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2.4 一些常见曲线的参数方程
课时过关·能力提升
1已知一个圆的参数方程≤θ≤2π),则圆的摆线方程中参数t
A
C
解析:根据圆的参数方程,可知圆的半径为3,则它的摆线的参数方程t
故|AB|
答案:C
2如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其
A.3π B.4π
C.5π D.6π
解析:根据渐开线的定义,可1的圆的周长2的圆的周长3的圆的周长4的圆的周长2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
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答案:C
3我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆
答案:
4已知一个圆的摆线方程
答案:16π
5给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.因为圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程
以圆周上的某一定点为原点,以过该定点的切线为x轴,建立平面直角坐标系,
则摆线的参数方程
6有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,求齿廓线所在的渐开线的参数方程.
分析直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.
解:因为基圆的直径为22 mm,所以基圆的半径为11 mm,因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
7已知圆C的参数方程≤α≤2π),直线l的普通方程是x-y-
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?
(2)写出平移后圆的渐开线方程.
解:(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-d,所以直线和圆是相切的.
(2)由圆的半径是6,可得渐开线方程
★8已知一个参数方程
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(1)请写出直线和圆的普通方程;
(2)如果把圆心平移到(0,a),求出圆对应的摆线的参数方程.
解:(1)如果把a看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan α(x-2),即y=xtan α-2tan α+2,
如果把α看成参数,当a>0时,它表示半径为a的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=a2.
(2)因为圆的圆心在(0,a),圆的半径为a,所以对应的摆线的参数方程
★9如图,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当车轮滚动时,点Q的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|
解:设Q(x,y),P(x0, y0),若A(rθ,r),
当|AQ|,
代
得点Q的轨迹的参数方程
当|AQ|,
代
得点Q的轨迹方程
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