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2.2.2 反证法
课时过关·能力提升
1.“M不是N的子集”的充分必要条件是( )
A.若x∈M,则x∉N
B.若x∈N,则x∈M
C.存在x1∈M,且x1∈N,又存在x2∈M,但x2∉N
D.存在x0∈M,但x0∉N
解析:按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以要使M不是N的子集,只需存在x0∈M,但x0∉N即可.
答案:D
2.应用反证法推出矛盾的过程中,可以作为条件使用的是 ( )
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;
③公理、定理、定义等;④原结论.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③
答案:C
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是( )
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角中至少有一个大于60°
D.假设三个内角中至多有两个大于60°
答案:B
4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c最多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
答案:B
5.有下列说法:
①“a>b”的反面是“ay或x2,则p>2-q.
所以p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3.
将p3+q3=2代入,得6q2-12q+60,a2>b2>0,a3>b3>0,…,an>bn>0.
于
与已,所以假设错误,故原结论正确.
★10.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
分析使用反证法证题时,要对所证结论作全面否定,不能遗漏.
解:如图,已知△ABC中,∠BAC>90°,D是BC边的中点.
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求证:AD
证明:假设AD≥
①若AD∠BAC=90°,与题设矛盾,所以AD≠
②若ADBD=DC△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD;同理∠C>∠CAD,
所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠BAC.
因为∠B+∠C=180°-∠BAC,
所以180°-∠BAC>∠BAC,则∠BAC
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