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6.2 黄金分割
学习目标：
1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活的各个领域有
价值的运用；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数
学与生活的密切联系；
4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识；
教学重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义；
教学难点：怎样作一条线段的黄金分割点。
课前预复习：
阅读教材 P44～P45 内容。
一、复习：
前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？
什么叫比例中项？
二、情境创设：
1、P44 欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段 AB、
AC 的长度，并求出线段 AB 与 AC 的比值；
2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段 AB、AC 的长度，并求出线
段 AB 与 AC 的比值；
C
B
A
A
B
C2
3、观察 P45“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与
长的比值约是多少？
三、让我们一起来探究并解决问题吧：
1、探索活动：
活动一、计算 （或 ）的值，引入黄金分割的概念。
把矩形 ABCD 的长 AB 与宽 BC 画在同一条直线上，此时点 B 把线段 AC 分成两部分，如果 ，
那么线段 AC 被点 B 黄金分割。（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线
段与整个线段之比）
解：设 AC＝x，AB＝1，则由 AC2＝BC·AB 得：x2＝（1—x）·1，∴x2 + x—1＝0，
∴x2 + x+ ＝ ，∴（x＋ ）2＝ ，∴……，∴ ，又∵＜1，∴x＝ ≈0.618
BC 与 AC（或 AC 与 AB）的比值约为 0.168，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为 0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？
活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）
1、作顶角为 36°的等腰△ABC；
2、分别量出底边 BC 与腰 AB 的长度；
3、作∠B 的平分线，交 AC 于点 D，量出△BCD 的底边 CD 的长度；
最后，分别求出△ABC 与△BCD 的底边与腰的长度的比值（精确到 0.001）
问：比值是多少？ 大约是 0.618
所以我们把顶角为 36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：
（1） ；
（2）设 BD 是△ABC 的底角的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且点 D 是线段 AC 的黄金分割点；
AC
AB
AB
BC
AB
BC
AC
AB =
4
1
4
5
2
1
4
5
2
15x
±=
2
15 −
618.0AB
BC ≈
21
34
A CB
A B
CD
A B
CD E
F
A
CB
D3
C BA
（3）如再作∠C 的平分线，交 BD 于点 E，则△CDE 也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄
金三角形；
活动三、如图，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角也相等，
（1）找出图中的黄金三角形；
（2）图中的点 F、G、H、M、N 分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、
△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；
（2）点 F 是线段 CG、CE、DN、BD 的黄金分割点，……………
例题讲解：
例 1、若线段 AB＝4cm，点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC 的长为多少？
例 2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气
温约为_______ oC (精确到 1 oC)。
例 3、如图，点 C 是 AB 的黄金分割点，AB＝4，则 AC2＝________；（结果保留根号）
例 4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金
矩形的长等于 6，则这个黄金矩形的宽等于_________；（结果保留根号）
课后练习：
一、选择题
1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为
20 cm，则它的宽约为 ( )
A．12．36 cm B．13．6 cm C．32．36 cm D．7．64 cm
A
B H
F
GN
M
E
DC4
2．一条线段的黄金分割点有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
3．如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC．如果 ，那么下列说法错误的是 ( )
A．线段 AB 被点 C 黄金分割 B．点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点
C．AB 与 AC 的比叫做黄金比 D．BC 与 AC 的比叫做黄金比
4．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0．618 时，越给人一种美感．如图，某女
士身高 165 cm，下半身长 x 与身高 的比值是 0．60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋
的高度大约为 ( )
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
5．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计
方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学
根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到 0．01
m，参考数据： ， ， )是 ( )
A．0．62 m B．0．76 m C．1．24 m D．1．62 m
二、填空题
6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为
_________℃(结果保留整数)．
7．如图，若点 C 是 AB 的黄金分割点．AB=1，则 AC≈_______，BC≈______．
8．在等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，底角平分线 BD 交 AC 于点 D，得点 D 是线段 AC 的黄金分割
点．若 AC=10 cm．则 AD≈_________cm．
9．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形
的长等于 6 m，则这个黄金矩形的宽约为________m(精确到 0．1 m)．
AC BC
AB AC
=
l
2 1.414≈ 3 1.732≈ 5 2.236≈5
三、解答题
10．若线段 AB=4 cm，点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC 的长为多少?
11．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体如果舞台 AB 的长为
20 m，那么主持人应走到离点 A 多少米处时才是比较得体的位置(精确到 0．1 m)?
12．如果在一个矩形 ABCD(AB＜BC)中， ，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金
矩形给人以美感．在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFF(如图所示)，请问
矩形 ABFE 是否是黄金矩形?请说明理由．
5 1 0.6182
AB
BC
−= ≈
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