27.1.1 圆的基本元素
教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点、难点： 1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
教学过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段 OA 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之
旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？
说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定
的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有 的同学步行上学，有 的同学坐公共汽车上学，
其他方式上学的同学有 ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，图 23.1.1 就是反映学校学生上学方式的扇形
统计图。
如图 23.1.2,线段 OA，OB，OC 都是圆的半径，线段 AC 为直径，这个以点 O 为圆心的圆叫作“圆 O”，记为
“⊙O”。线段AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦，曲线 BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为
︵
BC 、
︵
BAC ，其中像弧
︵
BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧
︵
BAC 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
如右图，∠AOB、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习
1、直径是弦吗？弦是直径吗？
50% 20%
30%
AO
图 23.1.1
C
B
A
O 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、说出右图中的圆心角、优弧、劣弧。
5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结
本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业
1、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，那么哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过 A、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于点 D， ，求 OD 的长。6cmBC =
第1题
C
B
A
O
D
第4题
C
B
A
O27.1.2 圆的对称性
教学目标
知识与技能
1.通过动手操作，了解圆心角的概念，理解圆的中心对称性.
2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各
组量也相等，以及它们在解题中的应用．
数学思考与问题解决
1.通过旋转、观察、探索圆中圆心角、弧、弦之间的关系，应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会
研究几何图形的各种方法.
2.在探索关系定理和它的推论中，感受类比的数学方法，在运用中感悟转化与化归的数学思想，获得分析
和解决问题的一些方法.
情感与态度
积极观察、发现、探究数学问题，激发对数学的好奇心和求知欲.
重点、难点
重点
理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的三个关系定理，并能应用这些定理理解相关问题.
难点
圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索及其应用.
教学设计
活动 1：动手操作，得出性质及概念
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和 .
2.将⊙O 绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？
3.在⊙O 中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角.教师提出圆心角的概念.
如图 1，∠AOB 的顶点在圆心,像这样的角叫做圆心角．
4.判断图 2 中的角是否是圆心角，说明理由.
活动 2：继续操作，探索定理及推论
O′
· · ·
图 2
B
O
A
图 11.在⊙O 中,作与圆心角∠AOB 相等的圆心角∠ ，连接 AB、 ，将两张纸片叠在一起，使⊙O 与
⊙O 重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得 OA 与 OA 重合,在操作的过程中，你能发现哪些等
量关系，理由是什么？请与小组同学交流.
2.学生会出现多对等量关系，老师给予鼓励，然后，教师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等.
3.在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4.综合 2、3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦也相等.请用符号语言把定理表示出来.
5.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6.定理拓展：教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究.
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应
的其余各组量也相等．
设计意图：让学生通过动手操作，发现圆的旋转不变性，同时以问题引起学生思考，进行探究，发现关系
定理，培养学生的分析能力和解题能力。接着，再以问题形式，搭建“脚手架”，引发学生思考，得出定
理推论，这样可以完整的把握所学知识，感悟类比的数学方法. 活动 1、2 花大量的时间，就是要关注学
生定理探究的过程，积累活动经验.
活动 3：学以致用，巩固定理
归纳小结
1.圆心角概念及圆的对称性．
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等，及其它们的应用．
３.类比的数学方法及转化与化归的数学思想.
作业布置
1.如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.如图 3，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，求弦 CE 的长．
3.如图 4，在⊙O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，
' ''' BOA '' BA
' '
O BA
C
E
D
图 3
图 4
M N
BOCA DM、N在⊙O 上．
（1）求证： .
（2）若 C、D 分别为 OA、OB 的中点，则 成立吗？
答案：1.D 2.3
3.（1）连接 OM、ON,证明△MCO≌△NDO,得出∠MOA=∠NOB,得出 .（2）成立.
板书设计
一、圆心角的概念
二、定理及其推论
27.1.2 圆的对称性
三、例 3
学生板书
四、检测
五、小结
备课资料
课外拓展阅读
圆是一种美丽的图形．春秋战国时期，墨翟在其所著《墨经》一书中就曾明确指出：“圆，一中同长
也。”意思是说：圆，只有一个圆心，由圆心到圆周的长都相等．圆在日常生活中的应用非常广泛，如车
轮、方向盘、光盘等．相传，英国的亚瑟王用圆桌宴请骑士，就是因为圆形桌子不易区分上、下席，所以
每位骑士都是贵宾．餐厅的餐桌大都做成圆形，月饼也大都做成圆形，这些都象征圆满、团圆、和谐．毕
达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美丽的是圆形．”
备选练习
1.下列说法，正确的是( )
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等
2. 一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角为______.
3. 在⊙O 中，直径 AB∥弦 CD， ，则∠BOD=______.
4. 在⊙O 中，弦 AB 的长恰好等于半径，弦 AB 所对的圆心角为 .
5．如图 5，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，
别交 BC、AD 于点 E、F，若∠D=55°，求弧 BE 的度数和弧 EF 的度数．
答案：1.B 2.90° 3.60° 4.60°
5.弧 BE 的度数为 70°，弧 EF 的度数为 55°.
AM BN=
=AM MN BN=
AM BN=
60AC °的度数为
D
E
图 5
CB
FAA
O
(1)
C
O
(3)
D
O
(4)
E
O
(5)
FO
(6)
B
O
(2)
27.1.3 圆周角
【学习目标】
1．了解圆周角的概念．
2．探索并了解同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
3．通过探索——猜想——验证——运用，感受分类、转化、整体思想，加强推理能力和应用意识．
【学习重、难点】
重点：圆周角定理及推论 1．
难点：探索圆周角定理及推论 1．
【教学设计】
一．情境引入
1．教师提问：同学们，我们学校的三大特色是什么？（接着播放学校足球队参加比赛的图片）在一次体
育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个
射门点 C、D、E，而点 C、D、E 与入射球门边缘点 A、B 在同
一个圆上，小明认为在点 D 处射门角度大些，想在点 A 处射门．
从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？
2．学生活动：针对提问自由发表看法．
3．教师引导学生进行数学建模，绘出相关图形，连接 OA、OB，复习上节课学习的圆心角；连接 CA、CB、
DA、DB、EA、EB，提出问题：∠C、∠D、∠E 是圆心角吗？为什么？它们是什么角呢？这就是我们今天要
学习的圆周角，并板书课题．
设计理念
结合学校足球特色，由生活中的实际问题引入对圆周角定理的猜想，让学生以此建立数学模型来解决
生活问题，从而激发学生的学习激情，并感受到数学来源于生活，又能服务于生活．
二．探究归纳
（一）自学探究，明晰概念
1．提出问题 1：什么样的角叫圆周角? 请阅读教材，把相关概念的关键词勾画出来．
2．学习反馈：判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？
C
E
O
D
BAC
D
B
A
5
2
8
3 7
1
64
O
BA
C
(1)
O
C
BA
(2)
C
O
BA
(3)
3．学生活动：独立自学，勾画关键词，独立思考回答.
4．教师在学生自学时巡视，在学生展示时，可考虑让各学习小组的中等水平的学生或学差生回答，若学
生回答错误，鼓励学生互助，进行剖析说理.
设计理念
让学生在初步理解什么是圆周角的基础上，在针对其定义的关键词进行反例对比练习，使学生真正落
实对圆周角定义的理解.
（二）合作探究，猜想验证
1．教师引导学生分析引入问题，其实就是判断圆周角∠C、∠D、∠E 的大小问题．那这几个圆周角有什
么关系？对着弧 AB 的还有圆心角∠AOB，它与这些圆周角又有什么大小关系？
提出问题 2：下面，我们先探究同弧所对的圆周角与圆心角有什么大小关系．
2．思路导航：测量下面几个图中同弧所对的圆周角与圆心角的度数．
3．大胆猜想:圆周角的度数是同弧所对的圆心角的度数的 ．
4．尝试验证：如图（1）或图（2）或图（3），点 A、B、C 在⊙O 上．
求证：∠AOB=2∠ACB．
5．学生活动：独立测量，接着分别在学习小组和班级交流讨论，得出猜想并尝试验证．在投影或黑板上
展示学生的验证方法，要落实书写的严密性与规范性．
6．教师在学生测量与验证过程中巡视，针对学生具体学情进行指导和提示.先板书学生对图（1）的验证
过程，再让各学习小组讨论图（2）、图（3）的验证方法；还可先由学优生分析图（2）的验证思路和理由
后，再让学生类比思考图（3）的验证思路，最后完成书面验证．教师还应引导学生归纳出相关的分类思
想、转化思想和整体思想．
设计理念
让学生先动手测量探索，进而大胆猜想圆周角定理，再进行严密验证，最后尝试运用解决反馈题，在
“探索——猜想——验证”的过程中，让学生经历数学探索的过程，培养学生做数学研究的能力，并感受
分类、转化思想，加强其推理能力和应用意识．
（三）练探结合，归纳定理1．试找出图中所有相等的圆周角（教材练习第 1 题）．
2．提出问题 3：同弧所对的圆周角有什么大小关系？
3．学生活动：独立思考回答，再尝试完成圆周角定理的
文字归纳与符号表示．
4．此环节考虑让学困生或中等水平的学生回答.学生回答时教师补充追问为什么，根据学生情况适当引导，
并注重对学生回答的鼓励和肯定．
设计理念
让学生在运用问题 2 所得结论解决问题时，完善圆周角定理:同弧所对的圆周角相等．这样让学生在
探中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展．
（四）再次练探，归纳推论
1．提出问题 4：半圆所对的圆周角的度数是多少？为什么？
2．学生活动：独立思考回答并说理，再尝试完成推论的
文字归纳与符号表示．
3．教师根据学生情况适当引导，并注重对学生回答的鼓励和肯定．
4．学习反馈：如图，AB 为⊙O 的直径，∠A=50°，则∠B= °．
设计理念
让学生在运用圆周角定理解题时，得到其推论 1：直径（半圆）所对的圆周角是直角，反之亦然．这
样既练习了圆周角定理，又推导出推论 1．让学生在做中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开
展．
三．学以致用
1．解决情景引入的射门问题．
教材练习第 2 题．
教材练习第 3 题．
2．学生活动：此环节可采用小组 PK 的方式进行．可结合各学习小组的正确率进行计分．
3．教师巡视并根据学生正确率的反馈情况进行评价．由于以上题目是教材上的常规题目，应达到较高的
过关率，可考虑中等水平的学生或学困生展示．
设计理念
达标检测由易到难，层层递进，螺旋上升，进一步巩固所学知识，达成学习目标，让不同的学生在数
学上得到不同的发展，同时也有效的使用了教材.
四．回顾反思
A
C
O B 今天这节课我学到的知识有……感受到的数学思想方法有……我的疑惑是……
1．学生活动：根据学生的课堂反应，若回答不够积极，可以让学生小组交流后再发言．
2．教师巡视．在学生回答时，及时肯定、鼓励、引导、校正．
五．拓展延伸
1．提出拓展题：如图，在一次足球比赛中，我校队员小李、小王、
小张互相配合向对方球门进攻，当小李带球冲到 C 点时，小王和
小张也分别冲到 D 点和 E 点，从纯数学的角度分析，小李应直接
射门，还是把球传出去？如果传出去，传给谁好？为什么？
2．学生活动：思考、小组交流讨论、展示回答．
3．教师巡视，参与小组交流，并适当引导．若问题在课堂上没有完全解决，可留待课后完成，这样让学
生带着思索走出课堂，更延伸到课外．
设计理念
此题拓展到圆外角与圆内角知识，但又可转化为圆周角来解决．同时此题又与引入问题首尾呼应，更
能有效激发学生解决问题的兴趣．能激发学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外．
六．分层作业
必作题：教材复习题第3题，第8题．
选作题：除了足球射门角度问题和曲尺检验凹面，其实生活中还有一些问题可以用圆周角定理及其推论来
解释．请你通过网络或其他方式，查询与圆周角定理及其推论1有关的实际问题，并做好问题交流的书面
作业．
【教学反思】
A
C
O
B
E
D
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