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1.3 曲线的极坐标方程
1.4 圆的极坐标方程
课时过关·能力提升
1圆心在点(1,0),且过极点的圆的极坐标方程为( )
A.ρ=1 B.ρ=cos θ
C.ρ=2cos θ D.ρ=2sin θ
解析:圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入上式,整理,得ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程.
答案:C
2极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1 D.y=1
解析:∵ρ(ρcos θ-1)=0,
∴ρρcos θ=x=1.
答案:C
3在极坐标系中,与圆ρ=4cos θ相切的一条直线方程为 ( )
A.ρsin θ=4 B.ρcos θ=2
C.ρcos θ=4 D.ρcos θ=-4
解析:圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,四个选项所对应的直线方程化为直角坐标方程分别为y=4,x=2,x=4,x=-4,故选C.
答案:C
4极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( )
A.2 B
解析:如图所示,两圆的圆心的极坐标分别
答案:D
5以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 ( )
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A.ρ=2co
C.ρ=2cos(θ-1) D.ρ=2sin(θ-1)
解析:如图所示,设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上任意一点,过C作CD⊥OP于点D.
∵|CO|=|CP|,
∴|OP|=2|DO|.
在Rt△CDO中,∠DOC=θ-1,
∴|DO|=cos(θ-1).
∴|OP|=2cos(θ-1),∴ρ=2cos(θ-1).
答案:C
6直≥0)
解析:将x=ρcos θ,y=ρsin θ(ρ≥0)代入直角坐标方程得tan θ≥0)和θ≥0).
答案:θ≥0)和θ≥0)
7在极坐标系中,定点
解析:将ρcos θ+ρsin θ=0化为直角坐标方程为x+y=0,A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,
又|OA|=1,所以|OB|∠BOx
故点B的极坐标
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答案:
8化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状.
(1)ρcos θ=2; (2)ρ=6cos θ.
解:(1)极坐标方程ρcos θ=2化为直角坐标方程为x=2,曲线是过点(2,0),垂直于x轴的直线.
(2)∵ρ=6cos θ,∴ρ2=6ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9.
故曲线是圆心为(3,0),半径为3的圆.
9圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2的交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ,
由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2-4x=0,
为圆O1的直角坐标方程.
同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.
(2)
即圆O1、圆O2交于点(0,0)和(2,-2),过两圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
★10在极坐标系中,已知圆C的圆心
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若点P在直线OQ上,
解:(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标
所以圆C的平面直角坐标方程
ρ2-6ρco
(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入P
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的轨迹方程为ρ2-15ρco
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