第2课时 最大利润问题
知识要点基础练
知识点1 利用二次函数求实际中利润的最值问题
1.某种商品的进价为40元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,为了使商品的利润最大,则x的值应该是(A)
A.70 B.75 C.65 D.60
2.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558,由于某种原因,销售价需满足15≤x≤22,那么一周可获得的最大利润是(D)
A.20 B.1508
C.1550 D.1558
3.某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售量单价是 35 元时,才能在半月内获得最大利润.
4.合肥百货商场春节期间购进儿童玩具,每天可售出20件,每件盈利40元,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每件儿童玩具每降价1元,当天的销售量将增加2件.
(1)当每件儿童玩具降价多少元时,一天的盈利最多?
(2)若商场要求一天的盈利为1200元,同时又使顾客得到实惠,每件儿童玩具降价多少元?
解:(1)设每件儿童玩具降价x元,则每天盈利为S,则S=(40-x)(2x+20)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,当x=15时,S有最大值为1250元.
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(2)一天盈利为1200元,则S=-2x2+60x+800=1200,整理得-2x2+60x-400=0,a=-2,b=60,c=-400,Δ=b2-4ac=3600-(4×2×400)=400>0,解得x1=20,x2=10(舍去),所以每件儿童玩具降价20元.
综合能力提升练
5.某商店对于某种商品的销售量与利润做了统计,得到下表:
销售量(件)
100
200
300
利润(万元)
5
9
9
若利润是销售量的二次函数,那么,该商店利润的最大值是(C)
A.9万元 B.9.25万元
C.9.5万元 D.10万元
6.黄山脚下的某旅游村,为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高20元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是(C)
A.140元 B.150元
C.160元 D.180元
7.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,已知这种商品每提高2元,其销量就要减少10件,为了使每天所赚利润最多,该商人应将销售价(为偶数)提高(A)
A.8元或10元 B.12元
C.8元 D.10元
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8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 3.75分钟 .
9.安徽师范大学的学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的男式衬衫,在购进前调查的信息如下:
(1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足:y=-2x+400;
(2)工商部门限制销售价x满足:80≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本).给出下列结论:
①这种男式衬衫的月销量最小为100件;
②这种男式衬衫的月销量最大为240件;
③销售这种男式衬衫的月利润最小为4800元;
④销售这种男式衬衫的月利润最大为9000元.
其中正确的是 ①②③ (把所有正确结论的序号都选上).
10.某种商品的成本是120元,试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x=130时,y=70,当x=150时,y=50,且y是x的一次函数,为了获得最大利润S(元),每件产品的销售价应定为 160 元.
11.(锦州中考)某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.
(1)图中点P所表示的实际意义是 ,销售单价每提高1元时,销售量相应减少 件.
(2)请直接写出y与x之间的函数解析式 ,自变量x的取值范围为 .
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(3)第二个月的销售单价定为多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?
解:(1)当售价定为35元/件时,销售数量为300件;20.
(2)y=-20x+1000;30≤x≤50.
(3)设第二个月的利润为w元,
由已知得w=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)=-20(x-35)2+4500,
当x=35时,w取最大值,最大值为4500.
12.某商店经销一种健身球,已知这种健身球的成本价为每个20元,市场调查发现,该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-2x+80(20≤x≤40).设这种健身球每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数解析式;
(2)该种健身球销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元,该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润,销售单价应定为多少元?
解:(1)根据题意可得w=(x-20)·y=(x-20)·(-2x+80)=-2x2+120x-1600,
w与x的函数解析式为w=-2x2+120x-1600.
(2)根据题意可得w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,因为-228,所以x2=35不符合题意,应舍去.
答:该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.
拓展探究突破练
13.(扬州中考)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为 0
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