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3.1 数系的扩充与复数的引入
第1课时 复数的概念及复数相等
课时过关·能力提升
1.对于实数a,b,下列结论正确的是( )
A.a+bi是实数 B.a+bi是虚数
C.a+bi是复数 D.a+bi≠0
答案:C
2.以2i
A.2-2i B.2+2i
C.
解析:2i2-2,
所以新复数为2-2i.
答案:A
3.已知复数z=(a-1)+i,若z是纯虚数,则实数a等于 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
解析:∵z为纯虚数,∴a-1=0,故a=1.
答案:B
4.已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若a=1,则z=-i为纯虚数;若z为纯虚数,则a=±1.所以“a=1”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.
答案:A
★5.已知z=(sin θ-1)+i(sin θ-cos θ)(θ∈R),则z为纯虚数时,θ的取值是( )
A.θ=2kπ∈Z) B.θ=2kπ∈Z)
C.θ=2kπ∈Z) D.θ=2kπ∈Z)
解析:由z为纯虚数
∈Z.
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答案:A
6.若复数z=m+(m2-1)i(m∈R)满足zb+i;
③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;
④两个虚数不能比较大小.
其中正确的命题序号是 .
解析:①当a=-1时,(a+1)i是实数,不是纯虚数;②a+i与b+i不能比较大小,故错误;③应满足x2-1=0,且x2+3x+2≠0,解得x=1.故只有④正确.
答案:④
9.实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i:(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?(4)是零?
解:(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1.故当k=6或k=-1时,z∈R.
(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6,且k≠-1.故当k≠6且k≠-1时,z是虚数.
(3),z是纯虚数,解得k=4.故当k=4时,z是纯虚数.
(4),z=0,解得k=-1.故当k=-1时,z是零.
★10.已知关于t的一元二次方程(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0(x,y∈R).
(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;
(2)求方程的实根的取值范围.
分析设出方程的实根,根据复数相等求解(1),根据直线与圆的位置关系求解(2).
解:(1)设实根为t0,
根据复数相等的充要条件,得
由②,得t0=y-x.
代入①,得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,
即(x-1)2+(y+1)2=2. ③
所以所求点(x,y)的轨迹方程为
(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)由③,得圆心为(1,-1),半径rt0=y-x与圆有公共点,
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即|t0+2|≤2,
所以-4≤t0≤0.
故方程的实根的取值范围是[-4,0].
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