2019年中考数学模试试题（9）（含解析）.doc

1 中考数学模试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）计算：20180﹣|﹣2|=（　　） A．2010 B．2016 C．﹣1 D．3 2．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5 D．a•a2=a3 3．（3 分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和俯视图 4．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是 （　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 5．（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C ． D． 6．（3 分）如图，直线 l 1∥l2，且分别与△ABC 的两边 AB、AC 相交，若∠A=45°，∠ 2=70°，则∠1 的度数为（　　） A．45° B．65° C．70° D．110° 7．（3 分）五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量 的众数和中位数分别为（　　）2 A．21 和 19 B．20 和 19 C．19 和 19 D．19 和 22 8．（3 分）在同一平面坐标系内，若直线 y=3x﹣1 与直线 y=x﹣k 的交点在第四象限的角平 分线上，则 k 的值为（　　） A．k=﹣ B．k= C．k= D．k=1 9．（3 分）关于 x 的分式方程 +3= 无解，m 的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1 10．（3 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A=30°，BC= ，把△ABC 绕点 O 按逆时 针方向旋转 90°得到△BED，则对应点 C、D 之间的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 11．（3 分）如图，△ABC 三个顶点分别在反比例函数 y= ，y= 的图象上，若∠C=90°，AC ∥y 轴，BC∥x 轴，S△ABC=8，则 k 的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 B 点出发，在 BC 上移动至点 C 停 止．记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数解析式是（　　）3 A．y=12x B． C． D． 　 二、填空题（本大共 8 小题，满分 40 分） 13．（5 分）分解因式：a3﹣4a=　 　． 14．（5 分）计算 =　 　． 15．（5 分）若关于 x 的方程 x2+mx+7=0 有一个根为 1，则该方程的另一根为　 　． 16．（5 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　 　． 17．（5 分）甲列车从 A 地开往 B 地，速度是 60km/h，乙列车同时从 B 地开往 A 地，速度是 90km/h．已知 AB 两地相距 200km，则两车相遇的地方离 A 地　 　km． 18．（5 分）如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别落在 x 轴、y 轴，OD=2OA=6，AD：AB=3： 1．则点 B 的坐标是　 　． 19．（5 分）如图，已知函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与 x 轴 的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当 x＜2 时，y 随 x 增大而增大； ③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当 0＜x＜4 时，y＜0．其中结论正确的是　 　．（填 序号）4 20．（5 分）我们知道，一元二次方程 x2=﹣1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 ﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足 i2=﹣1（即 x2=﹣1 有一个根为 i），并且进一 步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立， 于是有：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整 数 n，由于 i4n=（i4）n=1n=1，i4n+1=i4n•i=1•i=i，同理可得 i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，那么，i9=　 　； i2018=　 　． 　 三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 21．（10 分）化简 ，并求值，其中 a 与 2，3 构成△ABC 的三边，且 a 为整数． 22．（12 分）如图，在▱ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，AE=CG， AH=CF，且 E G 平分∠HEF． （1）求证：△AEH≌△CGF； （2）求证：四边形 EFGH 是菱形． 23．（12 分）县城某初中数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行“舌尖上的 无棣﹣我最喜爱的无棣名吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统 计图．请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图； （2）若全校有 1000 名同学，请估计全校同学中最喜爱“欢喜团”的同学有多少人？5 （3）在一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标为四种小吃的序号 A、 B、C、D，随机地把四个小球分成两组，每组两个球，请用列表或画树形图的方法，求出 A、 B 两 球 分 在 同 一 组 的 概 率． 24．（13 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD 交 BC 的延长线于 D， AB 交 OC 于 E． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的直径为 6，线段 BC=2，求∠BAC 的正弦值． 25．（13 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BE 平分∠ABC，∠ABE=∠ ACD，BE，CD 交于点 F． （1）求证： ； （2）请探究线段 DE，CE 的数量关系，并说明理由； （3）若 CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段 EF 的长． 26．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半 轴上，且 O A=4，OC=3，若抛物线经过 O，A 两点，且顶点在 BC 边上，对称轴交 AC 于点 D， 动点 P 在抛物线对称轴上，动点 Q 在抛物线上．6 （1）求抛物线的解析式； （2）当 PO+PC 的值最小时，求点 P 的坐标； （3）是否存在以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 　7 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1． 【考点】6E：零指数幂；15：绝对值． 【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案． 【解答】解：原式=1﹣2=﹣1 故选：C． 【点评】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 2． 【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46 ：同底数幂的乘法． 【分析】根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误； B、3a﹣a=2a，错误； C、（a3）2=a6，错误； D、a•a2=a3，正确； 故选：D． 【点评】此题考查同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是根据同类项合并、幂的 乘方和同底数幂的乘法的定义解答． 　 3． 【考点】Q2：平移的性质；U2：简单组合体的三视图． 【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从 上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断． 【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视 图． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答 此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．8 　 4． 【考点】AA：根的判别式． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即 可得出 m 的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题 的关键． 　 5． 【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组． 【分析】根据不等式组的解法求出不等式组的解集，再根据＞，≥向右画；＜，≤向左画， 在数轴上表示出来，从而得出正确答案． 【解答】解： ， 由①得：x≤1， 由②得：x＞﹣3， 则不等式组的解集是﹣3＜x≤1； 故选：D． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的 解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线， “＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线是解题的关 键． 　 6． 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】依据∠A=45°，∠2=70°=∠AFE，即可得到∠AEF=180°﹣45°﹣70°=65°，依据 l1∥l2，即可得出∠1=∠AEF=65°．9 【解答】解：∵∠A=45°，∠2=70°=∠AFE， ∴∠AEF=180°﹣45°﹣70°=65°， ∵l1∥l2， ∴∠1=∠AEF=65°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的应用，解此题的关 键是求出∠AEF 的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 　 7． 【考点】W5：众数；W4：中位数． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：从小到大排列此数据为：19、19、20、21、22，数据 19 出现了 2 次最多，所 以 19 为众数； 20 处在第 3 位是中位数．所以本题这组数据的众数是 19，中位数是 20． 故选：B． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些 学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一 定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的 数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 　 8． 【考点】FF：两条直线相交或平行问题． 【 分析】先解关于 x，y 的方程组 ，得到用 k 表示 x，y 的代数式，由于交点在第 四象限的角平分线上得到方程 =﹣ ，解方程求解即可．10 【解答】解：解关于 x，y 的方程组 ，解得： ， ∵交点在第四象限的角平分线上 ∴ =﹣ ，解得 k= ． 故选：C． 【点评】一次函数的解析式就是二元一次方程，因而把方程组的解中的 x 的值作为横坐标， 以 y 的值为纵坐标得到的点，就是一次函数的图象的交点坐标． 　 9． 【考点】B2：分式方程的解． 【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可 得关于 m 的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：两边都乘以（x﹣1），得 7+3（x﹣1）=m， m=3x+4， 分式方程的增根是 x=1， 将 x=1 代入，得 m=3×1+4=7． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于 m 的方程是解 题关键． 　 10． 【考点】MA：三角形的外接圆与外心；R2：旋转的性质． 【分析】连接 OC、OB、OD，根据圆周角定理求出∠BOC=60°，得到△OCB 是等边三角形，求 出 OC=OB=BC= ，根据旋转的性质得到∠COD=90°，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接 OC、OB、OD， 由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=60°， ∴△OCB 是等边三角形，11 ∴OC=OB=BC= ， 由旋转的性质可知，∠COD=90°， ∴CD= =2， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、 等边三角形的判定定理是解题的关键． 　 11． 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】设点 C 的坐标为（m， ），则点 A 的坐标为（m， ），点 B 的坐标为（km， ）， 由此即可得出 AC、BC 的长度，再根据三角形的面积结合 S△ABC=8，即可求出 k 值，取其正值 即可． 【解答】解：设点 C 的坐标为（m， ），则点 A 的坐标为（m， ），点 B 的坐标为（km， ）， ∴AC= ﹣ = ，BC=km﹣m=（k﹣1）m， ∵S△ABC= AC•BC= （k﹣1）2=8， ∴k=5 或 k=﹣3． ∵反比例函数 y= 在第一象限有图象， ∴k=5． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点 C 的坐标， 表示出点 A、B 的坐标是解题的关键．12 　 12． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；E3：函数关系式． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三 角形相似求出△ABP 和△DEA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，然后整理即 可得到 y 与 x 的关系式． 【解答】解：矩形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAE=∠APB， ∵∠B=∠AED=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴ = ， ∴ = ， ∴y= ． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相 似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 　 二、填空题（本大共 8 小题，满分 40 分） 13． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（a2﹣4） =a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键． 　 14．13 【考点】79：二次根式的混合运算；76：分母有理化． 【分析】先化简各二次根式，再计算可得． 【解答】解：原式= = =﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合 运算顺序及其法则． 　 15． 【考点】AB：根与系数的关系． 【分析】设方程的另一根为 x1，根据两根之积等于 ，即可得出关于 x1 的一元一次方程， 解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一根为 x1， 根据题意得：1×x1=7， 解得：x1=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键． 　 16． 【考点】M5：圆周角定理． 【分析】首先连接 CD，由 AD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案． 【解答】解：连接 CD， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠ABC=50°， ∴∠CAD=90°﹣ ∠D=40°． 故答案为：40°．14 【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 　 17． 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设两车相遇的时间为 x 小时，根据两车速度之和×时间=两地间的路程，即可求出 两车相遇的时间，再利用相遇地离 A 地的距离=甲车的速度×相遇时间，即可求出结论． 【解答】解：设两车相遇的时间为 x 小时， 根据题意得：（60+90）x=200， 解得：x= ， ∴60x=60× =80． 答：两车相遇的地方离 A 地 80km． 故答案为：80． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的 关键． 　 18． 【考点】LB：矩形的性质；D5：坐标与图形性质． 【分析】过 B 作 BE⊥x 轴于 E，根据矩形的性质得到 CD=AB，∠DAB=90°，根据余角的性质 得到∠ABE=∠DAO，根据相似三角形的性质得到 AE= OD=2，BE= OA=1，于是得到结论． 【解答】解：过 B 作 BE⊥x 轴于 E，15 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴CD=AB，∠DAB=90°， ∴∠DAO+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠DAO=∠ABE， ∴△ADO∽△ABE， ∴ ， ∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1， ∴OA=3，BE=1 ∴AE= OD=2， ∴OE=5， ∴B（5，1）， 故答案为：（5，1）． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出 辅助线是解题的关键． 　 19． 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与 x 轴的交点． 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而 可以 解答本题． 【 解答】解：由函数图象可知， 抛物线与 x 轴两个交点，则 b2﹣4ac＞0，故①正确， 当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，故②错误， 当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，故③错误，16 由函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与 x 轴的一个交点坐标为 （4，0），则另一个交点为（0，0），故④正确， 当 0＜x＜4 时，y＜0，故⑤正确， 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明 确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 　 20． 【考点】AA：根的判别式；2C：实数的运算． 【分析】利用幂的运算法则得到 i9=（i4）2•i；i2018=（i4）504•i2，然后把 i4=1，i2=﹣1 代 入计算即可． 【解答】解：i9=（i4）2•i=12•i=i； i2018=（i4）504•i2=1•（﹣1）=﹣1． 故答案为 i，﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有 如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两个相等的两 个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．也考查了对新定义的理解能力． 　 三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 21． 【考点】6D：分式的化简求值；K6：三角形三边关系． 【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最 简结果，求出 a 的值，代入计算即可求出值． 【 解 答 】 解 ： 原 式 = • + = + = = ， ∵a 与 2，3 构成△ABC 的三边， ∴1＜a＜5，且 a 为整数，∴a=2，3，4， 又∵a≠2 且 a≠3，∴a=4， 当 a=4 时，原式=1．17 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 22． 【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理 SAS 证得结论； （2）欲证明四边形 EFGH 是菱形，只需推知四边形 EFGH 是平行四边形，然后证得该平行四 边形的邻边相等即可． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C． ∴在△AEH 与△CGF 中， ， ∴△AEH≌△CGF（SAS）； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D． ∵AE=CG，AH=CF， ∴EB=DG，HD=BF． ∴△BEF≌△DGH． ∴EF=HG． 又∵△AEH≌△CGF， ∴EH=GF． ∴四边形 HEFG 为平行四边形． ∴EH∥FG， ∴∠HEG=∠FGE． ∵EG 平分∠HEF， ∴∠HEG=∠FEG， ∴∠FGE=∠FEG， ∴EF=GF， ∴四边形 EFGH 是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性18 质．注意：本题菱形 HEFG 的判定是在平行四边形 HEFG 的基础上推知的． 　 23． 【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图． 【分析】（1）总人数减去其它三种小吃人数求得锅子饼的人数，据此补全图形可得； （2）总人数乘以样本中“欢喜团”人数所占比例可得； （3）列表得出所有等可能结果数，从中找到 A、B 两球分在同一组的结果数，再根据概率公 式求解可得． 【解答】解：（1）锅子饼的人数为 50﹣14﹣21﹣5=10． 补全图形如下： （2）1000× =420（人）， ∴估计最喜爱“欢喜团”的同学有 420 人； （3）列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 共有 12 种等可能结果，其中 A，B 在同一组有 4 种， ∴A、B 两球分在同一组的概率为 = ． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，19 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目 的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 24． 【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形． 【分析】（1）连结 OA，根据切线的性质得到 OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论； （2）延长 CO 交圆 O 于 F，连接 BF，利用三角函数解答即可． 【解答】（1）证明：连接 OA， ∵∠ABC=45°， ∴∠AOC=2∠ABC=90°， ∴OA⊥OC， 又∵AD∥OC， ∴OA⊥AD， ∴AD 是⊙O 的切线； （2）延长 CO 交圆 O 于 F，连接 BF． ∵∠BAC=∠BFC， ∴ ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线 的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 　 25． 【考点】SO：相似形综合题． 【分析】（1）只要证明△ABE∽△ACD 即可； （2）首先证明△ADE∽△ACB，推出∠AED=∠ABC，由∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE， 推出∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，由∠ABE=∠ACD，推出∠CDE=∠CBE，由 BE 平分∠ABC，推20 出∠ABE=∠CBE，推出∠CDE=∠ABE=∠ACD，可得 ED=EC； （3）由 ，只要求出 CD、CE 即可解决问题； 【解答】解：（1）证明：∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ， （2）∵ ， ∴ ， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴∠AED=∠ABC， ∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE， ∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE， ∵∠ABE=∠ACD， ∴∠CDE=∠CBE， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠CDE=∠ABE=∠ACD， ∴DE=CE． （3）∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°， ∵∠ABE=∠ACD，∠CDE= ∠ACD， ∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°， ∴AE=DE，BE⊥AC， ∵DE=CE， ∴AE=DE=CE，21 ∴AB=BC， ∵AD=2，BD=3， ∴BC=AB=AD+BD=5， 在 Rt△BDC 中， ， 在 Rt△ADC 中， ， ∴ ， ∵∠ADC=∠FEC=90°， ∴ ， ∴EF= = = ． 【点评】本题考查相似三角形综合题、角平分线的定义、勾股定理、三角形的外角的性质等 知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 　 26． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）先确定 A（4，0），C（0，3），再利用对称性确定抛物线顶点坐标为（2，3）， 然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）连接 PA，如图，利用两点之间线段最短判断当点 P 与点 D 重合时，PO+PC 的值最小， 再利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+3，然后利用直线 AC 的解析式确定 D 点 坐标，从而得到当 PO+PC 的值最小时，点 P 的坐标； （3）讨论：当以 AC 为对角线时，易得点 Q 为抛物线的顶点，从而得到此时 Q 点和 P 点坐标； 当 AC 为边时，当四边形 AQPC 为平行四边形，利用平行四边形的性质和点平移的规律先确定 Q 点的横坐标为 6，则利用抛物线解析式可求出此时 Q（6，﹣9），然后利用点平移的规律确 定对应的 P 点坐标；当四边形 APQC 为平行四边形，利用同样的方法求解． 【解答】解：（1）在矩形 OABC 中，OA=4，OC=3，22 ∴A（4，0），C（0，3）， ∵抛物线经过 O、A 两点， ∴抛物线的顶点的横坐标为 2， ∵顶点在 BC 边上， ∴抛物线顶点坐标为（2，3）， 设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2+3， 把（0，0）坐标代入可得 0=a（0﹣2）2+3，解得 a= ， ∴抛物线解析式为 y= （x﹣2）2+3， 即 y= x2+3x； （2）连接 PA，如图， ∵点 P 在抛物线对称轴上， ∴PA=PO， ∴PO+PC=PA+PC． 当点 P 与点 D 重合时，PA+PC=AC； 当点 P 不与点 D 重合时，PA+PC＞AC； ∴当点 P 与点 D 重合时，PO+PC 的值最小， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 根据题意，得 ，解得 ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+3， 当 x=2 时，y=﹣ x+3= ，则 D（2， ）， ∴当 PO+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（2， ）； （3）存在． 当以 AC 为对角线时，当四边形 AQCP 为平行四边形，点 Q 为抛物线的顶点，即 Q（2，3）， 则 P（2，0）； 当 AC 为边时，当四边形 AQPC 为平行四边形，点 C 向右平移 2 个单位得到 P，则点 A 向右平 移 2 个单位得到点 Q，则 Q 点的横坐标为 6，当 x=6 时，y= x 2+3x=﹣9，此时 Q（6，23 ﹣9），则点 A（4，0）向右平移 2 个单位，向下平移 9 个单位得到点 Q，所以点 C（0，3） 向右平移 2 个单位，向下平移 9 个单位得到点 P，则 P（2，﹣6）； 当四边形 APQC 为平行四边形，点 A 向左平移 2 个单位得到 P，则点 C 向左平移 2 个单位得 到点 Q，则 Q 点的横坐标为﹣2，当 x=﹣2 时，y= x2+3x=﹣9，此时 Q（﹣2，﹣9），则点 C （0，3）向左平移 2 个单位，向下平移 12 个单位得到点 Q，所以点 A（4，0）向左平移 2 个 单位，向下平移 12 个单位得到点 P，则 P（2，﹣12）； 综上所述，P（2，0），Q（2，3）或 P（2，﹣6），Q（6，﹣9）或 P（2，﹣12），Q（﹣2， ﹣9）． 【点评】本题考查了 二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函 数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会 运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会利用分类讨论的思想解决数学问题．