23.3.1 相似三角形
知识点 1 相似三角形的有关概念
1．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝6 cm，其对应边A′B′＝4 cm，则相似比为________．
2．已知△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比是，则△A′B′C′与△ABC的相似比是( )
A. B. C. D.
3．如图23－3－1，Rt△ADC∽Rt△DBC，AC＝3，BC＝4，试求△ADC与△DBC的相似比．
图23－3－1
知识点 2 对应边、对应角的识别
4．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝35°，则与△ABC相似的三角形三个角的度数分别为( )
A．35°，45°，45° B．45°，105°，35°
C．45°，35°，110° D．45°，35°，100°
5．已知△ABC与△DEF相似，且∠A＝50°，∠B＝70°，∠C＝60°，∠D＝60°，∠E＝70°，则( )
A．∠F＝50°，AB与DE是对应边
B．∠F＝50°，AB与EF是对应边
C．∠F＝50°，AB与DF是对应边
D．AB与DE，AC与DF，BC与EF是三组对应边
图23－3－2
6．如图23－3－2，△AED∽△ABC，且∠1＝∠B＝50°，∠C＝70°，则∠2＝________
6
°，＝.
7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．
(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；
(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；
(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.
图23－3－3
8．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.
(1)求∠BAD的大小；
(2)求CD的长．
图23－3－4
知识点 3 由平行线判定三角形相似
9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
图23－3－5
6
10．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
图23－3－6
11．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.
(1)求的值；
(2)求BC的长．
图23－3－7
12．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为________．
13．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别为1和.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．
6
图23－3－8
14. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．
15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．
图23－3－9
16．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI＝________．
图23－3－10
17．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．
6
1.
2. B
3．解：∵Rt△ADC∽Rt△DBC，
∴＝，即＝，
∴DC2＝12，则DC＝2 ，
∴△ADC与△DBC的相似比为＝.
4．D ．
5．B
6．70 AC ED 7．解：(1)＝＝.
(2)＝＝.
(3)＝＝.
8．
解：(1)∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝153°.
(2)∵△ABC∽△DAC，
∴＝.
又∵AC＝4，BC＝6，
∴CD＝＝.
9．C [解析] ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴△ADE∽△EFC，共3对．
故选C.
10．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
11．
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，
6
∴△ADE∽△ABC，
∴＝.
∵DE＝3，
∴＝，
∴BC＝9.
12 2∶5
[解析] ∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5.
设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，
∴AB∶A2B2＝2∶5，
∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.
13．
14． 2∶5
15．∵AB∥GH∥DC，
∴△CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝1.
∵AB＝2，DC＝3，
∴＋＝1，∴GH＝.
16．
17．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．
设另外两条边的长分别为x，y(x
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