[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是( )
A.ex B．y＝10ln x3
C．y＝x10 D．y＝10·2x
解析：∵e>2，∴ex比10·2x增大速度快，故选A.
答案：A
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.
答案：D
3．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
解析：将t的值代入四个函数，找出最接近v的那个函数模型．
答案：C
4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：由题意，设商品原价格为a元，则四年后的价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a.∴＝7.84%.故选A.
答案：A
5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析：由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．
答案：A
6．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
解析：设每个涨价x元，则实际销售价为每个(10＋x)元，日销售量为(100－10x)个，则日利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)
∴当x＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大．
答案：14
7．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出．为少投入，多获利，每床每天收费应提高________元．
解析：设客床租金每张提高x个2元，则将有10x客床空出，客床租金总收入为：y＝(10＋2x)(100－10x)＝－20x2＋100x＋1 000＝－20(x2－5x－50)＝－202＋1 125，∴当提高个2元即提高5元时，租金总收入最高．
答案：5
8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应，此时收入
R＝________.
解析：D＝a－A＝－2＋，∴当＝，即A＝时，D最大．此时R＝a＝.
答案：
9．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数
R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
解析：(1)设年产量为x(百件)，
当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；
当x>5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.781 25；
当x>5时，函数f(x)为单调递减函数．
∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．
10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为
＝12，
所以这时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50
＝－x2＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∴当x＝4 050时，f(x)max＝307 050.
故月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
[B组 能力提升]
1.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8
P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x.
故选D.
答案：D
2．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，
设2015年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )
A．y＝54.8(1＋x%)19 B．y＝54.8(1＋x%)21
C．y＝54.8(x%)19 D．y＝54.8(x%)20
解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x%)
1996年底人口为54.8(1＋x%)2
1997年底人口为54.8(1＋x%)3
……
∴2015年底人口为54.8(1＋x%)21，故选B.
答案：B
3．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，
∴x＝－1.
答案：－1
4．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数；t表示时间，单位：小时，y表示细菌个数)，则k＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
5．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3
米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解析：(1)由题意可设抛物线方程为y＝a(x－h)2＋k，则可知k＝，图象必过(0,0)，
(2，－10)两点．
则有
移项作比得＝±，h>0，
解之得h＝，a＝－，
∴y＝－2＋.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米，
即x＝3－2＝时，y＝－×(－)2＋＝－，所以此时运动员距水面距离为
10－＝2)．
则
得2
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