2018_2019学年九年级数学下册第二十八章锐角三角函数本章中考演练同步练习新版新人教版.doc

1 第二十八章 锐角三角函数 本章中考演练 一、选择题 1．2018·天津 cos30°的值为(　　) A. 2 2 B. 3 2 C．1 D. 3 2．2018·孝感如图 28－Y－1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 sinA 的值为(　　) 图 28－Y－1 A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 3 4 3．2018·宜昌如图 28－Y－2，要测量小河两岸相对的两点 P，A 间的距离，可以在小 河边取 PA 的垂线 PB 上一点 C，测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于(　　) 图 28－Y－2 A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 4．2018·金华如图 28－Y－3，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC＝α，∠ ADC＝β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为(　　)2 图 28－Y－3 A. tanα tanβ B. sinβ sinα C. sinα sinβ D. cosβ cosα 5．2018·重庆如图 28－Y－4，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗 杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学 楼底部的距离 DE＝7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 CD＝2 米，若旗杆底部到 坡面 CD 的水平距离 BC＝1 米，则旗杆 AB 的高度约为(　　) (参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6) 图 28－Y－4 A．12.6 米 B．13.1 米 C．14.7 米 D．16.3 米 6．2018·绵阳一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在 A 点的南偏东 30° 方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是 (结果保留小数点后两位．参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)(　　) A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里 二、填空题 7．2018·德州如图 28－Y－5，在 4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．△ ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是________． 图 28－Y－5 8．2018·广西如图 28－Y－6，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲 楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120 m，则乙楼的高 CD 是 ________m．(结果保留根号)3 图 28－Y－6 9．2018·济宁如图 28－Y－7，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2 km 的 A，B 两个观测站， B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏 东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是________km. 图 28－Y－7 10．2018·潍坊如图 28－Y－8，一艘渔船正以 60 海里/时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30° 方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北偏东 60°方向．为了在台风到来之前用 最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结 果保留根号) 图 28－Y－8 三、解答题 11．2018·自贡如图 28－Y－9，在△ABC 中，BC＝12，tanA＝ 3 4，∠B＝30°，求 AC 和 AB 的长． 图 28－Y－94 12．2018·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑 的高度．如图 28－Y－10，用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30°，再往雕塑方向 前进 4 米至 B 处，测得雕塑顶端点 C 的仰角为 45°.问：该雕塑有多高？(测角仪的高度忽 略不计，结果不取近似值) 图 28－Y－10 13．2018·遂宁如图 28－Y－11，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得 山顶 B 的仰角 45°，然后沿着坡度为 1∶ 3的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测 得山顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC(结果保留根号)． 图 28－Y－11 14．2018·内江如图 28－Y－12 是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 AC 的高为 11 米， 灯杆 AB 与灯柱 AC 的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 18 米，从 D，E 两处测得路灯 B 的仰角分别为 α 和 β，且 tanα＝6，tanβ＝ 3 4.求灯杆 AB 的 长度．5 图 28－Y－126 详解详析 1．B 2．[解析] A　在 Rt△ABC 中， ∵AB＝10，AC＝8， ∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6， ∴sinA＝ BC AB＝ 6 10＝ 3 5. 故选 A. 3．[解析] C　∵PA⊥PB，PC＝100 米，∠PCA＝35°， ∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)． 故选 C. 4．[解析] B　在 Rt△ABC 中，AB＝ AC sinα， 在 Rt△ACD 中，AD＝ AC sinβ， ∴AB∶AD＝ AC sinα∶ AC sinβ＝ sinβ sinα. 故选 B. 5．[解析] B　如图，延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，过点 C 作 CJ⊥DM 于点 J，则四边 形 BMJC 是矩形． 在 Rt△CJD 中， CJ DJ＝ 1 0.75＝ 4 3. 设 CJ＝4k 米，DJ＝3k 米， 则有 CD＝9k2＋16k2＝5k＝2，∴k＝ 2 5， ∴BM＝CJ＝ 8 5米，BC＝MJ＝1 米，DJ＝ 6 5米，EM＝MJ＋DJ＋DE＝ 46 5 米． 在 Rt△AEM 中，tan∠AEM＝ AM EM， ∴1.6≈ AB＋ 8 5 46 5 ，解得 AB≈13.1(米)． 故选 B. 6．[解析] B　如图所示，7 由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝15°， 过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE＝∠ACB＝ 15°， 则∠BED＝30°，BE＝CE. 则 AB＝BE. 设 BD＝x 海里， 则 AB＝BE＝CE＝2x 海里，AD＝DE＝ 3x 海里， ∴AC＝AD＋DE＋CE＝(2 3x＋2x)海里． ∵AC＝30 海里， ∴2 3x＋2x＝30， 解得 x＝ 15（ 3－1） 2 ≈5.49. 故选 B. 7．[答案] 5 5 [解析] ∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°，则 sin∠BAC＝ BC AB＝ 5 5 . 8．[答案] 40 3 [解析] 由题意可得：∠BDA＝45°， 则 AD＝AB＝120 m. 又∵∠CAD＝30°，∴在 Rt△ADC 中， tan∠CAD＝ CD AD＝ 3 3 ， 解得 CD＝40 3 m. 9．[答案] 3 [解析] 首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得 BC 的长为 2 km，然后由点 C 作 CD⊥AB 于点 D，构造 Rt△CBD，应用边、角之间的三角函数关系确定 CD＝BC·sin60°，求 得结果． 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 根据题意，得∠CAD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°， ∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°， ∴∠CAB＝∠ACB， ∴BC＝AB＝2 km. 在 Rt△CBD 中，CD＝BC·sin60°＝2× 3 2 ＝ 3(km)． 10．[答案] 18＋6 3 5 [解析] 过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 N.设 PQ＝MN＝x 海里， 解 Rt△APQ 和 Rt△BPQ 求得 x 的值，再解 Rt△BMN 求出 BM 的长度，利用“路程÷速度＝时 间”解答即可． 如图，过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 N.8 AB＝60×1.5＝90(海里)． 设 PQ＝MN＝x 海里，由点 P 在点 A 的东北方向可知，∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝x 海里， BQ＝(x－90)海里． 在 Rt△PBQ 中，∠PBQ＝90°－30°＝60°， tan60°＝ x x－90＝ 3， 解得 x＝135＋45 3. 在 Rt△BMN 中，∠MBN＝90°－60°＝30°， ∴BM＝2MN＝2x＝2×(135＋45 3)＝(270＋90 3)海里， ∴航行时间为： 270＋90 3 75 ＝ 18＋6 3 5 (时)． 11．解：如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. 在 Rt△BCH 中，∵BC＝12，∠B＝30°， ∴CH＝ 1 2BC＝6，BH＝ BC2－CH2＝6 3. 在 Rt△ACH 中，tanA＝ 3 4＝ CH AH， ∴AH＝8，∴AC＝ AH2＋CH2＝10， ∴AB＝AH＋BH＝8＋6 3. 12．解：如图，设雕塑的高 CD 为 x 米． 在 Rt△ACD 中，AD＝ x tan30°； 在 Rt△BCD 中，BD＝ x tan45°＝x. 根据题意，得 AD－BD＝4，即 x tan30°－x＝4， 解得 x＝2 3＋2. 答：雕塑的高 CD 为(2 3＋2)米． 13．解：如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. ∵DF∶AF＝1∶ 3，AD＝200 米，9 ∴tan∠DAF＝ 3 3 ， ∴∠DAF＝30°， ∴DF＝ 1 2AD＝ 1 2×200＝100(米)． ∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°， ∴四边形 DECF 是矩形， ∴EC＝DF＝100 米． ∵∠BAC＝45°，BC⊥AC， ∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝ 15°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴BD＝AD＝200 米． 在 Rt△BDE 中，sin∠BDE＝ BE BD， ∴BE＝BD·sin∠BDE＝200× 3 2 ＝100 3(米)， ∴BC＝BE＋EC＝(100＋100 3)米． 即山高 BC 为(100＋100 3)米． 14．解：如图，过点 B 作 BH⊥DE，垂足为 H，过点 A 作 AG⊥BH，垂足为 G. ∵BH⊥DE， ∴∠BHD＝∠BHE＝90°. 在 Rt△BHD 中，tanα＝ BH DH＝6， 在 Rt△BHE 中，tanβ＝ BH EH＝ 3 4， ∴BH＝6DH，BH＝ 3 4EH， ∴8DH＝EH. ∵DE＝18 米，DE＝DH＋EH， ∴9DH＝18 米， ∴DH＝2 米，BH＝12 米． ∵∠BHD＝∠AGH＝∠ACH＝90°， ∴四边形 ACHG 为矩形， ∴GH＝AC＝11 米，∠CAG＝90°，BG＝BH－GH＝12－11＝1(米)． ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAG＝∠BAC－∠CAG＝120°－90°＝30°， ∴在 Rt△AGB 中，AB＝2BG＝2 米． 即灯杆 AB 的长度为 2 米．