2018_2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例28.2.2.2仰角俯角与解直角三角形同步练习新版新人教版.doc

1 课时作业(二十一) [28.2.2　第 2 课时　仰角、俯角与解直角三角形]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　 一、选择题 1．2018·长春如图 K－21－1，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A， B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之间的距离，一架直升机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为(　　) 图 K－21－1 A．800sinα 米 B．800tanα 米 C. 800 sinα米 D. 800 tanα米 2．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结 合的城市地标．如图 K－21－2，点 O 是摩天轮的圆心，长为 110 米的 AB 是其垂直地面的直 径，小莹在地面上的点 C 处利用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 33°，测得圆心 O 的仰角为 21°，则小莹所在点 C 到直径 AB 所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈ 0.38)(　　) 图 K－21－2 A．169 米 B．204 米 C．240 米 D．407 米2 3．如图 K－21－3，在一个 20 米高的楼顶上有一信号塔 DC，某同学为了测量信号塔的 高度，在地面的 A 处测得信号塔下端 D 的仰角为 30°，然后他正对塔的方向前进了 8 米到 达 B 处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 45°，CD⊥AB 于点 E，点 E，B，A 在一条直线上， 则信号塔 CD 的高度为(　　) 图 K－21－3 A．20 3米 B．(20 3－8)米 C．(20 3－28)米 D．(20 3－20)米 4．如图 K－21－4，在湖边高出水面 50m 的山顶 A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处， 观察到飞艇底部标志 P 处的仰角为 45°，又观察到其在湖中的像 P′的俯角为 60°，则飞 艇距离湖面的高度为链接听课例题归纳总结(　　) 图 K－21－4 A．(25 3＋75)m B．(50 3＋50)m C．(75 3＋75)m D．(50 3＋100)m 二、填空题 5．2017·山西如图 K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度 AB，其中一名小组 成员站在距离树 10 m 的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°.已知测角仪的架高 CE＝1.5 m， 则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090， cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764) 图 K－21－5 6．如图 K－21－6 所示，李敏同学在学校某建筑物的点 C 处测得旗杆顶部点 A 的仰角为 30°，旗杆底部点 B 的俯角为 45°.若旗杆底部点 B 到建筑物的水平距离 BE＝9 米，旗杆台 阶高 1 米，则旗杆顶点 A 离地面的高度为________米(结果保留根号)．3 图 K－21－6 三、解答题 7．2017·潍坊如图 K－21－7，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度．该 楼底层为车库，高 2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测 得五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在 B 处测得四楼顶部点 E 的仰角为 30°，AB＝14 m．求该 居民楼的高度(精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73)． 图 K－21－7 8．如图 K－21－8，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D 的俯角分别是 30°，60°， 此时无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A′处． (1)求 A，B 之间的距离； (2)求无人机在 A′处看目标 D 的俯角的正切值． 链接听课例题归纳总结 图 K－21－8 9．2017·荆门金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校 旗杆 AB 的高．如图 K－21－9，他们在旗杆正前方台阶上的点 C 处，测得旗杆顶端 A 的仰角 为 45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 F 处，测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°.已知升旗台 的高度 BE 为 1 米，点 C 距地面的高度 CD 为 3 米，台阶的坡角为 30°，且点 E，F，D 在同 一直线上．求旗杆 AB 的高．(计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)4 图 K－21－9 10．如图 K－21－10，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行，在航线 AB 的正下方有 两个山头 C，D.飞机在 A 处时，测得山头 C，D 在飞机的前方，俯角分别为 60°和 30°.飞 机飞行了 6km 到 B 处时，往后测得山头 C 的俯角为 30°，而山头 D 恰好在飞机的正下方．求 山头 C，D 之间的距离． 图 K－21－10 转化思想如图 K－21－11，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小 楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45°(点 B，C， E 在同一水平直线上)，已知 AB＝80m，DE＝10m，求障碍物 B，C 两点间的距离(结果精确到 0.1 m，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．5 图 K－21－116 详解详析 [课堂达标] 1．[解析] D　在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800 米， ∴tanα＝ AC AB， ∴AB＝ AC tanα＝ 800 tanα米． 故选 D. 2．[解析] B　如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D. 在 Rt△ACD 中，AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan33°， 在 Rt△DCO 中，OD＝CD·tan∠DCO＝CD·tan21°. ∵AB＝110 米，∴AO＝55 米，∴AO＝AD－OD＝CD·tan33°－CD·tan21°＝55 米， ∴CD＝ 55 tan33°－tan21°≈ 55 0.65－0.38≈204(米)． 故小莹所在点 C 到直径 AB 所在直线的距离约为 204 米． 3．[解析] C　根据题意，得 AB＝8 米，DE＝20 米，∠A＝30°，∠EBC＝45°. 在 Rt△ADE 中，AE＝ 3DE＝20 3米， ∴BE＝AE－AB＝(20 3－8)米． 在 Rt△BCE 中，CE＝BE·tan45°＝(20 3－8)×1＝(20 3－8)米． ∴CD＝CE－DE＝20 3－8－20＝(20 3－28)米． 4．[解析] D　设 AE＝x m．在 Rt△AEP 中，∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x m. ∵山顶 A 处高出水面 50 m，∴OE＝50 m， ∴OP′＝OP＝PE＋OE＝(x＋50)m. ∵∠P′AE＝60°， ∴P′E＝tan60°·AE＝ 3x m， ∴OP′＝P′E－OE＝( 3x－50)m. ∴x＋50＝ 3x－50， 解得 x＝50( 3＋1)， ∴OP＝PE＋OE＝50( 3＋1)＋50＝(50 3＋100)m. 5．[答案] 15.3 [解析] 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则四边形 CEBD 是矩形，BD＝CE＝1.5 m. 在 Rt△ACD 中，CD＝EB＝10 m，∠ACD＝54°. ∵tan∠ACD＝ AD CD， ∴AD＝CD·tan∠ACD≈10×1.3764＝13.764(m)， ∴AB＝AD＋BD≈13.764＋1.5≈15.3(m)． 6.(10＋3 3) 7．[解析] 设每层高度为 x m，则可表示出 EC′与 DC′的长，然后通过解 Rt△DC′A′ 与 Rt△EC′B′，用含 x 的式子表示出 C′B′与 C′A′的长，其差即为 AB 的长 14 米，由 此构建方程求解． 解：设每层高度为 x m，由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)， 则 DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m. 在 Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，7 ∴C′A′＝ DC′ tan60°＝ 3 3 (5x＋1)m. 在 Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴C′B′＝ EC′ tan30°＝ 3(4x＋1)m. ∵C′B′－C′A′＝A′B′＝AB，AB＝14 m， ∴ 3(4x＋1)－ 3 3 (5x＋1)＝14， 解得 x≈3.18. ∴该居民楼的高度约为 5×3.18＋2.5＝18.4(米)． 8．解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60 m， ∴在 Rt△ABC 中，AB＝ AC cos∠BAC＝ 60 cos60°＝120(m)． 即 A，B 之间的距离为 120 m. (2)如图，过点 D 作 DE⊥AA′ 于点 E，连接 A′D. ∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60 m， ∴在 Rt△ADC 中，CD＝AC·tan∠DAC＝60×tan30°＝20 3(m)． ∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°， ∴四边形 ACDE 是矩形． ∵ED＝AC＝60 m，EA＝CD＝20 3 m， ∴在 Rt△A′ED 中，tan∠EA′D＝ ED EA′＝ ED EA＋AA′＝ 60 20 3＋30 3＝ 2 3 5 . 即无人机在 A′处看目标 D 的俯角的正切值为 2 3 5 . 9．解：过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，则四边形 CMED 是矩形，且△AMC 是等腰直角三角 形． 设 AM＝x 米，则 ED＝MC＝x 米，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝(x＋3)米． 在 Rt△AEF 中，EF＝ AE tan∠AFE＝ x＋3 3 米． 在 Rt△CFD 中，FD＝ CD tan∠CFD＝3 3米． ∵ED＝MC，∴x＝ x＋3 3 ＋3 3， 解得 x＝6 3＋6. ∴AB＝AM＋ME－BE＝6 3＋6＋3－1＝6 3＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)． 答：旗杆 AB 的高约为 18.4 米． 10．解：如图，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°. 在 Rt△ABC 中， ∵AB＝6 km， ∴AC＝3 km，BC＝3 3 km. 在 Rt△ABD 中， ∵AB＝6 km，∠BAD＝30°， ∴BD＝AB·tan30°＝2 3 km.8 ∵∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝60°，∠DEB＝90°， ∴BE＝ 3 km，DE＝3 km， ∴CE＝BC－BE＝2 3 km. 在 Rt△CDE 中，CD＝ CE2＋DE2＝ 21 km. 答：山头 C，D 之间的距离是 21 km. [素养提升] 解： 如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 C 作 CH⊥DF 于点 H. 则 DE＝BF＝CH＝10 m. 在 Rt△ADF 中， ∵AF＝AB－BF＝80－10＝70(m)， ∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70 m. 在 Rt△CDE 中， ∵DE＝10 m，∠DCE＝30°， ∴CE＝ DE tan30°＝ 10 3 3 ＝10 3(m)， ∴BC＝BE－CE＝DF－CE＝70－10 3≈70－17.32≈52.7(m)． 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7 m.