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5.5 用二次函数解决问题（1）
教学目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题
中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小
值．
教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要
能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题
的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问
题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确
分析，正确解题．
教学方法:在教师的引导下自主教学。
教学过程:
一、有关利润问题：
某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下
关系:在某一时间内,单价是 13.5元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200
件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
二、做一做：
某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是
如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵
树,平均每棵树就会少结 5 个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在 60400 个以上?
三、举例：2
【例 1】某商场经营一批进价为 2 元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x
元与日销售量 y 件之间有如下关系：
x 3 5 9 11
y[ 18 14 6 2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量 y 件与日销售单价 x 元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为 P 元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数表达式，并求出日销售单价 x 为多少元
时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润 P 是否存在最小值？若有，试求出；若无，请
说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数图象的简图，
观察图象，写出 x 与 P 的取值范围．
【例 2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000kg，购进价格为 30 元/kg，物价部门
规定其销售单价不得高于 70 元/kg，也不得低于 30 元/kg．市场调查发现，单价定为 70 元时，
日均销售 60kg；单价每降低 1 元，日均多售出 2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用 500
元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元．
（1）求 y 关于 x 的二次函数表达式，并注明 x 的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 y=a（x＋ ）2＋ 的形式，写出顶点坐标，
在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总
利较多？多多少？
a
b
2 a
bac
4
4 2−3
四、随堂练习：
1．某类产品按质量共分为 10 个档次，生产最低档次产品每件利润为 8 元，如果每提高一个档
次每件利润增加 2 元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产 60 件，每提高一个档次将少
生产 3 件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、课堂小结：本节课我们学习了什么？
课后作业:
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