22.2.2 配方法
知识点 1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．用配方法解方程x2－6x＝16时，应在方程两边同时加上( )
A．3 B．9 C．6 D．36
2．把方程x2－10x＝－3的左边化成含x的完全平方式，其中正确的是( )
A．x2－10x＋(－5)2＝28
B．x2－10x＋(－5)2＝22
C．x2＋10x＋52＝22
D．x2－10x＋5＝2
3．填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1)x2＋4x＋______＝(x＋______)2；
(2)x2＋x＋______＝(x＋______)2；
(3)x2－2x＋______＝(x－______)2.
4．将方程x2－10x＋16＝0配方成(x＋a)2＝b的形式，则a＝________，b＝________．
5．用配方法解下列方程：
(1)［2016·淄博］x2＋4x－1＝0；
(2) x2－6x－4＝0；
(3)［2016·安徽］x2－2x＝4；
(4)t2＋15＝8t.
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知识点 2 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
6．用配方法解方程2x2＋4x－1＝0的步骤：
移项，得________________，
二次项系数化为1，得____________________________________________，
方程两边同时加上1，得___________________________________________________，
即________________，解得____________________________．
7. 用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( )
A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝
C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝
8．某学生解方程3x2－x－2＝0的步骤如下：
解：3x2－x－2＝0→x2－x－＝0①→x2－x＝②→＝＋③→x－＝±④→x1＝，x2＝⑤.
上述解题过程中，开始出现错误的是( )
A．第②步 B．第③步
C．第④步 D．第⑤步
9．用配方法解方程：
(1)4x2＋12x＋9＝0; (2)2x2－8x＋3＝0；
(3)2x2＋4x＋1＝0; (4)6x2－x－12＝0.
10．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )
A．3x2－3x＝8 B．x2＋6x＝－3
C．2x2－6x＝10 D．2x2＋3x＝3
11．在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．x2－2x－99＝0⇒(x－1)2＝100
B．2t2－7t－4＝0⇒(t－)2＝
C．x2＋8x－9＝0⇒(x＋4)2＝25
D．y2－4y＝2⇒(y－2)2＝6
12．利用配方法将x2＋2x＋3＝0化为a(x－h)2＋k＝0(a≠0)的形式为( )
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A．(x－1)2－2＝0 B．(x－1)2＋2＝0
C．(x＋1)2＋2＝0 D．(x＋1)2－2＝0
13．已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2018＝________．
14．当x＝__________时，代数式3x2－2x＋1有最________值，这个值是________．
15．解方程：
(1)x(2x＋1)＝5x＋70；
(2)x2＋3＝2 x.
16．用配方法说明代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．
17．阅读材料后再解答问题：
阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解．
[阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x
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－35＝0变形可得x2＋2x＋1＝35＋1，即左边为边长是x＋1的正方形的面积，右边为36，所以(x＋1)2＝36，取正根得x＝5.
请你运用上述方法求方程x2＋8x－9＝0的正根．
图22－2－1
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1．B
2．B [解析] x2－10x＝－3，x2－10x＋(－5)2＝－3＋(－5)2，即x2－10x＋(－5)2＝22.
故选B.
3．(1)4 2 (2) (3)1 1
4．－5 9 [解析] 将原方程配方，得(x－5)2＝9.
5．解：(1)原方程可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，
直接开平方，得x＋2＝±，
解得x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)移项，得x2－6x＝4.
配方，得x2－6x＋9＝4＋9，
即(x－3)2＝13.
直接开平方，得x－3＝±，
所以x1＝3＋，x2＝3－.
(3)原方程两边都加上1，得x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5，
直接开平方，得x－1＝±，
所以x＝1±，
所以x1＝1＋，x2＝1－.
(4)移项，得t2－8t＝－15，
两边同时加上16可得t2－8t＋16＝－15＋16，即(t－4)2＝1，
直接开平方，得t－4＝±1，
所以t＝4±1，
所以t1＝5，t2＝3.
6．2x2＋4x＝1 x2＋2x＝ x2＋2x＋1＝＋1
(x＋1)2＝ x1＝－1＋，x2＝－1－
7．D [解析] 原方程为3x2－6x＋1＝0，移项，二次项系数化为1，得x2－2x＝－，
配方，得x2－2x＋1＝－＋1，所以(x－1)2＝.
8．B [解析] 第③步，应在方程两边加上一次项系数一半的平方．
9．解：(1)移项，得4x2＋12x＝－9，
二次项系数化为1，得x2＋3x＝－，
配方，得(x＋)2＝0，
解得x1＝x2＝－.
(2)∵2x2－8x＋3＝0，
∴2x2－8x＝－3，
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∴x2－4x＝－，
∴x2－4x＋4＝－＋4，
即(x－2)2＝，
∴x＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
(3)2x2＋4x＋1＝0，
∴2x2＋4x＝－1，
∴x2＋2x＝－，
∴x2＋2x＋1＝－＋1，
即(x＋1)2＝，则x＋1＝±，
∴x＝－1±，
即x1＝－1＋，x2＝－1－.
(4)6x2－x－12＝0，∴6x2－x＝12，
∴x2－x＝2，
∴x2－x＋＝2＋，
即＝，
∴x－＝±，
∴x＝±，
即x1＝，x2＝－.
10．B 11．B 12．C
13．1 14． 小
15．解：(1)x(2x＋1)＝5x＋70.
去括号，得2x2＋x＝5x＋70.
移项、合并同类项，得2x2－4x＝70.
两边同除以2，得x2－2x＝35.
配方，得x2－2x＋1＝35＋1，
即(x－1)2＝36.
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解得x1＝7，x2＝－5.
(2)移项并配方，得x2－2 x＋()2＝－3＋()2，即(x－)2＝0，
∴x1＝x2＝.
16．：因为(2x2－4x－1)－(x2－2x－4)
＝2x2－4x－1－x2＋2x＋4
＝x2－2x＋3
＝(x2－2x＋1)＋2
＝(x－1)2＋2＞0，
所以代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．
17．如图所示，大正方形的边长为x＋4，四个图形面积的和为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x＋16，而x2＋8x－9＝x2＋8x＋16－25＝0，
所以x2＋8x＋16＝25，
即(x＋4)2＝25，取正根得x＝1.
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