5 相似三角形判定定理的证明
知识点 1 证明相似三角形判定定理
图4－5－1
1．如图4－5－1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
2．如图4－5－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
图4－5－2
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图4－5－3
3．2017·恩施州如图4－5－3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
知识点 2 相似三角形判定的综合应用
5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )
A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m
图4－5－4
图4－5－5
6．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．
7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.
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图4－5－6
8．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
图4－5－7
9．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )
A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·AB
C．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC
图4－5－8
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图4－5－9
10．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．
11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．
图4－5－10
12．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.
(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；
(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF的长．
图4－5－11
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13．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．
图4－5－12
14．如图4－5－13，已知直线l的函数表达式为y＝－x＋8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．
(1)求点A，B的坐标；
(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
(3)求出(2)中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．
图4－5－13
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详解
1．B 2.D
3．C [解析] 由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，结合∠ADE＝∠EFC可得出∠B＝∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE＝BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝DE，再根据CF＝BC－BF＝DE＝6，所以DE＝10.
4．解：已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE与△ABC相似．
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
过点D作DF∥AC交BC于点F，
又∵DE∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，
∴＝＝，
∴＝＝.
而∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC.
5．C.
6．4.4 m
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7．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.
在△ACD和△BCE中，
∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD∽△BCE，∴＝，
∴AD·BC＝AC·BE.
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝AB＝12.
∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.
∵△ABM∽△EFA，∴＝，
即＝，∴EA＝16.9，
∴DE＝EA－AD＝4.9.
9．B
10．7.
11．解：∠ABD＝∠ACE.理由如下：
∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
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∴∠BAD＝∠CAE.
又∵AB∶AD＝AC∶AE，
即AB∶AC＝AD∶AE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.
12．解：(1)证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B.
∵∠BEC＝∠ACE＋∠A，∠ACF＝∠ACE＋∠ECF，∠ECF＝∠A，
∴∠ACF＝∠BEC，
∴△ACF∽△BEC，∴＝，
∴AC2＝AF·BE.
(2)∵∠A＝60°，AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠ECF，
∴∠ACE＝∠FCB.
又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE，∠F＝∠ABC－∠FCB，∴∠ECB＝∠F.
又∵∠ABC＝∠A，
∴△ACF∽△BEC，
∴＝，∴AF＝，
∴BF＝AF－AB＝.
13．解：存在．
①若△PCD∽△APB，则＝，即＝，解得PD＝2或PD＝12；
②若△PCD∽△PAB，则＝，即＝，解得PD＝5.6.
∴当PD的长为2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
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14．解：(1)在y＝－x＋8中，
当x＝0时，y＝8；
当y＝0时，x＝6.
故点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．
(2)在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.
由题意易知BQ＝2t，AQ＝10－2t，AP＝t.
在△AOB和△AQP中，∠BAO＝∠PAQ，
第一种情况：
当＝时，△APQ∽△AOB，
即＝，解得t＝；
第二种情况：
当＝时，△AQP∽△AOB，
即＝，解得t＝.
故当t为或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．
(3)∵以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似，
∴当t＝时，＝，解得PQ＝；
当t＝时，＝，解得PQ＝.
故当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是或.
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