23.4 中位线
知识点 1 三角形的中位线
1．如图23－4－1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．已知BC＝10，则DE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图23－4－1
2．如图23－4－2，在▱ABCD中，AD＝8，E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为( )
A. 2 B．3 C．4 D．5
图23－4－2
3．如图23－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
图23－4－3
4．如图23－4－4，边长为4的等边三角形ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
图23－4－4
5．若一个三角形的三条中位线的长分别是3 cm，4 cm，5 cm，则这个三角形的面积是( )
A．6 cm2 B．12 cm2
C．24 cm2 D．40 cm2
6．［2017·黔南州］如图23－4－5，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F
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分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE＝________°.
图23－4－5
7．［2016·南京］如图23－4－6，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为________．
图23－4－6
8．如图23－4－7，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形ADEF的周长为________ cm.
图23－4－7
9．如图23－4－8，已知△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA边的中点．
求证：△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.
图23－4－8
知识点 2 三角形的重心
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10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，则AG＝________DG.如果AG＝6，那么线段DG＝________．
11．如图23－4－9，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O.若OD＝2，则OC＝________．
图23－4－9
12．在△ABC中，如果AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是________．
13．如图23－4－10，在矩形ABCD中，P，R分别是BC和DC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是( )
A．线段EF的长逐渐增长
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长始终不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
图23－4－10
14．［2016·陕西］如图23－4－11，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
图23－4－11
15．如图23－4－12，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，M是△ABC的重心，则AM的长为________.
图23－4－12
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16．［如图23－4－13，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连结△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连结△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，依次进行下去，则△A5B5C5的周长为________．
图23－4－13
17．［2017·天津］如图23－4－14，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连结PG，则PG的长为________．
图23－4－14
18．如图23－4－15，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.
(1)求证：AE＝AF；
(2)求证：BE＝(AB＋AC)．
图23－4－15
19．问题探究如图23－4－16所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，把四边形EFGH称为中点四边形．连结AC，BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．
(1)如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．
①当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？
②当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？
(2)探索△AEH，△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，
7
并加以证明．
图23－4－16
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1．C [解析] 根据三角形的中位线定理，可得DE＝BC＝5.
2．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8.∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF＝BC＝×8＝4.故选C.
3．D 4.B 5.C
6．40 [解析] ∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC.
∵AD＝BC，∴EP＝FP，∴∠PFE＝∠PEF.∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°.
7. 8. 14
9．证明：∵D，F分别是AB，CA的中点，
∴DF＝BC.
同理可得，DE＝CA，EF＝AB，
∴＝＝＝，
∴△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.
10．2 3 11.4
12．1 cm [解析] △ABC是等腰三角形，底边上的高为＝3(cm)，故重心G到BC的距离是3×＝1(cm)．
13．C [解析] 连结AR.∵矩形ABCD固定不变，点R在CD上的位置不变，
∴AD和DR的长不变．由勾股定理得：AR＝，∴AR的长不变．
∵E，F分别为AP，RP的中点，∴EF＝AR，即线段EF的长始终不变．
故选C.
14． B [解析] 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6,
∴AC＝＝＝10.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE＝BC＝3，
∴∠EFC＝∠FCM.
∵CF平分∠ACM，∴∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC＝AC＝5，
∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.
故选B.
15．10.
16． 1
7
17.
18．
证明：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥EM，
∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.
(2)如图，过点C作CG∥EM，交BA的延长线于点G.
∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，
∠ACG＝∠AFE.
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC.
∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG，
∴BE＝BG＝(AB＋AG)＝(AB＋AC)．
19．解：(1)①AC⊥BD.②AC＝BD且AC⊥BD.
(2)结论：S△AEH＋S△CFG＝S四边形ABCD.
证明：∵四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，
由题意可知，EH是△ABD的中位线，
∴EH BD，∴△AEH∽△ABD，
可得＝＝，∴S△AEH＝S△ABD.
同理可得S△CFG＝S△CBD.
∴S△AEH＋S△CFG＝(S△ABD＋S△CBD)＝S四边形ABCD.
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