2016年广东省中考数学模拟试卷（4）.pdf

2016 年广东省中考数学模拟试卷（4） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣3 的倒数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D． 2．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（ ） A．我 B．中 C．国 D．梦 3．下列计算正确的是（ ） A．﹣8﹣5=﹣3 B．﹣|﹣3|=3 C．（﹣1）2015=﹣1 D．﹣22=4 4．下列说法中错误的是（ ） A．0 没有平方根 B． 是无理数 C．任何实数都有立方根 D．9 的平方根是±3 5．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 都相交，∠1=70°，则∠2 的度数是（ ） A．20° B．35° C．70° D．110° 6．在某次数学摸底考试中有 3 个男同学和 2 个女同学获得了满分，要想从中随机挑选一个 同学参加市数学竞赛，其中选中男生的概率是（ ） A． B． C． D．1 7．⊙O 的半径为 5，同一平面内有一点 P，且 OP=7，则 P 与⊙O 的位置关系是（ ） A．P 在圆内 B．P 在圆上 C．P 在圆外 D．无法确定 8．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于 D，E 两点，且 AC=10，BC=4， 则△BCE 的周长为（ ） A．6 B．14 C．18 D．249．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则 tanB 的值为（ ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m 与 y= m x （m≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若一粒米的质量约是 0.000 012kg，将数据 0.000 012 用科学记数法表示为 ． 12．方程 2x﹣1=3 的解是 ． 13．如图，点 B、E、F、C 在同一直线上．已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使△ABF≌△DCE， 需要补充的一个条件是 （写出一个即可）． 14．在平面直角坐标系中，点 A（﹣3，4）在第 象限． 15．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°，D 是 BC 边的中点，连接 AD，则 ∠BAD= ． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1，把该矩形绕点 A 顺时针旋转α度得矩形 AB′C′D′， 点 C′落在 AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣4cos30°+（ 2016 ﹣1）0﹣（ ）﹣1．18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中 a=1，b=2． 19．已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． （1）尺规作图：作∠BAD 的角平分线交 DC 的延长线于 E 点（不要求写作法，但要保留作 图痕迹）； （2）求证：BE=DC． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为了了解某市九年级学生的体育成绩（成绩均为整数），随机抽取了部分学生的体育成 绩并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5） 统计，得到统计图、表如下． 分数段 A B C D E 合计 频数/人 12 36 84 b 48 c 频率 0.05 a 0.35 0.25 0.20 1 根据上面的信息，回答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ，c= ；将统计图补充完整． （2）小明说：“这组数据的众数一定在 C 中．”你认为小明的说法正确吗？ （选 填“正确”或“错误”）． （3）若成绩在 27 分以上定为优秀，则该市 48 000 名九年级学生中体育成绩为优秀的学生 人数约有多少？21．如图，位于 A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东 68°方向的 B 处有一艘渔船遇险，在 原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东 30°相距 20 海里的 C 处救生船，并通知 救生船，遇险船在它的正东方向 B 处，现救生船沿着航线 CB 前往 B 处救援，若救生船的 速度为 20 海里/时，请问：救生船到达 B 处大约需要多长时间？（结果精确到 0.1 小时：参 考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 22．已知关于 x 的方程 （1﹣a）x2+x+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为 2，求 a 的值及另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有实数根． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．观察下列等式： 第一个等式：a1= = ﹣ ； 第二个等式：a2= = ﹣ ； 第三个等式：a3= = ﹣ ； 第四个等式：a4= = ﹣ ． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an= = ； （2）式子 a1+a2+a3+…+a20= ．24．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于 E． （1）求证：点 E 是边 BC 的中点； （2）当以点 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC 是等腰直角三角形； （3）求证：4DE2=BD•BA． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的两个顶点分别是 C（3，0），E（0，4）．点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B．连接 EC，AC．点 P，Q 为动点，设运动时间为 t s． （1）填空：点 A 的坐标为 ；抛物线的解析式为 ． （2）在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以每秒 1 个单位的速度运动，同时，点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以每秒 2 个单位的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点 随之停止运动．当 t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？ （3）在图 2 中，若点 P 在对称轴 x=1 上从点 A 开始向点 B 以每秒 1 个单位的速度运动，过 点 P 作 PF⊥AB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ， CQ．当 t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？2016 年广东省中考数学模拟试卷（4） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣3 的倒数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D． 【考点】倒数． 【专题】常规题型． 【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（﹣ ）=1， ∴﹣3 的倒数是﹣ ． 故选：D． 【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是 1 的两数互为倒数． 2．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（ ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“我”与面“中”相对，面“的” 与面“国”相对，“你”与面“梦”相对． 故选：D． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手， 分析及解答问题． 3．下列计算正确的是（ ） A．﹣8﹣5=﹣3 B．﹣|﹣3|=3 C．（﹣1）2015=﹣1 D．﹣22=4 【考点】有理数的乘方；绝对值；有理数的减法． 【分析】根据有理数的减法、绝对值、有理数的乘方，即可解答． 【解答】解：A、﹣8﹣5=﹣13，故错误； B、﹣|﹣3|=﹣3，故错误； C、正确； D、﹣22=﹣4，故错误； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的法则．4．下列说法中错误的是（ ） A．0 没有平方根 B． 是无理数 C．任何实数都有立方根 D．9 的平方根是±3 【考点】立方根；平方根；无理数． 【分析】根据平方根，无理数，立方根的定义，即可解答． 【解答】解：A、0 的平方根是 0，故错误； B、 是无理数，正确； C、任何实数都有立方根，正确； D、9 的平方根是±3，正确； 故选：A． 【点评】本题考查了平方根，无理数，立方根，解决本题的关键是熟记平方根，无理数，立 方根的定义． 5．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 都相交，∠1=70°，则∠2 的度数是（ ） A．20° B．35° C．70° D．110° 【考点】平行线的性质． 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵直线 a∥b，∠1=70°， ∴∠2=∠1=70°． 故选 C． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 6．在某次数学摸底考试中有 3 个男同学和 2 个女同学获得了满分，要想从中随机挑选一个 同学参加市数学竞赛，其中选中男生的概率是（ ） A． B． C． D．1 【考点】概率公式． 【分析】由在某次数学摸底考试中有 3 个男同学和 2 个女同学获得了满分，直接利用概率公 式求解即可求得答案． 【解答】解：∵在某次数学摸底考试中有 3 个男同学和 2 个女同学获得了满分， ∴从中随机挑选一个同学参加市数学竞赛，其中选中男生的概率是： = ． 故选 B． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．⊙O 的半径为 5，同一平面内有一点 P，且 OP=7，则 P 与⊙O 的位置关系是（ ） A．P 在圆内 B．P 在圆上 C．P 在圆外 D．无法确定 【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆上，则 d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d 即点到圆心的距离， r 即圆的半径）即可得到结论． 【解答】解：∵OP=7＞5， ∴点 P 与⊙O 的位置关系是点在圆外． 故选 C． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是 解决问题的关键． 8．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于 D，E 两点，且 AC=10，BC=4， 则△BCE 的周长为（ ） A．6 B．14 C．18 D．24 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】先根据 AC=10，BC=4，可得出 AC+BC 的长，再根据 DE 是线段 AB 的垂直平分 线可得到 AE=BE，进而可得出答案． 【解答】解：∵AC=10，BC=4， ∴AC+BC=10+4=14， ∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴△BCE 的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=14． 故选 B 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 点的距离相等． 9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则 tanB 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】互余两角三角函数的关系． 【专题】计算题． 【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据 sinA= ，设一条直角边 BC 为 5x，斜边 AB 为 13x，根据勾股定理求出另一条直角边 AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出 tan∠B． 【解答】解：∵sinA= ， ∴设 BC=5x，AB=13x， 则 AC= =12x，故 tan∠B= = ． 故选：D． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的 定义和勾股定理的运用． 10．在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m 与 y= m x （m≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【专题】压轴题． 【分析】先根据一次函数的性质判断出 m 取值，再根据反比例函数的性质判断出 m 的取值， 二者一致的即为正确答案． 【解答】解：A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＞0，由函数 y= m x 的图象可知 m＞0，故 A 选项正确； B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m＜0，由函数 y= m x 的图象可知 m＞0，相矛盾，故 B 选项 错误； C、由函数 y=mx+m 的图象 y 随 x 的增大而减小，则 m＜0，而该直线与 y 轴交于正半轴， 则 m＞0，相矛盾，故 C 选项错误； D、由函数 y=mx+m 的图象 y 随 x 的增大而增大，则 m＞0，而该直线与 y 轴交于负半轴， 则 m＜0，相矛盾，故 D 选项错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质 才能灵活解题． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若一粒米的质量约是 0.000 012kg，将数据 0.000 012 用科学记数法表示为 1.2×10﹣5 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定． 【解答】解：将数据 0.000 012 用科学记数法表示为 1.2×10﹣5． 故答案为：1.2×10﹣5．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 12．方程 2x﹣1=3 的解是 x=2 ． 【考点】解一元一次方程． 【分析】根据解方程的步骤：移项，移项要变号，合并同类项，把 x 的系数化为 1，进行计 算即可． 【解答】解：2x﹣1=3， 移项得：2x=3+1， 合并同类项得：2x=4， 把 x 的系数化为 1 得：x=2． 故答案为：x=2． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，解题过程中关键是要注意符号问题． 13．如图，点 B、E、F、C 在同一直线上．已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使△ABF≌△DCE， 需要补充的一个条件是 AB=DC 或 AF=DE 或 BF=CE 或 BE=CF （写出一个即可）． 【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型． 【分析】需要补充的一个条件是 BE=CF，若 BF=CE，可用 AAS 证明△ABF≌△DCE；若 补充条件 AB=DC 或 AF=DE，也可用 AAS 证明△ABF≌△DCE． 【解答】解：要使△ABF≌△DCE， 而已知∠A=∠D，∠B=∠C， 若添加 BF=CE 或 AF=DE，可用 AAS 证明△ABF≌△DCE； 若添加 AB=CD 可用 ASA 证明△ABF≌△DCE． 故填空答案：BE=CF（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法， 找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可 14．在平面直角坐标系中，点 A（﹣3，4）在第 二 象限． 【考点】点的坐标． 【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限． 【解答】解：∵所给点的横坐标是﹣3 为负数，纵坐标是 4 为正数， ∴点（﹣3，4）在第二象限， 故答案为：二． 【点评】本题主要考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（﹣，+）的点在第 二象限． 15．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50°，D 是 BC 边的中点，连接 AD，则∠BAD= 25° ．【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【解答】解：∵AB=AC，D 是 BC 边的中点， ∴∠BAD= =25°． 故答案为：25° 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质得出 ∠BAD= ． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1，把该矩形绕点 A 顺时针旋转α度得矩形 AB′C′D′， 点 C′落在 AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ． 【考点】旋转的性质；矩形的性质；扇形面积的计算． 【专题】几何图形问题． 【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出 S△AB′C′，S 扇形 BAB′，即可得出阴影部分面积． 【解答】解：∵在矩形 ABCD 中，AB= ，AD=1， ∴tan∠CAB= = ，AB=CD= ，AD=BC=1， ∴∠CAB=30°， ∴∠BAB′=30°， ∴S△AB′C′= ×1× = ， S 扇形 BAB′= = ， S 阴影=S△AB′C′﹣S 扇形 BAB′= ﹣ ． 故答案为： ﹣ ．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，得出旋转角 的度数是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣4cos30°+（ 2016 ﹣1）0﹣（ ）﹣1． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用 零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3 ﹣2 +1﹣2= ﹣1． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中 a=1，b=2． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题． 【分析】原式利用平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=a2﹣b2+ab+2b2﹣b2=a2+ab， 当 a=1，b=2 时，原式=1+2=3． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． （1）尺规作图：作∠BAD 的角平分线交 DC 的延长线于 E 点（不要求写作法，但要保留作 图痕迹）； （2）求证：BE=DC． 【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图． 【分析】（1）由角平分线的作法容易得出∠BAD 的平分线； （2）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB=DC，得出∠DAE=∠BEA，由角平分线得出 ∠BAE=∠DAE，得出∠BEA=∠BAE，证出 AB=BE，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图所示：AE 即为所求； （2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=DC，∴∠DAE=∠BEA， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴AB=BE， ∴BE=DC． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌 握平行四边形的性质和角平分线的作法是解决问题的关键． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为了了解某市九年级学生的体育成绩（成绩均为整数），随机抽取了部分学生的体育成 绩并分段（A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5） 统计，得到统计图、表如下． 分数段 A B C D E 合计 频数/人 12 36 84 b 48 c 频率 0.05 a 0.35 0.25 0.20 1 根据上面的信息，回答下列问题： （1）统计表中，a= 0.15 ，b= 60 ，c= 240 ；将统计图补充完整． （2）小明说：“这组数据的众数一定在 C 中．”你认为小明的说法正确吗？ 错误 （选填“正 确”或“错误”）． （3）若成绩在 27 分以上定为优秀，则该市 48 000 名九年级学生中体育成绩为优秀的学生 人数约有多少？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；众数． 【分析】（1）根据 A 组有 12 人，对应的频率是 0.05 即可求得总人数，然后根据百分比的意 义求得 a、b 的值，进而补全直方图； （2）根据众数的定义，以及每组中包含的整数只有两个即可作出判断； （3）利用总人数 48000 乘以对应的频率即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是 c=12÷0.05=240（人）， 则 a= =0.15，b=240×0.25=60， ； （2）C 组数据范围是 24.5～26.5，由于成绩均为整数，所以 C 组的成绩为 25 与 26，虽然 C 组人数最多，但是 25 或 26 的人数不一定最多． 故答案是：错误； （3）48 000×（0.25+0.20）=21 600（人）， 即该市 48 000 名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有 21 600 人． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取 信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21．如图，位于 A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东 68°方向的 B 处有一艘渔船遇险，在 原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东 30°相距 20 海里的 C 处救生船，并通知 救生船，遇险船在它的正东方向 B 处，现救生船沿着航线 CB 前往 B 处救援，若救生船的 速度为 20 海里/时，请问：救生船到达 B 处大约需要多长时间？（结果精确到 0.1 小时：参 考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】行程问题． 【分析】延长 BC 交 AN 于点 D，则 BC⊥AN 于 D．先解 Rt△ACD，求出 CD= AC=10， AD= CD=10 ，再解 Rt△ABD，得到∠B=22°，AB= ≈46.81，BD=AB•cos∠B≈43.53，则 BC=BD﹣CD≈33.53，然后根据时间=路程÷速度即可求出救生船 到达 B 处大约需要的时间． 【解答】解：如图，延长 BC 交 AN 于点 D，则 BC⊥AN 于 D． 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°， ∴CD= AC=10，AD= CD=10 ． 在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°， ∴∠B=22°， ∴AB= ≈ ≈46.81， BD=AB•cos∠B≈46.81×0.93=43.53， ∴BC=BD﹣CD=43.53﹣10=33.53， ∴救生船到达 B 处大约需要：33.53÷20≈1.7（小时）． 答：救生船到达 B 处大约需要 1.7 小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形， 进而求出 BC 的长度是解题的关键． 22．已知关于 x 的方程 （1﹣a）x2+x+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为 2，求 a 的值及另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有实数根． 【考点】根的判别式；一元一次方程的解；一元二次方程的解． 【分析】（1）把 x=2 代入方程，求出 a 的值，再解方程求出另一根； （2）分 a=1 和 a≠1 两种情况讨论方程根的情况即可． 【解答】（1）解：将 x=2 代入方程（1﹣a）x2+x+a﹣2=0，得 4（1﹣a）+2+a﹣2=0，解得 a= ． ∴方程为﹣ x2+x﹣ =0，解得 x1=1，x2=2． 所以方程的另一根为 1． （2）证明：①当 a=1 时，方程为 x+1﹣2=0，解得 x=1． ②当 a≠1 时，方程是一元二次方程， ∵△=12﹣4（1﹣a）（a﹣2）=（2a﹣3）2≥0， ∴方程有实数根． 综上所述，不论 a 取何实数，该方程都有实数根．【点评】本题主要考查了根的判别式以及方程的解的知识，解答本题的关键是关键是掌握根 的判别式的意义，注意要对方程进行分类讨论，此题难度不大． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．观察下列等式： 第一个等式：a1= = ﹣ ； 第二个等式：a2= = ﹣ ； 第三个等式：a3= = ﹣ ； 第四个等式：a4= = ﹣ ． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an= = ﹣ ； （2）式子 a1+a2+a3+…+a20= ﹣ ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型． 【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系即可； （2）利用各数据的关系，相加后合并即可． 【解答】解：（1）an= = ﹣ ； （2）a1+a2+a3+…+a20= ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ ． 故答案为 ， ﹣ ； ﹣ ． 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备 的基本能力．本题的关键规律是分子分母中的数与序号数的关系． 24．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于 E． （1）求证：点 E 是边 BC 的中点；（2）当以点 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC 是等腰直角三角形； （3）求证：4DE2=BD•BA． 【考点】切线的性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）利用 EC 为⊙O 的切线，ED 也为⊙O 的切线可求 EC=ED，再求得 EB=EC， EB=ED 可知点 E 是边 BC 的中点； （2）当四边形 ODEC 为正方形时，∠OCD=45°，由于 AC 为直径得到∠ADC=90°，于是得 到∠A=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°，根据∠ACB=90°，于是得到结论△ABC 是等腰直角 三角形； （3）由 AC 是⊙O 是直径，得到 CD⊥AB，由于∠ACB=90°，证得△BCD∽△BAC，得到 ，即 BC2=BD•BA，由（1）可知 BC=2DE，即可得到结论． 【解答】证明：（1）连接 OD， ∵DE 为切线， ∴∠EDC+∠ODC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECD+∠OCD=90°， 又∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠EDC=∠ECD， ∴EC=ED， ∵AC 为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°． ∴∠B=∠BDE， ∴ED=EB． ∴EB=EC， 即点 E 是边 BC 的中点， （2）当四边形 ODEC 为正方形时，∠OCD=45°， ∵AC 为直径∴∠ADC=90°， ∴∠A=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°， 又∵∠ACB=90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形； （3）∵AC 是⊙O 是直径， ∴CD⊥AB， ∵∠ACB=90°， ∴△BCD∽△BAC，∴ ，即 BC2=BD•BA， 由（1）可知 BC=2DE， ∴4DE2=BD•BA． 【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或 论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的两个顶点分别是 C（3，0），E（0，4）．点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B．连接 EC，AC．点 P，Q 为动点，设运动时间为 t s． （1）填空：点 A 的坐标为 （1，4） ；抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3 ． （2）在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以每秒 1 个单位的速度运动，同时，点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以每秒 2 个单位的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点 随之停止运动．当 t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？ （3）在图 2 中，若点 P 在对称轴 x=1 上从点 A 开始向点 B 以每秒 1 个单位的速度运动，过 点 P 作 PF⊥AB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ， CQ．当 t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？ 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由矩形的性质可直接求得 A 点坐标，可设顶点式方程，把 C 点坐标代入可求 得抛物线的解析式； （2）可求得 CE 的长，用 t 可分别表示出 OC、CE 的长，分∠QPC=90°和∠PQC=90°，分别 根据∠QCP= 可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值； （3）先求得直线 AC 的解析式，可分别用 t 表示出 P 点和 Q 点的坐标，从而可求得 FQ 的 长，可用 t 表示出△ACQ 的面积，再根据二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为 x=1，∴OB=1， ∵E 点坐标为（0，4）， ∴AB=OE=4， ∴A 点坐标为（1，4）， 可设抛物线解析式为 y=a（x﹣1）2+4， 把（3，0）代入可解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3， 故答案为：（1，4）；y=﹣x2+2x+3； （2）依题意，有 OC=3，OE=4， ∴CE= = =5． 当∠QPC=90°时， ∵cos∠QCP = ，∴ = ，解得 t= ． 当∠PQC=90°时，∵cos∠QCP= = ，∴ = ，解得 t= ． ∴当 t= 或 t= 时，△PCQ 为直角三角形； （3 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 把 A、C 两点坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣2x+6． ∵P（1，4﹣t）， ∴将 y=4﹣t 代入 y=﹣2x+6 中，得 x=1+ ， ∴Q 点的横坐标为 1+ ． 将 x=1+ 代入 y=﹣（x﹣1）2+4 中，得 y=4﹣ ， ∴Q 点的纵坐标为 4﹣ ． ∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ． ∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ= FQ•AG+ FQ•DG= FQ（AG+DG）= FQ•AD = ×2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1． ∴当 t=2 时，△ACQ 的面积最大，最大值是 1． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、勾股定理、 二次函数的性质等知识点．在（1）中确定出 A 点坐标是解题的关键，在（2）中注意分 ∠QPC=90°和∠PQC=90°两种情况，在（3）中用 t 表示出 QF 是解题的关键．本题考查知识 点较多，综合性较强，难度较大．