23.5 位似图形
知识点 1 位似图形
1．位似图形的位似中心可以在( )
A．原图形外 B．原图形内
C．原图形的边上 D．以上三种都有可能
2．下列说法正确的是( )
A．相似图形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似图形
C．全等的图形一定是位似图形
D．位似图形一定是全等图形
3．下列图形中，不是位似图形的是( )
图23－5－1
知识点 2 位似图形的性质
4．如果两个多边形是位似图形，它们的相似比为2∶5，那么这两个多边形的周长之比是______________，面积之比是________．
5．［2017·绥化］如图23－5－2，△A′B′C′是由△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB等于( )
A. 2∶3 B．3∶2
C．4∶5 D．4∶9
图23－5－2
6．如图23－5－3所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，且相似比为，则点C，F之间的距离为( )
A. B．2
C. 3 D．12
图23－5－3
知识点 3 位似图形的相关作图
7．如图23－5－4，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是( )
6
图23－5－4
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．如图23－5－5所示，在下列由作位似图形的方法得到的图形中，其相似比为2的是( )
图23－5－5
9．如图23－5－6，以点O为位似中心，将△ABC放大，使新图形与原图形的相似比为2∶1.
图23－5－6
10．如图23－5－7，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求出它们的相似比．
图23－5－7
11．如图23－5－8所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′.正确的画法是( )
6
图23－5－8
12．如图23－5－9，以点O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变换后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变换后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________．
图23－5－9
13．［教材习题23.5第2题变式］［2017·天等县一模］如图23－5－10，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在△ABC的内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心为点O，相似比为1∶2；
(2)连结(1)中的AA′，则线段AA′的长度是________．
图23－5－10
14．印刷一张矩形的广告ABCD，如图23－5－11所示，它的印刷面积(四边形A′B′C′D′)是32 cm2，上、下空白各1 cm，左、右空白各0.5 cm，设印刷部分从上到下(A′B′)的长是x cm.
6
(1)当要求四周空白处的面积为18 cm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少；
(2)在(1)的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？请说明理由．
图23－5－11
15．如图23－5－12，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连结C′D′.则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
图23－5－12
6
1．D
2．B 3．D
4．2∶5 4∶25
5．A
6．A
7．B
8．B
9．略
10．解：连结AD，CF交于点O，则点O即为所求．
∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，
∴OC∶OF＝3∶2，
∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.
11．D
12．16
13．解：(1)如图，△A′B′C′即为所作．
(2)
14． (1)由题意得
2×x×0.5＋2××1＋4×1×0.5＝18.
∵x≠0，∴x2－16x＋64＝0，
∴(x－8)2＝0，
∴x＝8(负值已舍去)．
经检验x＝8符合题意．
∴x＋2＝10，＋1＝5.
答：用来印刷这张广告的纸张的长是10 cm，宽是5 cm.
(2)是位似图形．理由：∵外面矩形的长与宽之比为＝2，里面矩形的长与宽之比为＝2，故两图形相似，且知四对对应顶点的连线都经过同一点，∴内外两个矩形是位似图形．
15．证明：由题意知
△OEC∽△OE′C′，△ODE∽△OD′E′，
∴＝＝＝＝.
6
∵＝，∠COD＝∠C′OD′，
∴△COD∽△C′OD′，
∴＝，
∴＝＝，
∴△CDE∽△C′D′E′.
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
6
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