6 利用相似三角形测高
知识点 1 利用阳光下的影子或标杆测高
1．小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图4－6－1)，同时在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( )
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
图4－6－1
图4－6－2
2．如图4－6－2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，则旗杆的高度为( )
A．10 m B．(10 ＋1.5)m
C．11.5 m D．10 m
3．如图4－6－3，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为________ m.
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图4－6－3
图4－6－4
4．如图4－6－4，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为________m.
图4－6－5
5．如图4－6－5，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度为________m.
6．某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图4－6－6，间接测得小雁塔底部点D到地面上一点E的距离为115.2 m，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72 m，在DE的延长线上找一点A，使A，C，B三点在同一直线上，测得AE＝4.8 m．求小雁塔的高度．
图4－6－6
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知识点 2 利用镜子的反射测高
7．如图4－6－7是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2 m，BP＝3 m，DP＝12 m，那么该古城墙的高度CD为________ m.
图4－6－7
图4－6－8
8．为了测量校园内一棵高不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图4－6－8所示的测量方案，把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m．(精确到0.1 m)
9. 如图4－6－9，一束平行的光线从教室窗户射入教室，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户在教室地面上的影长MN＝ m，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝2 m(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为( )
A．2 m B．1.8 m C．1 m D．1.5 m
图4－6－9
图4－6－10
10.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，同一时刻，她发现树的
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影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上(如图4－6－10)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是( )
A．3.25 m B．4.25 m
C．4.45 m D．4.75 m
11．如图4－6－11所示，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上，同一时刻，小明竖起一根1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为( )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
图4－6－11 图4－6－12
12.如图4－6－12，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4 m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是________m.
13．如图4－6－13所示，徐彪同学所在的学习小组欲测量校园里的一棵大树的高度，他们选徐彪作为观测者，并在徐彪与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD，然后徐彪开始调整自己的位置，当他看到标杆顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现徐彪的脚离标杆底部的距离为1 m，离大树底部的距离为9 m，徐彪的眼睛离地面的高度为1.5 m，那么大树EF的高为多少？
图4－6－13
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14．同学们为了测出学校旗杆AB的高度，设计了两种方案，如图4－6－14所示，测得图①中，BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；图②中，CD＝1米，FD＝0.6米，EB＝18米．请你任选其中的一种方案．
(1)说明其运用的物理知识；
(2)利用同学们实测的数据，计算出旗杆的高度．
图4－6－14
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详解
1．A
2．C [解析] ∵∠FDE＝∠ADC＝30°，∠DEF＝∠DCA＝90°，∴△DEF∽△DCA，∴＝，即＝，解得AC＝10(cm)．∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，∴BC＝DG＝1.5 m，∴旗杆的高度＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)．
3．12 [解析] 由题意易知△ABE∽△ACD，得＝＝＝，即＝，解得CD＝12(m)．
4．1.4 [解析] 如图，由题意，得DE∥BC，
所以△AED∽△ABC，所以＝，即＝，解得h＝1.4(m)．
故答案为1.4.
5．5.4
6．解：由题意可得△AEC∽△ADB，
则＝，
故＝，
解得BD＝43(m)．
答：小雁塔的高度为43 m.
7．8 [解析] 如图，由题意可得∠APE＝∠CPE，
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∴∠APB＝∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴△ABP∽△CDP，∴＝.
∵AB＝2 m，BP＝3 m，DP＝12 m，
∴＝，∴CD＝8 (m)．故答案为8.
8．5.2 9.C
10．C [解析] 如图，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得＝，所以BD＝0.96 m，所以树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再利用竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得＝，所以树高＝4.45(m)．故选C.
11．D [解析] 延长AC交BD的延长线于点E，易知△CDE∽△PQR，∴＝，即＝，∴DE＝1(米)，∴BE＝3＋1＝4(米)．
又易知△ABE∽△PQR，
∴＝，即＝，∴AB＝8(米)．
12．54 [解析] 根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例列比例式计算得AB＝54 m.
13．解：如图所示，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G.
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由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形，
∴AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF，
∴∠AGC＝∠AHE＝90°.
又∵∠CAG＝∠EAH，
∴△ACG∽△AEH，∴＝，
即＝，∴EH＝4.5(m)，
∴EF＝EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)．
答：大树EF的高为6 m.
14．解：选择图①中的方案．
(1)运用的物理知识：入射角等于反射角．
(2)由题意易知∠AOB＝∠COD.
又因为∠ABO＝∠CDO＝90°，
所以△AOB∽△COD，
所以＝，即＝，
所以AB＝30(米)．
即旗杆的高度为30米．
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