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萧山区2017年高考模拟试卷 数学卷
考试时间：150分钟 满分：150分
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷 选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、点 （ ）
2、 （ ）
，则“”是“”的__________条件 （ ）
___________ （ ）
5、若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为 ( )
A．8 B．12 C．16 D．20
（ ）
7、如图所示，日用用品小木凳的三视图及各边长度。请计算制作这样的小木凳需要多少立方厘米的木料？（除去损耗的木材，三视图的长度单位为：cm）
40
40
40
4
4
40
40
40
40
40
4
4
4
4
俯视图
侧视图
正视图
8、函数的图象与的图象的交点个数是几个？
（ ）
9、已知椭圆两个焦点分别为过两点分别作x轴垂线与椭圆分别交于四边形ABCD为正方形，则该椭圆
的离心率为 （ ）
10、如图三角形数阵中，满足两个条件：①第一行的数为1；②第n行（）首尾两数均为2n-1,其余各数都等于它肩上的两个数相加，则第20行（）中第二个数为 （ ）
第Ⅱ卷
非选择题部分（共110分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，第11,12,13,14题每题2空，每空3分，共24分；第15,16,17题每题1空，没空4分，共12分。
11、若满足，则的最小值为_______________，封闭区域的面积为_______________。
12、在空间直角坐标系中，的三个顶点分别为,, ，若以为斜边的直角三角形，则实数的值为_______________，若中AB=AC，则实数的值为_______________。
13、已知正项数列为等差数列，，则该数列前3项的积的取值范围_______________；若，求数列的前n项和为_______________。
14、函数_______________；设，求函数_______________。
15、某布娃娃厂房参加2010年上海世博会产品展出，带了四款不同类型不同价格的布老虎，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁虎年之际搞一个布娃娃特卖会，准备买若干款不同类型的布老虎样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买布老虎样品的方案有________________种（用数字表示）。
16、已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于M,N两点，该直线斜率为,用斜率和表示弦|MN|的长度_____________________.
17、
求
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）
内的一个锐角。
①、 求A的大小；
②、 若
③、求函数的值域。
19． (本题满分15分)已知数列中，。
(Ⅰ)求证：是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。
20．（本题满分15分）等边与正方形有一条公共边，，二面角
的余弦值为，M,N分别为AC,BC的中点，O为正方形对角线交点。
①、求证：；
②、求异面直线；
③、连接，求四棱锥的内切球的半径。
21．（本题满分15分）已知圆的圆心为，点M为该圆上一动点，D(1,0)，MD的垂直平分线交CM为P，与MD相交于Q，O为坐标原点。
①、求点P的轨迹方程E。
②、点P的轨迹E与直线y=x+m相交于A,B，求面积的最大值及此时直线。
22．（本题满分15分）已知函数
①、讨论的单调性；
②、求证：
萧山区2017年高考模拟试卷 数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、【改编题】点（ ）
解析：本题答案选：B。本题考查复数的基本运算，属于基础题。
点则
因此，
灵感来源：杭州市第二次高考科目教学质量检测（理科数学）选择题 第一题。
若 （ ）
答：A
2、【改编题】 （ ）
解析：本题答案选：C。本题考查的是二项式展开式项的问题。
在的展开式中没有的项；
在的展开式中的系数即为展开式中的系数。
在的展开式中，第项为
当时，
因此，在的展开式中，的系数是20.
灵感来源：2008年高考理科数学卷—全国2选择题第7题
在的展开式中的系数是 （ ）
答：B
3、【原创题】
，则“”是“”的__________条件 （ ）
解析：本题答案选：B。本题考查含绝对值不等式，二次函数根的分布，充分必要条件等问题。
=
所以，
P： Q：
因此，“”是“”的 必要不充分 条件
灵感来源：山东省澭坊市高考模拟卷
“”是“”的_____________条件
（ ）
答：D
4、【原创题】
___________ （ ）
解析：本题答案选：D。本题考查向量运算和一元二次函数的最值问题。
灵感来源：浙江嘉兴一中二模卷
已知
答：
5、【自编题】若直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为 ( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【解析】【自编题】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．
6、【改编题】 （ ）
解析：本题答案选：A。本题考查正弦定理，三角形面积公式知识。
灵感来源：济南市高三模拟卷选择题第十题
（ ）
答：C
7、【原创题】如图所示，日常用品小木凳的三视图及各边长度。请计算制作这样的小木凳需要多少立方厘米的木料？（除去损耗的木材，三视图的长度单位为：cm）
40
40
40
4
4
40
40
40
40
40
4
4
4
4
俯视图
侧视图
正视图
解析：本题答案选：A。本题考查三视图知识。
由三视图可知，该凳子有一块的平木版，四条的凳腿
因此，木材总体积为：+=。
灵感来源：小木凳是日常生活用品，所有的学生都熟悉。根据考试说明：“识别三视图表示的立体模型”，“棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式”，该题有一定的典型性。
8、【改编题】函数的图象与的图象的交点个数是几个？（ ）
解析：本题答案选：D。本题考查分段函数，三角函数图像交点知识。
画出的图像和的图像，可知两图像的交点有三个。
灵感来源：浙江省高考命题解析理科数学例卷1
函数的图象与的图象的交点个数是 （ ）
9、【改编题】已知椭圆两个焦点分别为过两点分别作x轴垂线与椭圆分别交于四边形ABCD为正方形，则该椭圆的离心率为 （ ）
解析：本题答案选：C。本题考查圆锥曲线知识。
将代入得：
那么 ，则A点坐标为：
灵感来源：椭圆经典例题
9、已知椭圆的左右焦点分别为过作x轴垂线交椭圆分别交于 为正三角形，求该椭圆的离心率。
答：该椭圆的离心率。
10、【改编题】如图三角形数阵中，满足两个条件：①第一行的数为1；②第n行（）首尾两数均为2n-1,其余各数都等于它肩上的两个数相加，则第20行（）中第二个数为 （ ）
解析：本题答案选：B。本题考查数列递推公式的知识。
设第n行的第二个数字为()，则第n+1行的第二个数字为，
根据题意可得：-=2n-1
累加法可得：
灵感来源：2009年宁波市模拟
如图三角形数阵中，满足两个条件：①第一行的数为1；②第n行（）首尾两数均为n,其余各数都等于它肩上的两个数相加，则第n行（）中第二个数为_______________
答：。
二、填空题：本大题共7小题，第11,12,13,14题每题2空，每空3分，共24分；第15,16,17题每题1空，没空4分，共12分。
11、【改编题】若满足，则的最小值为_______________，封闭区域的面积为_______________。
答案：10，6。本题考查线性规划知识。
解析：根据约束条件可得可行域为，易得：
根据平面内两点之间的距离公式可知：Z为
由图可知，
可行域为三角形，三角形面积为6.
灵感来源：福建省厦门市高中毕业班质量检测
若满足，则的最小值为_______________
答：5。
12、【改编题】12、在空间直角坐标系中，的三个顶点分别为,, ，若以为斜边的直角三角形，则实数的值为_______________，若中AB=AC，则实数的值为_______________。
解析：1，。 本题考查空间向量计算问题。
是以为斜边的直角三角形
解得：
AB中点M（6，-1，-），，则。
灵感来源：在空间直角坐标系中，以点,,为顶点的是以为斜边的等腰直角三角形，则实数的值为_______________
答案：
13、【原创题】已知正项数列为等差数列，，则该数列前3项的积的取值范围_______________；若，求数列的前n项和为_______________。
解析： ， 本题考查等差数列问题。
设等差数列公差为，，则
为正项数列
=
因此,
第2小题，错位相减法，求得
灵感来源：2008年四川非延考区第七题选择题
已知等比数列中，，则该数列前3项的和的取值范围是_______________
答案：D
14、【原创题】函数_______________；设，求函数_______________。
解析：2个，。 本题考查零点问题。
方法一：求导法画图像。
x
-1
1
+
0
-
0
+
极大值
极小值
根据以上信息可以画出图像，如图。因此该函数
第2小问，，则x=0或x=3或x=-1，因此F(x)
零点所组成的集合为。
方法二：二分法求解。
所以，它们分别在
因此该函数
灵感来源：2008年江苏盐城
用二分法求方程
_______________
答案：
15、【原创题】某布娃娃厂房参加2010年上海世博会产品展出，带了四款不同类型不同价格的布老虎，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁虎年之际搞一个布娃娃特卖会，准备买若干款不同类型的布老虎样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买布老虎样品的方案有________________种（用数字表示）。
解析：13. 本题考查排列组合知识。
购买样品种数
1
2
3
总方案数
方案
-1
13种
其中-1不能购买30，50，100，所以-1.
灵感来源：2010上海世博会主题随想
16、【改编题】已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于M,N两点，该直线斜率为,用斜率和表示弦|MN|的长度_____________________.
答案：
解析： 本题考查抛物线知识。
的焦点坐标为：
直线：
灵感来源：2010浙江省高中总复习高考密码（理科数学）第143页抛物线焦点弦长 变形
17、【改编题】
，求
解析： 本题考查三角函数和平面解析几何知识。
过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：|PQ|=2。
令由题意可知：
灵感来源：2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
答案：5
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．【改编题】（本题满分14分）
内的一个锐角。
①、求A的大小； ②、若
③、求函数的值域。
解析：
①、
②、
当且仅当时，取到最大值。
③、
因此，函数的值域为。
灵感来源：2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
为锐角。
①、求A的大小；②、求函数的值域。
答案：①、。②、
19．【改编题】(本题满分15分)已知数列中，。
(Ⅰ)求证：是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。
解: （Ⅰ）
………………………………………………………………………………………1分
………………………………………………………………………………………3分
………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）………………6分
……8分
………………………………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………………………11分
当n为奇数时，，；……………………………………………12分
当n为偶数时，，。……………………………………………13分
综上所述：。……………………………………………………………………………………15分
灵感来源：自编题目
20．【原创题】（本题满分15分）等边与正方形有一条公共边，，二面角的余弦值为，M,N分别为AC,BC的中点，O为正方形对角线交点。
①、求证：；②、求异面直线；
③、连接，求四棱锥的内切球的半径。
解析：①、取的中点P，连接OP,AP，如图所示。
在等边中，P为线段的中点，,
则
在正方形中，O为正方形对角线交点，
则
二面角的平面角，其余弦值为
即
②、取AB,DE中点P,Q，连接NQ，MN，AQ，BO，PQ，则由题意可知PQ必定过O；
过N作CO的平行线，交BO与，且，连接Q。
由已知可得：
因此，异面直线即为所成角，即为。
现研究，在该三角形中，
其中在直角中计算，
③、设四棱锥的内切球球心为，半径为R，根据体积相等可得：
则四棱锥的内切球的半径为。
灵感来源：2008年普通高等学校招生全国统一考试（试卷1）填空题第17题
等边与正方形有一条公共边，二面角的余弦值为，M,N分别为AC,BC的中点，则异面直线为____________
答案：
21．【原创题】（本题满分15分）已知圆的圆心为，点M为该圆上一动点，D(1,0)，MD的垂直平分线交CM为P，与MD相交于Q，O为坐标原点。
①、求点P的轨迹方程E。
②、点P的轨迹E与直线y=x+m相交于A,B，求面积的最大值及此时直线。
解析：
①、的垂直平分线MD
由圆可知，
②、
O到直线AB的距离：
，
则
。
因此当
灵感来源：2008年高考理科数学试卷—全国1第二十二题
已知M是以点C为圆心的圆点P在DM上，点N在CM上，且满足
①、
②、线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求
答案：①、 ②、
22．【原创题】（本题满分15分）已知函数
①、讨论的单调性；
②、求证：
解析：
①、
当时，
-
0
+
极大值
因此，在上单调递增，在上单调递减。
当时，由题意，即时，
当时，即时，
在R上单调递减。
当时，即时，
（，）
—
0
+
0
—
极小值
极大值
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减；
在（，）上单调递增；
在上单调递减。
②、由①知，当
于是，
即：
灵感来源：2010年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试卷第二十二题
已知函数满足,且方程有且仅有一个实数根。
①、求函数的解析式；
②、设数列{}满足，，。求数列{}的通项公式；
③定义。对②中的数列{}，令.设为数列的前项和，求证：.
答案：①、
②、
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