课时作业(十七)
[28.1 第2课时 余弦和正切]
一、选择题
1．2017·哈尔滨在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
2．2017·金华在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )
A. B. C. D.
3．如图K－17－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
图K－17－1
A. B. C. D.
4．2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图K－17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中，错误的是( )
图K－17－2
A．sinα＝cosα B．tanC＝2
8
C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
5．如图K－17－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为( )
图K－17－3
A．4 B．2
C. D.
6．如图K－17－4是教学用的直角三角板，边AC的长为30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
图K－17－4
A．30 cm B．20 cm
C．10 cm D．5 cm
7．如图K－17－5，在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则tanA的值为( )
图K－17－5
A. B. C. D.
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA·tanB的值一定( )
A．小于1 B．不小于1
C．大于1 D．等于1
9．如图K－17－6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )
图K－17－6
A. B.－1 C．2－ D.
8
二、填空题
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则△ABC的面积为________．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝.其中正确的结论有________(只需填上正确结论的序号)．
12．如图K－17－7所示，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，4)，且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝________．
图K－17－7
13.如图K－17－8，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝________．
图K－17－8
三、解答题
14．如图K－17－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求sinA和cosA的值．
图K－17－9
15．如图K－17－10，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
8
图K－17－10
16．如图K－17－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α.
(1)试写出α的三个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
图K－17－11
17．如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
(3)求tan∠ADC的值.
图K－17－12
1．2018·眉山如图K－17－13，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝________.
8
图K－17－13
2．阅读理解如图K－17－14，定义：在Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα， 即cotα＝＝.根据上述角的余切定义，解答下列问题：
(1)cot30°＝________；
(2)已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．
图K－17－14
8
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴BC＝＝，
则cosB＝＝.
故选A.
2．[解析] A 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝＝4，再根据正切函数的定义，得tanA＝＝.
3．[解析] D 由勾股定理得OA＝＝5，所以cosα＝.故选D.
4．[解析] C sinα＝cosα＝＝，tanC＝＝2，sinβ＝cos(90°－β)，tanα＝1.故选C.
5．[解析] A ∵cosB＝，∴＝.∵AB＝6，
∴BC＝×6＝4.故选A.
6．[解析] C BC＝AC·tan∠BAC＝30×＝10 (cm)．
7．[解析] D 由Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，设AC＝13a，AB＝12a，由勾股定理，得BC＝5a，则tanA＝＝.
8．[解析] D tanA·tanB＝·＝1.
9．[解析] A ∵在△ABC中，∠BAC＝90°，
AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC.
又∵D为边AC的中点，
∴AD＝DC＝AC.
∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，
∴DE＝EC＝DC＝AC，
∴tan∠DBC＝＝＝.
10．24 11.②③④
12．[答案] 2
[解析] ∵∠1＝∠2，∠1＋∠OCA＝∠2＋∠BAO＝90°，∴∠OCA＝∠BAO.
∵A(2，0)，B(0，4)，
∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2.
13．[答案] 2
[解析] 如图，连接BC.
8
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝＝4 .
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝＝＝2 .
14．解：∵tanA＝＝，故设BC＝2k，AC＝3k，
∴AB＝＝＝k，
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝.
15．解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，
∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.
在Rt△BCD中，BC＝＝10，
∴sinB＝＝，cosB＝＝，
∴sinB＋cosB＝＋＝.
16．解： (1)∵CD＝1，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝.
(2)∵∠B＝α，∴tanB＝tanα＝.
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝4.
∵CD＝1，∴BD＝BC－CD＝3.
17．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB＝5，BC＝3，
∴sin∠BAC＝＝.
(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，
∴E是AC的中点，
∴OE＝BC＝.
(3)∵AC＝＝4，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝.
[素养提升]
1．[答案] 2
8
[解析] 如图，连接BE.
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF.
根据题意，得AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO∶CO＝BK∶AC＝1∶3，
∴KO∶KF＝1∶2，
∴KO＝OF＝CF＝BF.
在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2.
∵∠AOD＝∠BOF，
∴tan∠AOD＝2.
故答案为：2.
2．解：(1)
(2)∵tanA＝＝，
∴cotA＝＝.
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