2018_2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例28.2.2.1解直角三角形在实际中的一般应用同步练习新版新人教版.doc

1 课时作业(二十) [28.2.2　第 1 课时　解直角三角形在实际中的一般应用]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　 一、选择题 1．2017·益阳如图 K－20－1，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠ CAB＝α，则拉线 BC 的长度为(点 A，D，B 在同一条直线上)(　　) 图 K－20－1 A. h sinα B. h cosα C. h tanα D．h·cosα 2．2017·温州如图 K－20－2，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cosα＝ 12 13，则小车上升的高度是(　　) 图 K－20－2 A．5 米 B．6 米 C．6.5 米 D．12 米 3．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图 K－20－3，旗杆 PA 的高 度与拉绳 PB 的长度相等．小明将 PB 拉到 PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)， 测角仪 B′D 的高度为 1 米，则旗杆 PA 的高度为(　　)2 图 K－20－3 A. 1 1－sinα米 B. 1 1＋sinα米 C. 1 1－cosα米 D. 1 1＋cosα米 4．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点 A 是栏杆转动的支点，点 E 是栏杆两段 的连接点．当车辆经过时，栏杆 AEF 最多只能升起到如图 K－20－4 所示的位置，其中 AB⊥ BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3 米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏 杆宽度忽略不计，参考数据： 2≈1.4)(　　) 链接听课例2归纳总结 图 K－20－4 图 K－20－5 5．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图 K－ 20－6 所示，其中 AB 表示窗户，且 AB＝2.82 米，△BCD 表示直角遮阳篷，已知当地一年中 午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 α 为 18°，最大夹角 β 为 66°，根据以上数据，计 算出遮阳篷中 CD 的长约是(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈ 0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(　　) 图 K－20－6 A．1.2 米 B．1.5 米 C．1.9 米 D．2.5 米 二、填空题 6．如图 K－20－7，为测量河宽 AB(假设河的两岸平行)，在点 C 处测得∠ACB＝30°， 在点 D 处测得∠ADB＝60°，且 CD＝60 m，则河宽 AB 为________m(结果保留根号)．3 图 K－20－7 7．某电动车厂新开发的一种电动车如图 K－20－8 所示，它的大灯 A 射出的光线 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8°和 10°，大灯 A 与地面的距离为 1m，则该车大灯照亮地面 的宽度 BC 约是________m．(不考虑其他因素，结果精确到 0.1 m，参考数据：sin8°≈ 0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18) 图 K－20－8 8．如图 K－20－9，秋千链子的长度 OA＝3 m，静止时秋千踏板处于 A 位置．此时踏板 距离地面 0.3 m，秋千向两边摆动．当踏板处于 A′位置时，摆角最大，即∠AOA′＝50°， 则踏板在 A′位置时，与地面的距离约为________m．(sin50°≈0.766，cos50°≈0.643， 结果精确到 0.01 m) 图 K－20－9 三、解答题 9．如图 K－20－10 是某小区的一个健身器材示意图，已知 BC＝0.15 m，AB＝2.7 m，∠ BOD＝70°，求端点 A 到底面 CD 的距离(精确到 0.1 m)． (参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)链接听课例2归纳总结 图 K－20－10 10．2017·安徽如图 K－20－11，游客在点 A 处坐缆车出发，沿 A—B—D 的路线可至山 顶 D 处，假设 AB 和 BD 都是直线段，且 AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求 DE 的 长． (参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， 2≈1.41) 图 K－20－114 11．某广场的旗杆 AB 旁边有一个半圆的时钟模型，如图 K－20－12 所示，时钟的 9 点 和 3 点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为 2 米，旗杆的底端 A 到钟面 9 点处刻度 C 的 距离为 5 米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端 B 的影子刚好投到钟面 11 点的刻度上， 同时测得 1 米长的标杆的影长为 1.6 米． (1)计算时钟的时针从 9 点转到 11 点时的旋转角是多少度； (2)求旗杆 AB 的高度(结果精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732). 链接听课例1归纳总结 图 K－20－12 转化思想 2017·凉山州如图 K－20－13，若要在宽 AD 为 20 米的城南大道两边安装路灯，路 灯的灯臂 BC 长 2 米，且与灯柱 AB 成 120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 CO 与灯 臂 BC 垂直，当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱 AB 的高应该设计为多少米(结果保留根号)? 图 K－20－135 详解详析 [课堂达标] 1．[解析] B　∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD. 在 Rt△BCD 中，∵cos∠BCD＝ CD BC， ∴BC＝ CD cos∠BCD＝ h cosα. 故选 B. 2．A　3.A 4．[解析] B　如图，过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EH⊥AG 于点 H， 则∠EHG＝∠HEF＝90°. ∵∠AEF＝135°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝45°，∠EAH＝45°. 在△EAH 中，∠EHA＝90°，∠EAH＝45°，AE＝1.3 米， ∴EH＝AE·sin∠EAH＝1.3× 2 2 ≈1.3×0.7＝0.91(米)． ∵AB＝1.3 米， ∴AB＋EH≈1.3＋0.91＝2.21≈2.2(米)． 5．[解析] B　设 CD 的长为 x 米，在 Rt△BCD 中，∠BDC＝α＝18°. ∵tan∠BDC＝ BC CD， ∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x. 在 Rt△ACD 中，∠ADC＝β＝66°. ∵tan∠ADC＝ AC CD， ∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x. ∵AB＝AC－BC， ∴2.82≈2.25x－0.32x，解得 x≈1.5. 6．[答案] 30 3 [解析] ∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝CD＝60 m. 在 Rt△ABD 中，AB＝AD·sin∠ADB＝60× 3 2 ＝30 3(m)． 7．[答案] 1.6 [解析] 过点 A 作 AD⊥MN 于点 D，如图所示． 由题意可得，AD＝1 m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴BD＝ AD tan8°≈ 1 0.14≈7.14(m)， CD＝ AD tan10°≈ 1 0.18≈5.56(m)， ∴BC＝BD－CD＝7.14－5.56≈1.6(m)． 8．[答案] 1.37 [解析] 如图，过点 A′作 A′D⊥OA 于点 D，A′C 垂直地面于点 C，延长 OA 交地面于点 B，6 则四边形 BCA′D 为矩形， ∴A′C＝DB. ∵∠AOA′＝50°，且 OA＝OA′＝3 m， ∴在 Rt△OA′D 中，OD＝OA′·cos∠AOA′≈3×0.643≈1.929(m)． 又∵AB＝0.3 m，∴OB＝OA＋AB＝3.3 m， ∴A′C＝DB＝OB－OD≈3.3－1.929≈1.37(m)． 9．[解析]过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥AE 于点 F，构造 Rt△ABF，运用解直 角三角形的知识求出 AF，进而求出 AE 得出结果． 解：过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥AE 于点 F，如图所示． ∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°. 在 Rt△ABF 中，AB＝2.7 m， ∴AF＝AB·cosA·2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)， ∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)． 答：端点 A 到底面 CD 的距离约是 1.1 m. 10．[解析] 分别在 Rt△ABC 和 Rt△BDF 中，运用解直角三角形的知识求得 BC 和 DF 的 近似值，再根据线段的和差求 DE. 解：在 Rt△ABC 中，∵cosα＝ BC AB， ∴BC＝AB·cosα≈600×0.26＝156(m)； 在 Rt△BDF 中，∵sinβ＝ DF BD， ∴DF＝BD·sinβ＝600× 2 2 ＝300 2≈300×1.41＝423(m)． 又 EF＝BC， ∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)． 11．解：(1)时钟的时针从 9 点转到 11 点转过 2 个大格，则旋转角的度数为 2×30°＝ 60°. (2)如图，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，DF⊥AB 于点 F，设半圆圆心为 O，连接 OD. ∵点 D 在 11 点的刻度上，∴∠COD＝60°， ∴DE＝OD·sin60°＝2× 3 2 ＝ 3(米)， OE＝OD·cos60°＝2× 1 2＝1(米)， ∴CE＝2－1＝1(米)， ∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)． ∵同时测得 1 米长的标杆的影长为 1.6 米， ∴ DF BF＝ 1.6 1 ，7 ∴BF＝ 6 1.6＝ 15 4 (米)， ∴AB＝BF＋DE＝ 15 4 ＋ 3≈5.5(米)． 答：旗杆 AB 的高度约为 5.5 米． [素养提升] 解：如图，延长 OC，AB 交于点 P. ∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°. ∵∠OCB＝90°，∴∠P＝30°. ∵AD＝20 米，∴OA＝ 1 2AD＝10 米． ∵BC＝2 米， ∴在 Rt△CPB 中，PC＝BC·tan60°＝2 3米，PB＝2BC＝4 米． ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A＝90°， ∴△PCB∽△PAO，∴ PC PA＝ BC OA， ∴PA＝ PC·OA BC ＝ 2 3 × 10 2 ＝10 3(米)， ∴AB＝PA－PB＝(10 3－4)米． 答：路灯的灯柱 AB 的高应该设计为(10 3－4)米．