22.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题
知识点 1 一般图形的面积问题
1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
2．今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地的边长为x m，下面所列方程正确的是( )
A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600
C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝1600
3．从一块正方形木板上锯掉一个2 m宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )
A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2
4．如图22－3－1，矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为________．
图22－3－1
5．如图22－3－2，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
图22－3－2
6．取一块长80厘米、宽60厘米的矩形白铁片，在它的四个角上截去四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个无盖的长方体盒子．如果要做成底面积为1500平方厘米的长方体盒子，那么截下的正方形的边长是多少？
知识点 2 边框与甬道问题
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7．如图22－3－3，某小区计划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么甬道的宽应设计成多少米？若设甬道的宽为x m，将6块草地平移拼成一个长方形，其长为________m，宽为________m，根据长方形的面积公式可列方程________________，化成一般形式为________________，解得x1＝________，x2＝________(不合题意，舍去)．
图22－3－3
8. 如图22－3－4，在一块矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．
图22－3－4
9．如图22－3－5，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m
图22－3－5
10．如图22－3－6，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
图22－3－6
11．［教材“问题1”变式］某学校为美化校园，准备在长35米、宽20米
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的长方形场地上修建若干条宽度相同的道路，余下部分做草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3名学生的设计方案分别如图22－3－7①②③所示(阴影部分为草坪)．
图22－3－7
请你解决每种方案中的道路宽度问题(只列方程不求解)：
(1)甲同学的设计方案为图①，设计草坪的总面积为600平方米；
(2)乙同学的设计方案为图②，设计草坪的总面积为600平方米；
(3)丙同学的设计方案为图③，设计草坪的总面积为540平方米．
12．［2017·深圳］一个矩形的周长为56厘米．
(1)当矩形的面积为180平方厘米时，它的长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
13．［2016·赤峰］如图22－3－8，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
图22－3－8
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教师详答
1．B [解析] 一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，由题意得x(5－x)＝6.故选B.
2．A [解析] 设扩大后的正方形绿地边长为x m，则扩大部分长方形的宽为(x－60)m，根据题意得x(x－60)＝1600.故选A.
3．B [解析] 设原来正方形木板的边长为x m，则x(x－2)＝48，解得x1＝8，x2＝－6(不合题意，舍去)，所以x＝8，所以8×8＝64(m2)．
4．6
5．解：设垂直于墙的一边长为x m，得
x(58－2x)＝200，
解得x1＝25，x2＝4，
∴平行于墙的一边长为8 m或50 m.
答：矩形的长为25 m，宽为8 m或矩形的长为50 m，宽为4 m.
6．解：设截下的正方形的边长为x厘米，由题意，得(80－2x)(60－2x)＝1500，解得x1 ＝15，x2 ＝55.当x＝55时，80－2x＝－30，不符合题意，
所以x＝15.
答：截下的正方形的边长是15厘米．
7．(30－2x) (20－x) (30－2x)(20－x)＝78×6 x2－35x＋66＝0 2 33
8．解：设花边的宽为x米．
根据题意得(2x＋6)(2x＋3)＝40，
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．
答：花边的宽为1米．
9．[A [解析] 设原正方形空地的边长为x m，依题意有(x－3)(x－2)＝20，
解得x1＝7，x2＝－2(不合题意，舍去)．
即原正方形空地的边长为7 m.
10．[全品导学号：15572085]B [解析] 设AC交A′B′于点H，
∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，则阴影部分的底为x cm，高A′D＝(2－x)cm，∴x·(2－x)＝1，
解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.
故选B.
11．解：(1)设道路的宽为x米．
依题意得(35－2x)(20－2x)＝600.
(2)设道路的宽为x米．
依题意得(35－x)(20－x)＝600.
(3)设道路的宽为x米．
依题意得(35－2x)(20－x)＝540.
12．[解析] (1)设出矩形的一边长，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可；
(2)同样列出方程，若方程有解，则可以，否则就不可以．
解：(1)设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有
x(28－x)＝180，
解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
当x＝10时，28－x＝18；
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当x＝18时，28－x＝10.
故矩形的长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能．理由：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有
x(28－x)＝200，
即x2－28x＋200＝0.
因为Δ＝282－4×200＝784－800＜0，
所以原方程无解．
故不能围成面积为200平方厘米的矩形．
13．解：(1)设配色条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5＋2x×4－4x2＝×5×4,
解得x1＝(不符合题意，舍去)，x2＝.
答：配色条纹的宽度为米．
(2)条纹部分造价为×5×4×200＝850(元)，
其余部分造价为×4×5×100＝1575(元)，
∴总造价为850＋1575＝2425(元)．
答：地毯的总造价是2425元．
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