1
中考数学模试卷
一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）
1．（3 分）4 的倒数的相反数是（ ）
A．﹣4 B．4 C． D．
2．（3 分）习近平总书记提出了未来 5 年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约
11700000 人，将数据 11700000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×106 B．1.17×107 C．1.17×108 D．11.7×106
3．（3 分）在一次数学测试中，某学校小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别为 65，82，
86，82，76，95，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是 82 B．中位数是 82 C．方差 8.4 D．平均数是 81
4．（3 分）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加
位置是（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3=a9 B．a2•a3=a6 C．（2a）3=8a3 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
6．（3 分）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，
那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）如图，直线 l 1∥l2，且分别与△ABC 的两边 AB、AC 相交，若∠A=45°，∠
1=65°，则∠2 的度数为（ ）2
A．45° B．65° C．70° D．110°
8．（3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，DC=4cm，将线段 DC 沿 CB 方向
平移 7cm 得到线段 EF，点 E、F 分别落在边 AB、BC 上，则△EBF 的周长是（ ）cm．
A．7 B．11 C．13 D．16
9．（3 分）不等式组 的解集为 x＜2，则 k 的取值范围为（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
10．（3 分）如图，分别延长圆内接四边形 ABDE 的两组对边，延长线相交于点 F、C，若∠
F=27°，∠A=53°，则∠C 的度数为（ ）
A．30° B．43° C．47° D．53°
11．（3 分）二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）3
12．（3 分）已知点A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（3 分）如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG，DE 和 FG
相交于点 O．设 AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③ = ；④
（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
14．（3 分）如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x
轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）4
15．（3 分）分解因式：a2b+2ab2+b3= ．
16．（3 分）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相
同，其中有 5 个黄球 ，4 个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的
概率为 ．
17．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将 Rt△ABC 绕 A 点顺
时针旋转 90°得到 Rt△ADE，则 BC 扫过的面积为 ．
18．（3 分）如图，已知点 A（1，0），B（0，2），以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD，
直线 CD 与 y 轴交于点 G，再以 DG 为边在第一象限内作正方形 DEFG，若反比例函数 y= 的
图象经过点 E，则 k 的值是 ．
19．（3 分）规定：[x]表示不大于 x 的最大整数，（x）表示不小于 x 的最小整数 ，[x）表示
最接近 x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x
＜1 时，化简[x]+（x）+[x）的结果是 ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共计 63 分）
20．（6 分） +（ ）﹣1﹣ ﹣| ﹣2|
21．（7 分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部
分男生进行了一次测试（满分 15 分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成
四类：A 类（12≤m≤15），B 类（9≤m≤11），C 类（6≤m≤8），D 类（m≤5）绘制出以下两
幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：5
（1）本次抽取样本容量为 ，扇形统计图中 A 类所对的圆心角是 度；
（2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有 300 名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目 成绩为 C 类的
有多少名？
22．（7 分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 B 的仰角为 45°，看
这栋高楼底部 C 的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离 AD 为 20m，求这栋楼的高度．（结
果保留根号）
23．（9 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径， = ，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点
E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE 是⊙O 的切线；
（3）若 EC=1，CD=3，求 cos∠DBA．
24．（10 分）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地 480 千米的目的地，乙车比甲车晚出发
2 小时（从甲车出发时开始计时），图中折线 OABC、 线段 DE 分别表示甲、乙两车所行路程 y6
（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段 AB 表示甲出发不足 2 小时因
故停车检修），请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程 y 与时间 x 的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
25．（11 分）（1 ）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且
DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果∠GCE=45°，请你
利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E 是 AB 上一点，且∠
DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形 ABCD 的面积．
26．（13 分）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1），且与直线y=x﹣2 交于 B，C
两点．
（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，
M，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理7
由．
8
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）
1．
【考点】17：倒数；14：相反数．
【分析】先求出 4 的倒数，再根据相反数即可解答．
【解答】解：4 的倒数是 ， 的相反数﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数和相反数，解决本题的关键是熟记相反数，倒数的定义．
2．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数．
【解答】解：11700000 用科学记数法表示为 1.17×107，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其
中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据重新排列为 65、76、82、82、 86、95，
A、数据的众数为 82，此选项正确；
B、数据的中位数为 =82，此选项正确；
C、数据的平均数为 =81，9
所以方差为 ×[（65﹣81）2+（76﹣81）2+2×（82﹣81）2+（86﹣81）2+（95﹣81）2]=84，
此选项错误；
D、由 C 选项知此选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，
众数是一组数据中出现次数最多的数据．
4．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称 图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重
合．
5．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方
公式．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式逐一计算可
得．
【解答】解：A、a6 与 a3 不是同类项，不 能合并，此选项错误；
B、a2•a3= a5，此选项错误；
C、（2a）3=8a3，此选项正确；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误；10
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法
则、积的乘方与完全平方公式．
6．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以
堵住圆形空洞，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的
图形是俯视图．
7．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠AFE，即可得出答
案．
【解答】解：如图，∵直线 l1∥l2，∠1=65°，
∴∠AEF=∠1=65°，
∵∠A=45°，
∴∠2=∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=70°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的应用，解此题的关
键是求出∠AEF 的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
8．11
【考点】Q2：平移的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】直接利用平移的性质得出 EF=DC=4cm，进而得出 BE=EF=4cm，进而求出答案．
【解答】解：∵将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF 的周长为：4+4+5=13（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出 BE 的长是解题关键．
9．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即
可．
【解答】解：解不等式组 ，得
．
∵不等式组 的解集为 x＜2，
∴k+1≥2，
解得 k≥1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已
知得出关于 k 的不等式，难度适中．
10．
【考点】M6：圆内接四边形的性质．12
【分析】先根据三角形外角性质∠CBD=∠A+∠F=80°，根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠
BDE=180°，求得∠BDE=180°﹣53°=127°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠A=53°，∠F=27°，
∴∠CBD=∠A+∠F=80°，
∵∠A+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°﹣53°=127°，
∵∠BDE=∠C+∠CBD，
∴∠C=127°﹣80°=47°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意
一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．
11．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x=﹣3 和﹣1 时的函数值都是﹣3，相等，
∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确
定出对称轴是解题的关键．
12．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】由点 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，可得 A 与 B 关于 y
轴对称，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A（﹣1，1），B（1，1），
∴A 与 B 关于 y 轴对称，故 C，D 错误；
∵B（1，1），C（2，4），当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
而 B（1，1）在直线 y=x 上，C（2，4）不在直线 y=x 上，所以图象不会是直线，故 A 错误；13
故 B 正确．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
13．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KB：全等三角形的判定；LE：正方形的性质．
【分析】由四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，根据正方形的性质，即可得 BC=DC，
CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据 SAS 证得①△BCG≌△DCE；然后延长 BG 交 DE 于点 H，
根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE；由△DGO 与△DCE
相似即可判定③错误，证明△EFO∽△DGO，即可求得④正确；即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG 和△DCE 中， ，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；
②延长 BG 交 DE 于点 H，如图所示：
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；
③∵四边形 GCEF 是正方形，
∴GF∥CE，
∴ ，14
是错误的．
故③错误；
④∵DC∥EF，
∴△EFO∽△DGO，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．
故④正确；
正确的有 3 个，故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，
综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键．
14．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）
之间，则当 x=﹣1 时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 x=﹣
=1，即 b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为 n 得到 =n，则
可对③进行判断；由于抛物线与直线 y=n 有一个公共点，则抛物线与直线 y=n﹣1 有 2 个公
共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴
为直线 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当 x=﹣1 时，y＞0，
即 a﹣b+c＞0，所以①正确；15
∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1，即 b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ =n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线 y=n 有一个公共点，
∴抛物线与直线 y=n﹣1 有 2 个公共点，
∴一元二次方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次
项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线
向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞
0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物
线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）：抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac
＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac
＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
15．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．
【解答】解：原式=b（a+b）2．
故答案为：b（a+b）2 ．
【点评】本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟记完全平方公式是解答此题的关
键．
16．
【考点】X3：概率的意义．16
【分析】设红球有 x 个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出红球的个数，再根据概率
公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他
完全相同，其中有 5 个黄球，4 个蓝球，
随机 摸出一个蓝球的概率是 ，
设红球有 x 个，
∴ = ，
解得：x=3
∴随机摸出一个红球的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
17．
【考点】MO：扇形面积的计算；KO：含 30 度角的直角三角形；R2：旋转的性质．
【分析】根据题意可以求得 AC 和 AB 的长，然后根据旋转的性质即可求得 BC 扫过的面积．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2 ，
∴BC 扫过的面积为： =π，
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含 30 度角的直角三角形、旋转的性质，解答本题的关
键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质；LE：正方形的性
质．
【分析】作 EH⊥x 轴于 H，求出 AB 的长，根据△AOB∽△BCG，求出 DG 的长，再根据△AOB∽△17
EHA，求出 AE 的长，得到答案．
【解答】解：作 EH⊥x 轴于 H，
∵OA=1，OB=2，
由勾股定理得，AB= ，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△BCG，
∴CG=2BC=2 ，
∴DG=3 ，AE=4 ，
∵∠AOB=∠BAD=∠EHA=90°，
∴△AOB∽△EHA，
∴AH=2EH，
又 AE=4 ，
∴EH=4，AH=8，
∴点 E 的坐标为（9，4），
则 k=36，
故答案为：36．
【点评】本题考查的是正方形的性质和反比例函数图象上点的特征，运用相似三角形求出图
中直角三角形两直角边是关系是解题的关键，解答时，要认真观察图形，找出两正方形边长
之间的关系．
19．
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】分五种情况讨论 x 的范围：①﹣1＜x＜﹣0.5，②﹣0.5＜x＜0，③x=0，④0＜x＜
0.5，⑤0.5＜x＜1 即可得到答案．18
【解答】解：①﹣1＜x＜﹣0.5 时，
[x]+（x）+[x）=﹣1+0﹣1=﹣2；
②﹣0.5＜x＜0 时，
[x]+（x）+[x）=﹣1+0+0=﹣1；
③x=0 时，
[x]+（x）+[x）=0+0+0=0；
④0＜x＜0.5 时，
[x]+（x）+[x）=0+1+0=1；
⑤0.5＜x＜1 时，
[x]+（x）+[x）=0+1+1=2．
故答案为：﹣2 或﹣ 1 或 0 或 1 或 2．
【点评】本题考查了学生对[x]表示不大于 x 的最大整数，（x）表示不小于 x 的最小整数，[x）
表示最接近 x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论
思想的应用．
三、解答题（本大题共 7 小题，共计 63 分）
20．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式=2 +2﹣ ﹣（2﹣ ）
=2 +2﹣（2+ ）﹣2+
=2 +2﹣2﹣ ﹣2+
=2 ﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21．
【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：
扇形统计图．19
【分析】（1）根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可
以求得扇形圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得 C 类学生数和 C 类与 D 类所占的百分比，从而可以将统计图补充
完整；
（3）根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C 类的有多少名．
【解答】解：（1）由题意可得，
抽取的学生数为：10÷20%=50，
扇形统计图中 A 类所对的圆心角是：360°×20%=72°，
故答案为：50，72；
（2）C 类学生数为：50﹣10﹣22﹣3=15，
C 类占抽取样本的百分比为：15÷50×100%=30%，
D 类占抽取样本的百分比为：3÷50×100%=6%，
补全的统计图如右图所示，
（3）300×30%=90（名）
即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C 类的有 90 名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．
22．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在 Rt△ABD 中，求出 BD，在 Rt△ACD 中，求出 CD，二者相加即为楼高 BC
【解答】解：在 Rt△ABD 中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
∴BD=AD=20．
在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，20
∴CD= AD=20 ．
∴BC=BD+CD=20+20 （m）．
答：这栋楼高为（20+20 ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三
角形是解题的关键．
23．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，易证△ABF≌△DBE（AAS），所以 BF=BE，从而可证明∠
1=∠BCE；
（2）连接 OB，易证∠BAC=∠EBC，由于 OA=OB，所以∠BAC=∠OBA，所以∠EBC=∠OBA，从而
可知∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，所以 BE 是⊙O 的切线；
（3）易证：△EBC≌△FBC（AAS），所以 CF=CE=1，由（1）可知：AF=DE=1+3=4，所以
AC=CF+AF=1+4=5，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，
在△ABF 与△DBE 中，
∴△ABF≌△DBE（AAS）
∴BF=BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1=∠BCE
（2）连接 OB，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，即∠1+∠BAC=90°，
∵∠BCE+∠EBC=90°，且∠1=∠BCE，
∴∠BAC=∠EBC
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴∠EBC=∠OBA，21
∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，
∴BE 是⊙O 的切线
（3）由（2）可知：∠EBC=∠CBF=∠BAC，
在△EBC 与△FBC 中，
∴△EBC≌△FBC（AAS）
∴CF=CE=1
由（1）可知：AF=DE=1+3=4，
∴AC=CF+AF=1+4=5，
∴cos∠DBA=cos∠DCA= =
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线性质与判定，全等三角形的性质与判定，锐
角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识．
24．
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）由图可看出，乙车所行路程 y 与时间 x 的成一次函数，使用待定系数法可求得
一次函数关系式；
（2）由图可得，交点 F 表示第二次相遇，F 点横坐标为 6，代入（1）中的函数即可求得距
出发地的路程；22
（3）交点 P 表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点 P 的横坐标表示时间，纵坐
标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点 P 的纵坐标先求出；从图中看出，点 P 的纵
坐标与点 B 的纵坐标相等，而点 B 在线段 BC 上，BC 对应的函数关系可通过待定系数法求解，
点 B 的横坐标已知，则纵坐标可求．
【解答】解：（1）设乙车所行使路程 y 与时间 x 的函数关系式为 y=k1x+b1，
把（2，0）和（10，480）代入，得 ，
解得： ，
故 y 与 x 的函数关系式为 y=60x﹣120；
（2）由图可得，交点 F 表示第二次相遇，F 点的横坐标为 6，此时 y=60×6=120=240，
则 F 点坐标为（6，240），
故两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为 240 千米；
（3）设线段 BC 对应的函数关系式为 y=k2x+b2，
把（6，240） 、（8，480）代入，
得 ，
解得 ，
故 y 与 x 的函数关系式为 y=120x﹣480，
则当 x=4.5 时，y=120×4.5﹣480=60．
可得：点 B 的纵坐标为 60，
∵AB 表示因故停车检修，
∴交点 P 的纵坐标为 60，
把 y=60 代入 y=60x﹣120 中，
有 60=60x﹣120，
解得 x=3，
则交点 P 的坐标为（3，60），23
∵交点 P 表示第一次相遇，
∴乙车出发 3﹣2=1 小时，两车在途中第一次相遇．
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算
技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较
高．
25．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LI：直角梯
形．
【分析】（1）由四边形是 ABCD 正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得 CE=CF；
（2）首先延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，
又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得 GE=BE+GD；
（3）首先过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G，易证得四边形 ABCG 为正方形，由（1）（2）可
知，ED=BE+DG，即可求得 DG 的长，设 AB=x，在 Rt△AED 中，由勾股定理 DE2=AD2+AE2，可得
方程，解方程即可求得 AB 的长，继而求得直角梯形 ABCD 的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）证明：如图 2，延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，24
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．
（3）解：如图 3，过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G．
在直角梯形 ABCD 中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形 ABCG 为正方形．
∴AG=BC．…（7 分）
∵∠DCE=45°，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8 分）
∴10=4+DG，
即 DG=6．
设 AB=x，则 AE=x﹣4，AD=x﹣6，
在 Rt△AED 中，
∵DE2=AD2+AE2，即 102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x=12 或 x=﹣2（舍去）．…（9 分）
∴AB=12．
∴S 梯形 ABCD= （AD+BC）•AB= ×（6+12）×12=108．
即梯形 ABCD 的面积为 108．…（10 分）25
【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及
勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注
意数形结合思想与方程思想的应用．
26．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，
可求得 C 点坐标；
（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，与 x 轴交于 D，得到 y=2x﹣1，求得 BD=2﹣ = 于是
得到结论；
（3）设出 N 点坐标，可表示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当△MON 和△ABC
相似时，利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得 N 点的坐标．
【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为 y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得 a=﹣1，
∴抛物线解析式为 y=﹣（x﹣1）2+1，
即 y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得 ，
解得 或 ，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；26
（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，与 x 轴交于 D，
把 A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得 ，
解得： ，
∴y=2x﹣1，
当 y=0，即 2x﹣1=0，
解得：x= ，
∴D（ ，0），
∴BD=2﹣ =
∴△ABC 的面积=S△ABD+S△BCD= × ×1+ × ×3=3；
（3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0），则 M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB= ，BC=3 ，
∵MN⊥x 轴于点 N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有 = 或 = ，
①当 = 时，
∴ = ，即|x||﹣x+2|= |x|，
∵当 x=0 时 M、O、N 不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|= ，
∴﹣x+2=± ，解得 x= 或 x= ，
此时 N 点坐标为（ ，0）或（ ，0）；
②当或 = ， 时，27
∴ = ，
即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，
∴﹣x+2=±3，
解得 x=5 或 x=﹣1，
此时 N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三
角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式
的运用，在（3）中设出 N、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的
关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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