 即可． 【解答】解：连接 DE、DF，过 F 作 FN⊥AB 于 N，过 C 作 CM⊥AB 于 M， ∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA= S 平行四边形 ABCD， 即 AF×DP= CE×DQ ， ∴AF×DP=CE×DQ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠DAB=60°， ∴∠CBN=∠DAB=60°， ∴∠BFN=∠MCB=30°， ∵AB：BC=3：2， ∴设 AB=3a，BC=2a， ∵AE：EB=1：2，F 是 BC 的中点， ∴BF=a，BE=2a， BN= a，BM=a， 由勾股定理得：FN= a，CM= a， AF= = a， CE= =2 a， ∴ a•DP=2 a•DQ15 ∴DP：DQ=2 ： ． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含 30 度角的直角三角形 等知识点的应用，关键是求出 AF×DP=CE×DQ 和求出 AF、CE 的值． 　 12． 【考点】KR：勾股定理的证明． 【分析】延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，可得四边形 AOLP 是正方形，然后求出 正方形的边长，再求出矩形 KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P， 所以四边形 AOLP 是正方形， 边长 AO=AB+AC=3+4=7， 所以 KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形 KLMJ 的面积为 10×11=110． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 　 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.） 13． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．16 【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题 关键． 　 14． 【考点】B2：分式方程的解． 【分析】将 a 看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于 a 的不等式，求 出不等式的解集即可得到 a 的范围． 【解答】解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1）， 移项合并得：6x=3a+4， 解得：x= ， ∵分式方程的解为非负数， ∴ ≥0 且 ﹣1≠0， 解得：a≥﹣ 且 a≠ ． 故答案为：a 且 a ． 【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值， 本题注意 x﹣1≠0 这个隐含条件． 　 15． 【考点】L8：菱形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转 的性质． 【分析】根据菱形的性质以及旋转角为 30°，连接 CD′和 BC′，可得 A、D′、C 及 A、B、 C′分别共线，求出扇形面积，再根据 AAS 证得两个小三角形全等，求得其面积，最后根据 扇形 ACC′的面积﹣两个小的三角形面积即可． 【解答】解：连接 CD′和 BC′， ∵∠DAB=60°，17 ∴∠DAC=∠CAB=30°， ∵∠C′AB′=30°， ∴A、D′、C 及 A、B、C′分别共线． ∴AC= ∴扇形 ACC′的面积为： = ， ∵AC=AC′，AD′=AB ∴在△OCD′和 △OC'B 中， ∴△OCD′≌△OC′B（AAS）． ∴OB=OD′，CO=C′O ∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30° ∴∠COD′=90° ∵CD′=AC﹣AD′= ﹣1 OB+C′O=1 ∴在 Rt△BOC′中，BO2+（1﹣BO）2=（ ﹣1）2 解得 BO= ，C′O= ﹣ ， ∴S△OC′B= •BO•C′O= ﹣ ∴图中阴影部分的面积为：S 扇形 ACC′﹣2S△OC′B= + ﹣ ． 故答案为： + ﹣ ． 【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转 变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 　18 16． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】如图作 PQ⊥AB 于 Q，PR⊥BC 于 R．由△QPE∽△RPF，推出 = =2，可得 PQ=2PR=2BQ，由 PQ∥BC，可得 AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设 PQ=4x，则 AQ=3x， AP=5x，BQ=2x，可得 2x+3x=3，求出 x 即可解决问题． 【解答】解：如图作 PQ⊥AB 于 Q，PR⊥BC 于 R． ∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴四边形 PQBR 是矩形， ∴∠QPR=90°=∠MPN， ∴∠QPE=∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴ = =2， ∴PQ=2PR=2BQ， ∵PQ∥BC， ∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设 PQ=4x，则 AQ=3x，AP=5x，BQ=2x， ∴2x+3x=3， ∴x= ， ∴AP=5x=3． 故答案为 3． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 　 17．19 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质． 【分析】首先由题意可求得直线 AC、AB、BC 的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解 析式，即可知过这两点的直线与直线 AC 平行，则可分别从①若 A 的对应点为 A1（1，3），C 的对应点为 C1（2，5）与②若 C 的对应点为 A1（1，3），A 的对应点为 C1（2，5）去分析求 解，即可求得答案． 【解答】解：设直线 AC 的解析式为：y=kx+b， ∵△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）， ∴ ， 解得： ， ∴直线 AC 的解析式为：y=2x﹣8， 同理可得：直线 AB 的解析式为：y= x﹣2，直线 BC 的解析式为：y=﹣x+10， ∵△A1B1C1 的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）， ∴过这两点的直线为：y=2x+1， ∴过这两点的直线与直线 AC 平行， ①若 A 的对应点为 A1（1，3），C 的对应点为 C1（2，5）， 则 B1C1∥BC，B1A1∥BA， 设直线 B1C1 的解析式为 y=﹣x+a，直线 B1A1 的解析式为 y= x+b， ∴﹣2+a=5， +b=3， 解得：a=7，b= ， ∴直线 B1C1 的解析式为 y=﹣x+7，直线 B1A1 的解析式为 y= x+ ， 则直线 B1C1 与直线 B1A1 的交点为：（3，4）； ②若 C 的对应点为 A1（1，3），A 的对应点为 C1（2，5）， 则 B1A1∥BC，B1C1∥BA， 设直线 B1C1 的解析式为 y= x+c，直线 B1A1 的解析式为 y=﹣x+d， ∴ ×2+c=5，﹣1+d=3， 解得：c=4，d=4，20 ∴直线 B1C1 的解析式为 y= x+4，直线 B1A1 的解析式为 y=﹣x+4， 则直线 B1C1 与直线 B1A1 的交点为：（0，4）． ∴△A1B1C1 的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）． 故答案为：（3，4）或（0，4）． 【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平 行，注意掌握待定系数法求一次函数解 析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的 应用． 　 18． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0x=30°，可 先设出△A0B1A1 的边长，然后表示出 B1 的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A0B1A1 的 边长，用同样的方法可求得△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特 点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形 An﹣1BnAnCn 的周长． 【解答】解： ∵四边形 A0B1A1C1 是菱形，∠A0B1A1=60°， ∴△A0B1A1 是等边三角形． 设△A0B1A1 的边长为 m1，则 B1（ ， ）； 代入抛物线的解析式中得： （ ）2= ， 解得 m1=0（舍去），m1=1； 故△A0B1A1 的边长为 1， 同理可求得△A1B2A2 的边长为 2， …21 依此类推，等边△An﹣1BnAn 的边长为 n， 故菱形 An﹣1BnAnCn 的周长为 4n． 故答案是：4n． 【点评】本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形 的性质，等边三角形的判定与性质等知识点．解答此题的难点是推知等边△An﹣1BnAn 的边长 为 n． 　 三.解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19． 【考点】6D：分式的化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】先把括号内通分、除法化为乘法以及分子和分母因式分解得到原式=[ ﹣ ]• =﹣ • =﹣ • ，然后约分后整理 得到原式=﹣x2﹣x+2，再用因式分解法解方程 x2﹣2x=0 得到 x1=0，x2=2（使分式无意义， 舍去），最后把 x=0 代入计算即可． 【解答】解：原式=[ ﹣ ]• =﹣ • =﹣ • =﹣（x+2）（x﹣1） =﹣x2﹣x+2， 解 x2﹣2x=0 得：x1=0，x2=2（使分式无意义，舍去）， ∴当 x=0 时，原式=﹣0﹣0+2=2． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括 号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式 的值．也考查了因式分解法解一元二次方程． 　 20． 【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；V9：频数（率）分布折线图；VB： 扇形统计图．22 【分析】（1）用 B 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用 360°乘以 C 类所占的百分比得到扇形 C 所对的圆心角的度数，再计算出 C 类人数， 然后补全条形统计图； （3）用 10000 乘以 D 类的百分比可估计持反对态度的家长的总数； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出 2 人来自不同班级的结果数，然后根 据概率公式求解． 【解答】解：（1）共调查的中学生家长数是：40÷20%=200（人）； （2）扇形 C 所对的圆心角的度数是：360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）=18°， C 类的人数是：200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）=10（人）， 补图如下： （3）根据题意得： 10000×60%=6000（人）， 答：10000 名中学生家长中有 6000 名家长持反对态度； （4）设初三（1）班两名家长为 A1，A2，初三（2）班两名家长为 B1，B2， 画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中 2 人来自不同班级共有 8 种， 所以选出的 2 人来自不同班级的概率= = ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，23 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．也考查 了统计图． 　 21． 【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设该商场购进 LED 灯泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个，利用该商场购进了 LED 灯泡与普通白炽灯泡共 300 个和销售完这批灯泡后可以获利 3200 元列方程组，然后解 方程组即可； （2）设该商场购进 LED 灯泡 a 个，则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个，这批灯泡的总利润 为 W 元，利用利润的意义得到 W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+600，再根据销售 完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的 30%可确定 a 的范围，然后根据一次函数的性质解 决问题． 【解答】解：（1）设该商场购进 LED 灯泡 x 个，普通白炽灯泡的数量为 y 个， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该商场购进 LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为 200 个和 100 个； （2）设该商场购进 LED 灯泡 a 个，则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个，这批灯泡的总利润 为 W 元， 根据题意得 W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a） =10a+600， ∵10a+600≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得 a≤75， ∵k=10＞0， ∴W 随 a 的增大而增大， ∴a=75 时，W 最大，最大值为 1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45 个． 答：该商场购进 LED 灯泡 75 个，则购进普通白炽灯泡 45 个，这批灯泡的总利润为 1350 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的 取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．24 　 22． 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】过 A 作 AG⊥CD 于 G，在 Rt△ACG 中，求得 CG=25，连接 FD 并延长与 BA 的延长线交 于 H，在 Rt△CDH 中，根据三角函数的定义得到 CH=90，在 Rt△EFH 中，根据三角函数的定 义即可得到结论． 【解答】解：过 A 作 AG⊥CD 于 G，则∠CAG=30°， 在 Rt△ACG 中，CG=ACsin30°=50× =25， ∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45， 连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于 H，则∠H=30°， 在 Rt△CDH 中，CH= =2CD=90， ∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290， 在 Rt△EFH 中，EF=EH•tan30°=290× = ， 答：支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是 45cm， cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造 直角三角形并解直角三角形，难度适中． 　 23． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质首先求出∠3=∠1，进而得出∠ BEG=90°即可得出 AB⊥CD； （2）连接 AF，首先得出∠HGF=∠1=∠4=∠A，利用锐角三角函数得出 AB 即可得出半径． 【解答】（1）证明：如图，连接 OF， ∵HF 是⊙O 的切线，25 ∴∠OFH=90°． 即∠1+∠2=90°． ∵HF=HG，∴∠1=∠HGF． ∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1． ∵OF=OB，∴∠B=∠2． ∴∠B+∠3=90°． ∴∠BEG=90°． ∴AB⊥CD． （2）解：如图，连接 AF， ∵AB、BF 分别是⊙O 的直径和弦， ∴∠AFB=90°． 即∠2+∠4=90°． ∴∠HGF=∠1=∠4=∠A． 在 Rt△AFB 中，AB= = =4． ∴⊙O 的半径长为 2． 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质和锐角三角函数应用，根据已 知得出∠HGF=∠1=∠4=∠A 是解题关键． 　 24． 【考点】SO：相似形综合题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得 AE=BD，再根据三角形 中位线定理即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PM⊥PN； （2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；26 （3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，所以 PM= BD，PN= AE，进而可证明 PM=kPN． 【解答】解： （1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE 和△BCD 中 ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点， ∴PM= BD，PN= AE， ∴PM=PN， ∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD， ∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即 PM⊥PN； （2）∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD， ∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE， ∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．27 ∵点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， ∴PM= BD，PM∥BD； PN= AE，PN∥AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB 和△ECD 是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴ =k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE． ∵点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， ∴PM= BD，PN= AE． ∴PM=kPN． 【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的28 各种性质定理是解答此题的关键． 　 25． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出 DF 的最大值，判断出△DEF 为等腰直角三角形，最后求出周长最大值； （3）先作出如图所示的辅助线，再得出 ，从而求出 PM，DM 即可． 【解答】解：（1）直线 y=﹣x+2 与 x 轴交于 B（2，0），与 y 轴交于 C 点（0，2）， 设过 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 把 A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2） 的坐标代入， ∴a=﹣1，b=1，c=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2， （2）设 D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2）， ∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x， 所以 x=1 时，DF 最大=1， ∵OB=OC， ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∵DE⊥BC，DF∥y 轴， ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴△DEF 周长的最大值为 1+ （3）如图， 当△DEF 周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长 DF 交 x 轴于 H，作 PM⊥DF 于 M， 则 DB= ，DH=2，OH=1 当∠DFP=∠DBC 时，△DFP∽△DBF，29 ∴ ， ∴DP= ， ∴ = ， ∴PM= ，DM= ， ∴P 点的横坐标为 OH+PM=1+ = ， P 点的纵坐标为 DH﹣DM=2﹣ = ， ∴P（ ， ）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形的相似的 性质和判定，等腰直角三角形的性质，极值的确定，解本题的关键是极值的确定，也是难 点．