1
中考数学模试卷
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项 A、B、
C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置。
1．（3 分）下面的计算正确的是（ ）
A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b
2．（3 分）实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D． ＜
3．（3 分）在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白
色棋子的概率是 ，如再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 ，则原来盒
里有白色棋子（ ）
A．1 颗 B．2 颗 C．3 颗 D．4 颗
4．（3 分）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10
5．（3 分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2 的解是（ ）
A． B． C ．
D．
6．（3 分）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70°，∠C=50°，那么 sin∠AEB
的值为（ ）2
A． B． C． D．
7．（3 分）如图，点 D 为 y 轴上任意一点，过点 A（﹣6，4）作 AB 垂直于 x 轴交 x 轴于点
B，交双曲线 于点 C，则△ADC 的面积为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
8．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速
度向 B 点运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折线 AD﹣DC﹣CB 以每秒 3cm 的速度运动，到达 B
点时运动同时停止．设△AMN 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（秒），则下列图象中能大致
反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把结果填写在答题卡的
相应区域内)
9．（3 分）|a﹣1|+ =0，则 a﹣b= ．
10．（3 分）命题“相等的角是对顶角”是 命题（填“真”或“假”）．
11．（3 分）某班组织 20 名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有 8 个座位，
另一种车每辆有 4 个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有 种租车方3
案．
12．（3 分）若圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2
（结果保留 π）
13．（3 分）如图，从点 A（0，2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（5，3），则这束光
从点 A 到点 B 所经过的路径的长为 ．
14．（3 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，H、F 分别为 AD、BC 边的中点，四边形 EFGH 为矩形，
E、G 分别在 AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比
为 ．
三、解答题（本大题共 10 个小题，本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域
内
15．（6 分）解方程组
16．（6 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
17．（6 分）一项工程，甲，乙两公司合作，12 天可以完成，共需付施工费 102000 元；如果
甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施工费
比甲公司每天的施工费少 1500 元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
18．（6 分）自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为
了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的4
跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果
绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中 C 类女生及 D 类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女
同学的概率．
19．（7 分）如图所示，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线
交 CE 的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF．
（1）求证：D 是 BC 的中点；
（2）若 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．
20．（7 分）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线 AB、AC 与地面 MN 的
夹角分别为 8°和 10°，该大灯照亮地面的宽度 BC 的长为 1.4 米，求该大灯距地面的高
度．（参考数据：sin8°≈ ，tan8°≈ ，sin10°≈ ，tan10°≈ ）5
21．（10 分）某低碳节能产品的年产量不超过 100 万件，该产品的生产费用 y（万元）与年
产量 x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的
销售单价 z（元/件）与年销售量 x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产
出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．
（1）求 y 与 x 以及 z 与 x 之间的函数关系式；
（2）设年产量为 x 万件时，所获毛利润为 w 万元，求 w 与 x 之间的函数关系式；并求年产
量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额﹣生产费用）．
22．（10 分）平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（10，0），已知点 C 为中点，以 c 为圆
心作圆，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB 至点 D，使 DB=AB，过点 D
作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连结 CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧 AB 的长；
（2）当 DE=8 时，求线段 EF 的长．
23．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1
个单位长的速度向点 A 匀速运动；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀
速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交 BC 于点 E．点 P、Q
同时出发，当点 P 到达点 A 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t
＞0）．
（1）当 t 为何值时，DE∥AB？
（2）求四边形 BQPC 的面积 s 与 t 的函数关系式；6
（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 BQPC 的面积与 Rt△ABC 的面积比为 13：15？若存在，
求 t 的值．若不存在，请说明理由；
（4）若 DE 经过点 C，试求 t 的值．
24．（10 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ ），且与 y 轴交
于点 C（0，2），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）．
（1）求抛物线的解 析式及 A、B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP
的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以 AB 为直径的⊙M 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式．
7
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项 A、B、
C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置。
1．
【考点】36：去括号与添括号；35：合并同类项．
【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指
数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符
号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号 内各项的符号与原来的符号相反，进
行计算，即可选出答案．
【解答】解：A、6a﹣5a=a，故此选项错误；
B、a 与 2a2 不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；
D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意
乘法分配律的应用，不要漏乘．
2．
【考点】29：实数与数轴．
【分析】先由数轴观察 a、b、c 的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判
断．
【解答】解：由数轴可以看出 a＜b＜0＜c．
A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；
B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；
C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；
D、∵a＜c，b＜0，∴ ＞ ，故选项错误．
故选：B．8
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．
3．
【考点】X4：概率公式．
【分析】先根据白色棋子的概率是 ，得到一个方程，再往盒中放进 3 颗黑色棋子，取得白
色棋子的概率变为 ，再得到一个方程，求解即可．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ．
故选：B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ；关键是得到两个关于概率的方
程．
4．
【考点】W4：中位数；W2：加权平均数．
【分析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5，5，10，15，20，
故平均数为： =11，
中位数为：10．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，属于 基础题，解题的关键是熟练掌握其概
念．
5．
【考点】FE：一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】根据两点确定一条直线，当 x=0，求出 y 的值，再利用 y=0，求出 x 的值，即可得9
出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
【解答】解：∵x﹣2y=2，
∴y= x﹣1，
∴当 x=0，y=﹣1，当 y=0，x=2，
∴一次函数 y= x﹣1，与 y 轴交于点（0，﹣1），与 x 轴交于点（2，0），
即可得出 C 符合要求，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出
与坐标轴交点坐标是解题关键．
6．
【考点】T5：特殊角的三角函数值；K7：三角形内角和定理；M4：圆心角、弧、弦的关
系．
【分析】根据三角形的内角和是 180°求得∠AEB 的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值
求解．
【解答】解：∵∠A=70° ，∠C=50°，
∴∠B=∠C=50°，∠AEB=60°，
∴sin∠AEB= ．
故选：D．
【点评】考查了圆周角定理、三角形的 内角和是 180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数
值．
7．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】连接 OA、OC，S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，根据反比例函数中 k 的几何意义即可求得
S△BCO，根据 S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO 求解．
【解答】解：连接 OA、OC．
∵AB⊥x 轴，
∴AB∥OD，10
∴S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO= ×6×4=12，
又∵双曲线的解析式是 ，
∴S△BCO= ×6=3，
∴S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO=12﹣3=9．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及反比例函数中比例系数 k 的几何意义，正确理解
S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，是关键．
8．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】当点 N 在 AD 上时，易得 S△AMN 的关系式；当点 N 在 CD 上时，高不变，但底边在增
大，所以 S△AMN 的面积关系式为一个一次函数；当 N 在 BC 上时，表示出 S△AMN 的关系式，根
据开口方向判断出相应的图象即可．
【解答】解：当点 N 在 AD 上时，即 0≤x≤1，S△AMN= ×x×3x= x2，
点 N 在 CD 上时，即 1≤x≤2，S△AMN= ×x×3= x，y 随 x 的增大而增大，所以排除 A、D；
当 N 在 BC 上时，即 2≤x≤3，S△AMN= ×x×（9﹣3x）=﹣ x2+ x，开口方向向下．
故选：B．
【点评】此题考查动点问题的函数图象问题，根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关
系式是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共有 6 个小题，每 小题 3 分，共 18 分，只要求把结果填写在答题卡的
相应区域内)11
9．
【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣1=0，3+b=0，
解得 a=1，b=﹣3，
所以 a﹣b=1﹣（﹣3）=1+3=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0．
10．
【考点】O1：命题与定理．
【分析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
【解答】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
【点评】此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
11．
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】设租用每辆 8 个座位的车 x 辆，每辆有 4 个座位的车 y 辆，根据车座位数等于学生
的人数列出二元一次方程，再根据 x、y 都是正整数求解即可．
【解答】解：设租用每辆 8 个座位的车 x 辆，每辆有 4 个座位的车 y 辆，
根据题意得，8x+4y=20，
整理得，2x+y=5，
∵x、y 都是正整数，
∴x=1 时，y=3，
x=2 时，y=1，
x=3 时，y=﹣1（不符合题意，舍去），
所以，共 有 2 种租车方案．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．12
12．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】先计算出圆锥底面圆的周长 2π×3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧
长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即
可．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积= ×2π×3×5=15π（cm2）．
故答案为 15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的
周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
13．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】先过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，由 A（0，2），B（5，3），即可得 OA=2，BD=3，OD=5，
由题意易证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 OA：BD=OC：DC=AC：
BC=2：3，又由勾股定理即可求得这束光从点 A 到点 B 所经过的路径的长．
【解答】解：如图，过点 B 作 BD⊥x 轴于 D，
∵A（0，2），B（5，3），
∴OA=2，BD=3，OD=5，
根据题意得：∠ACO=∠BCD，
∵∠AOC=∠BDC=90°，
∴△AOC∽△BDC，
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
∴OC=5× =2，
∴CD=OD﹣OC=3，
∴AC= =2 ，BC= =3 ，
∴AC+BC=5 ，
故答案为：5 ．13
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质．此题难度适
中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系．
14．
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】根据矩形性质得出 AD=BC，AD∥BC，∠D=90°，求出四边形 HFCD 是矩形，得出△HFG
的面积是 CD×DH= S 矩形 HFCD，推出 S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理 S△HEF=S△BEF+S△AEH，即可得出
答案．
【解答】解：连接 HF，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°
∵H、F 分别为 AD、BC 边的中点，
∴DH=CF，DH∥CF，
∵∠D=90°，
∴四边形 HFCD 是矩形，
∴△HFG 的面积是 CD×DH= S 矩形 HFCD，
即 S△HFG=S△DHG+S△CFG，
同 理 S△HEF=S△BEF+S△AEH，
∴图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比是 1：1，
故答案为：1：1．14
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，主要考查学生的推理能力．
三、解答题（本大题共 10 个小题，本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域
内
15．
【考点】98：解二元一次方程组．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解： ，
①×3，得：3x+9y=﹣3 ③，
③﹣①，得：11y=﹣11，
解得：y=﹣1，
将 y=﹣1 代入①，得：x﹣3=﹣1，
解得：x=2，
则方程组的解为 ．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元
法是解答此题的关键．
16．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可找出不等式组的
解集．
【解答】解： ，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为： ．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表15
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．
【考点】B7：分式方程的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙工程公司单独完成需 1.5x 天，根据
合作 12 天完成列出方程求解即可．
（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完成此项工程需 1.5x
天．
根据题意，得 + = ，
解得 x=20，
经检验知 x=20 是方程的解且符合题意．
1.5x=30
故甲公司单独完成此项工程，需 20 天，乙公司单独完成此项工程，需 30 天；
（2）设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，
根据题意得 12（y+y﹣1500）=102000，解得 y=5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；
故甲公司的施工费较少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等
量关系求解．
18．
【考点】 VC：条形统计图；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据 A 类的人数是 3，所占的百分比是 15%，据此即可求得总人数；
（2）根据百分比的意义求得 C、D 两类的人数，进而求得 C 类女生及 D 类男生的人数；
（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是：（1+2）÷15%=20（人）；16
（2）C 类学生的人数是：20×25%=5（人），则 C 类女生人数是：5﹣3=2（人）；
D 类的人数是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）=2（人），则 D 类男生的人数是：2﹣1=1（人）；
如图所示：
；
（3）如图所示：
则恰好是一位男同学和一位女同学的概率是： = ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF
和△DEC 全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知 AF 平行等于 BD，易证四边形 AFBD 是平行四边形，而 AB=AC，AD 是中线，
利用等腰三角形三线合一定理，可证 AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形 AFBD 是矩
形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点 E 为 AD 的中点，
∴AE=DE，17
在△AEF 和△DEC 中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D 是 BC 的中点；
（2）若 AB=AC，则四边形 AFBD 是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形 AFBD 是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形 AFBD 是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，
明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
20．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】过点 A 作 AD⊥MN 于点 D，在 Rt△ADB 与 Rt△ACD 中，由锐角三角函数的定义可知，18
=tan∠ABD， = ①， =tan∠ACD， = ②，联立两方程即可求出
AD 的长．
【解答】解：过点 A 作 AD⊥MN 于点 D，在 Rt△ADB 与 Rt△ACD 中，由锐角三角函数的定义
可知， =tan∠ABD， = ①，
=tan∠ACD， = ②，
联立两方程得 ，
解得 AD=1．
答：该大灯距地面的高度 1 米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利
用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
21．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法可求出 y 与 x 以及 z 与 x 之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额﹣生产费用，可得出 w 与 x 之间的函数关系式，
再利用配方法求函数最值即可．
【解答】解：图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为 y=ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a= ，
故 y 与 x 之间的关系式为 y= x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），19
设 z=kx+b，则 ，
解得： ，
故 z 与 x 之间的关系式为 z=﹣ x+30；
（2）年产量为 x 万件时，生产费用为 x2，销售额为：zx=（﹣ x+30）x=﹣ x2+30x，
则 w=﹣ x2+30x﹣ x2=﹣ x2+30x=﹣ （x2﹣150x）=﹣ （x﹣75）2+1125，
当 x=75 时，获得毛利润最大，最大毛利润为 1125 万元．
答：当年产量为 75 万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为 1125 万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法
求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
22．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）连接 BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根据弧长公式求解；
（2）连接 OD，由垂直平分线的性质得 O D=OA=10，又 DE=8，在 Rt△ODE 中，由勾股定理求
OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求 EF 即可．
【解答】解：（1）连接 BC，
∵A（10，0），
∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧 AB 的长= = π；
（2）①若 D 在第一象限，
连接 OD，
∵OA 是⊙C 直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，20
∴OB 是 AD 的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在 Rt△ODE 中，
OE= ═8
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴ = ，即 ，
∴EF=3；
②若 D 在第二象限，
连接 OD，
∵OA 是⊙C 直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB 是 AD 的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在 Rt△ODE 中，
OE= =6
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴ ，即 ，
∴EF=12；
∴EF=3 或 12．21
【点评】本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：相似三角形的判定与性质，
勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用．关键是理解题意，根据基本条件，图形的
性质，分类求解，
23．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）根据 DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出 t；
（2）根据四边形 BQPC 的面积=△ABC 的面积﹣△AQP 的面积，列出关于 x、y 的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出 t；
（4）DE 经过点 C，作 QH⊥BC 于 H，得到 DH∥AC，用 t 表示出 QH、EH，根据垂直平分线的
性质和勾股定理列出关系式求出 t．
【解答】解：（1）当 DE∥AB 时，∠AQP=90°，
则△AQP∽△ACB，
= ， = ，t= ；
（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4，
S△ABC= ×3×4=6，
作 QF⊥BC 于 F，22
则 QF∥BC，
= ，即 = ，
QF= t，
S△AQP= ×（3﹣t）× t=﹣ t2+ t，
S=6﹣（﹣ t2+ t）
= t2﹣ t+6；
（3）（ t2﹣ t+6）：6=13：15，
整理得，t2﹣3t+2=0
解得：t1=1，t2=3（舍去）；
当 t=1 时，四边形 BQPC 的面积与 Rt△ABC 的面积比为 13：15；
（4）如图，DE 经过点 C，作 QH⊥BC 于 H，
∵DH∥AC，
∴ = = ，23
= ，QH= ，
= ，
BH= ，HC= t，
∵DE 垂直平分 PQ，
∴PC=CQ，
（ ）2+（ t）2=t2，
90t=225，
t= ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．
24．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于 0 后求得 x 的值即为与 x 轴交
点坐标的横坐标；
（2）线段 BC 的长即为 AP+CP 的最小值；
（3）连接 ME，根据 CE 是⊙M 的切线得到 ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，
设 OD=x，在 RT△COD 中，利用勾股定理求得 x 的值即可求得点 D 的坐标，然后利用待定系
数法确定线段 CE 的解析式即可．
【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0﹣4）2﹣ =2
解得：a=
∴y= （x﹣4）2﹣
即：y= x2﹣ x+2
当 y=0 时， x2﹣ x+2=024
解得：x=2 或 x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4，
因为 A、B 两点关于 l 对称，连接 CB 交 l 于点 P，则 AP=BP，所以 AP+CP=BC 的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2 ，
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP 的最小值为 2 ；
（3）如图 3，连接 ME
∵CE 是⊙M 的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
∵C 的坐标（0，2），
∴OC=2，
∵AB=4，
∴ME=2
∴OC=ME=2，
∵∠ODC=∠MDE，
∵在△COD 与△MED 中
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设 OD=x
则 CD=DM=OM﹣OD=4﹣x
则 Rt△COD 中，OD2+OC2=CD2，25
∴x2+22=（4﹣x）2
∴x=
∴D（ ，0）
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵直线 CE 过 C（0，2），D（ ，0）两点，
则
解得：
∴直线 CE 的解析式为 y=﹣ +2；26
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特 别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中
考中的常考内容，本题难度偏大．
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