第2课时 相似三角形的判定2
图4－4－14
知识点 由两边成比例且夹角相等判定两三角形相似
1．如图4－4－14所示，已知△ABC，则图4－4－15中与△ABC相似的是( )
图4－4－15
2．如图4－4－16，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE
C.＝ D.＝
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图4－4－16 图4－4－17
3.如图4－4－17，能保证△ABC与△ACD相似的条件是( )
A.＝
B.＝
C．AC2＝AD·AB
D．CD2＝AD·DB
4．2016·贵阳期末在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
图4－4－18
5．如图4－4－19，在△ABC中，点D，E分别在AB与AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由．
图4－4－19
6．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC与△A′B′C′相似．
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图4－4－20
7．如图4－4－20所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和△ABC相似，则AQ的长为________．
8．2017·贵阳期末如图4－4－21，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝EB.求证：△AED∽△CBD.
图4－4－21
9．如图4－4－22，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE.求证：△ABC∽△DBE.
图4－4－22
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详解
1．C
2．D [解析] ∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC.
A．添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；
B．添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；
C．添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；
D．添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选D.
3．C [解析] 从图中可看出，两个三角形有一公共角，若AB∶AC＝AC∶AD成立，则可利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定△ABC与△ACD相似．故选C.
4．D [解析] 三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6.
A.＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B.＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C.＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D.＝＝，对应边＝＝，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确．
故选D.
5．解：△ADE∽△ACB.理由如下：
∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，
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∴＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
6．3或 [解析] 两个三角形中已经有一组角对应相等，只需这两个角的夹边对应成比例即可说明这两个三角形相似，成比例有两种情况：AB∶A′B′＝BC∶B′C′，AB∶B′C′＝BC∶A′B′.
7．3或 [解析] ∵AC＝4，P是AC的中点，∴AP＝AC＝2.∵∠A＝∠A，∴①若＝，则△APQ∽△ACB，即＝，解得AQ＝3；②若＝，则△APQ∽△ABC，即＝，解得AQ＝.综上，AQ的长为3或.
8．证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB.
∵AE＝BE，
∴BC＝2AE，
∵＝，
∴CD＝2AD，
∴＝＝.
又∵∠A＝∠C，
∴△AED∽△CBD.
9．证明：在△ABD和△CBE中，
∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
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∴＝，
即＝.
∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中，
＝，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE.
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