2018_2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形同步练习新版新人教版.doc

1 课时作业(十九) [28.2.1　解直角三角形]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　 一、选择题 1．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结 论正确的是(　　) A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b 2．如图 K－19－1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝ 1 2，则 BC 的长是(　　) 图 K－19－1 A．2 B．3 C．4 D．8 3．如图 K－19－2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是(　　) 图 K－19－2 A. 4 3 3 B．4 C．8 3 D．4 3 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度数为链接听课例1归纳总结 (　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 5．如图 K－19－3，在△ABC 中，cosB＝ 2 2 ，sinC＝ 3 5，AC＝5，则△ABC 的面积是(　　)2 图 K－19－3 A. 21 2 B．12 C．14 D．21 6.如图 K－19－4，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，若 BD 是△ABC 的角平分线，BD ＝8，则△ABC 的三边长分别是(　　) 　 图 K－19－4 A．6，6 3，12 B．2 3，6，4 3 C．4，4 3，8 D．4 3，12，8 3 7．如图 K－19－5，⊙O 的直径 AB＝4，BC 切⊙O 于点 B，OC 平行于弦 AD，OC＝5，则 AD 的长为(　　) 图 K－19－5 A. 6 5 B. 8 5 C. 7 5 D. 2 3 5 二、填空题 8 ． 如 图 K － 19 － 6 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， BC ＝ 15 ， tanA ＝ 15 8 ， 则 AB ＝ ________． 图 K－19－6 9．如图 K－19－7，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则 AB 的长为________． 图 K－19－73 10．如图 K－19－8，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，tan∠ACD＝ 3 4，AB ＝5，那么 CD 的长是________． 图 K－19－8 三、解答题 11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，根据下列条件 解直角三角形． (1)b＝10，∠A＝60°； (2)a＝2 5，b＝2 15.链接听课例1、例3归纳总结 12．如图 K－19－9，AD 是△ABC 的中线，tanB＝ 1 3，cosC＝ 2 2 ，AC＝ 2. 求：(1)BC 的长； (2)sin∠ADC 的值． 图 K－19－9 13．如图 K－19－10，在△ABC 中，D 是 BC 上的一点，且∠DAC＝30°，过点 D 作 DE⊥AD 交 AC 于点 E，AE＝4，EC＝2. (1)求证：AD＝CD； (2)若 tanB＝3，求线段 AB 的长． 图 K－19－10 14．如图 K－19－11，在△ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝ 1 8.4 (1)求 BC 的长； (2)利用此图形求 tan15°的值(精确到 0.1，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 5≈ 2.2)． 图 K－19－11 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边 角之间是否也存在某种关系呢？如图 K－19－12，在锐角三角形 ABC 中，∠A，∠B，∠ACB 所对的边分别为 a，b，c，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ADC 中，CD＝bsinA，AD＝ bcosA，∴BD＝c－bcosA. 在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 CD2＋BD2＝BC2， 即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2， 整理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可得 b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. (注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上) 利用上述结论解答下列问题： (1)在△ABC 中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求 a 的长和∠C 的度数； (2)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，∠B＝45°，c＞a＞b，求 c 的长． 图 K－19－125 详解详析 [课堂达标] 1．A　2.A 3．[解析] D　∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝ BC AB， 即 cos30°＝ BC 8 ， ∴BC＝8× 3 2 ＝4 3. 4．D 5．[解析] A　如图，过点 A 作 AD⊥BC， ∵在△ABC 中，cosB＝ 2 2 ， ∴∠B＝45°，BD＝AD. ∵sinC＝ 3 5，AC＝5， ∴sinC＝ 3 5＝ AD AC＝ AD 5 ， ∴AD＝3， ∴CD＝4，BD＝3， 则△ABC 的面积是 1 2·AD·BC＝ 1 2×3×(3＋4)＝ 21 2 . 6．[解析] D　∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°. ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠CBD＝30°. 解 Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC 的三边长． 7．[解析] B　如图，连接 BD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵OC∥AD， ∴∠A＝∠BOC， ∴cosA＝cos∠BOC. ∵BC 切⊙O 于点 B， ∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC＝ OB OC＝ 2 5， ∴cosA＝cos∠BOC＝ 2 5.6 又∵cosA＝ AD AB，AB＝4，∴AD＝ 8 5. 故选 B. 8．[答案] 17 [解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ 15 8 ，BC＝15，∴ 15 AC＝ 15 8 ，解得 AC＝8，根 据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 82＋152＝17.故答案为 17. 9．[答案] 3＋ 3 [解析] 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△ACD 中，AC＝2 3，∠A＝30°，∴CD＝AC·sinA＝ 3，AD＝ AC2－CD2＝3. 在 Rt△BCD 中，CD＝ 3，∠B＝45°， ∴BD＝CD＝ 3， ∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3. 10．[答案] 12 5 [解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵tan∠ACD＝ 3 4，∴tanB＝ AC BC＝ 3 4. 设 AC＝3x，BC＝4x. ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4. ∵S△ABC＝ 1 2AB·CD＝ 1 2AC·BC， ∴CD＝ AC·BC AB ＝ 12 5 . 11．解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵cosA＝ b c，∴c＝ b cosA＝ 10 cos60°＝ 10 1 2 ＝20， ∴a＝ c2－b2＝ 202－102＝10 3. (2)c＝ a2＋b2＝ （2 5）2＋（2 15）2＝4 5. ∵tanA＝ a b＝ 2 5 2 15 ＝ 3 3 ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 12．[解析] (1)过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，根据 cosC＝ 2 2 ，求出∠C＝45°，求出 AE＝ CE＝1，根据 tanB＝ 1 3，求出 BE 的长； (2)根据 AD 是△ABC 的中线，求出 BD 的长，得到 DE 的长，进而求得 sin ∠ADC 的值． 解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵cosC＝ 2 2 ， ∴∠C＝45°. 在 Rt△ACE 中，CE＝AC·cosC＝ 2× 2 2 ＝1，7 ∴AE＝CE＝1. 在 Rt△ABE 中，tanB＝ 1 3，即 AE BE＝ 1 3， ∴BE＝3AE＝3， ∴BC＝BE＋CE＝4. (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝BD＝2， ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°， ∴sin∠ADC＝ 2 2 . 13．解：(1)证明：∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°. 在 Rt△ADE 中，∠DAE＝30°，AE＝4， ∴∠DEA＝60°，DE＝ 1 2AE＝2. 又∵EC＝2， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C. 又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°， ∴∠C＝30°＝∠DAE， ∴AD＝CD. (2)如图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F， 则∠AFC＝∠AFB＝90°. ∵AE＝4，EC＝2， ∴AC＝6. 在 Rt△AFC 中，∠AFC＝90°，∠C＝30°， ∴AF＝ 1 2AC＝3. 在 Rt△AFB 中，∠AFB＝90°，tanB＝3， ∴BF＝ AF tanB＝1， ∴AB＝ AF2＋BF2＝ 10. 14．解：(1)过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图①所示．8 在 Rt△ADC 中，AC＝4. ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°， ∴AD＝ 1 2AC＝2， CD＝AC·cos30°＝4× 3 2 ＝2 3. 在 Rt△ABD 中，tanB＝ AD BD＝ 2 BD＝ 1 8， ∴BD＝16， ∴BC＝BD－CD＝16－2 3. (2)在 BC 边上取一点 M，使得 CM＝AC，连接 AM，如图②所示． ∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°， tan15°＝tan∠AMD＝ AD MD＝ 2 4＋2 3＝ 1 2＋ 3≈ 1 2＋1.7≈0.3. [素养提升] [解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出 a 的长，根据勾股定理的逆定 理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； (2)把数据代入相应的公式，得到关于 c 的一元二次方程，解方程即可得到答案． 解：(1)在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 2)2＋22－2×2 2×2× 2 2 ＝4，解得 a＝2. ∵22＋22＝(2 2)2，即 a2＋c2＝b2， ∴△ABC 为直角三角形． 又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°. (2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝ 3，b＝ 2，cosB＝cos45°＝ 2 2 ， ∴c2－ 6c＋1＝0， 解得 c＝ 6 ± 2 2 . ∵c＞a＞b，∴c＝ 6＋ 2 2 .