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2016 年广东省中考数学模拟试卷（1） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.如图是一张关于 340 万年前地球表层的照片，340 万用科学记数法表示为（ ） A．3.40×102 B．340×104 C．3.40×104 D．3.40×106 2．如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．下列各数中，3.14159， ，0.131131113…（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1 个）， ﹣π， ， ，无理数的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．数据：2，5，4，5，3，4，4 的众数与中位数分别是（ ） A．4，3 B．4，4 C．3，4 D．4，5 5．如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C 的度数是（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 6．已知点 P（1，﹣3）在反比例函数 y= （k≠0）的图象上，则 k 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 7．如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ADF≌△CBE 的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC8．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队预计在 2012﹣2013 赛季全部 32 场比赛中最少得到 48 分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将 要举行的比赛中胜 x 场，要达到目标，x 应满足的关系式是（ ） A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48 9．已知⊙O 的半径是 6，点 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 10．如图，DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 S△CEF：S 四边形 BCED 的值为（ ） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．分解因式：x2y﹣y= ． 12．式子 有意义，则 x 的取值范围是 ． 13．点 A（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 ． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，CD 是 AB 边上的中线，则 CD 的长是 ． 15．如图，将等边△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得△ACD，BC 的 中点 E 的对应点为 F，则∠EAF 的度数是 ． 16．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1cm，则中间阴影部分的面积为 cm2．三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算：﹣2sin30°﹣（﹣ ）﹣1+（ ﹣π）0+ +（﹣1）2016﹣|﹣1|． 18．解方程： =1． 19．如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线． （1）作 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F，垂足为点 O（要求用尺规作图， 保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：DE=BF． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透 明口袋中放入编号分别为 1、2、3 的三个红球及编号为 4 的一个白球，四个小球除了颜色和 编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个 球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球， 如果甲摸出的两个球都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分，如果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则乙得 0 分，得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率； （2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？21．如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD． （1）求证：△ABD≌△CDB； （2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数． 22．“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，我国政府迅速派出了舰船和飞机到相关 海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点 A 处测得前方海面的点 F 处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为 30°．为了便于观察，飞机继 续向前飞行了 800m 到达 B 点，此时测得点 F 的俯角为 45°．请你计算当飞机飞临 F 点的正 上方点 C 时（点 A，B，C 在同一直线上），竖直高度 CF 约为多少米？（结果保留整数．参 考数据： ≈1.7） 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（m，6），B（3，n） 两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 的 x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．24．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 m∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC， 交直线 m 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE． （1）CE=AD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？（不需要证明） 25．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm，AC=24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2mm/s 的速度移动，动点 D 从点 A 开始沿边 AC 以 4mm/s 的速度移动．过点 D 作 QD∥AB 交 BC 于 Q，设 P，D 两点从点 A 同时出发，运动时间为 ts． （1）是否存在 t 值，使四边形 APQD 为平行四边形？若存在，求出 t 值；若不存在，说明 理由． （2）当 t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？ （3）是否存在 t 值，使四边形 APQD 为菱形？若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由， 并探究如何改变 D 点的运动速度（匀速运动），使四边形 APQD 在某一时刻为菱形，求点 D 的速度及 t 值．2016 年广东省中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.如图是一张关于 340 万年前地球表层的照片，340 万用科学记数法表示为（ ） A．3.40×102 B．340×104 C．3.40×104 D．3.40×106 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 340 万用科学记数法表示为：3.40×106． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2．如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【专题】常规题型． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看可得到一行正方形的个数为 3， 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3．下列各数中，3.14159， ，0.131131113…（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1 个）， ﹣π， ， ，无理数的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】无理数． 【专题】常规题型． 【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数． 【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方 开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 4．数据：2，5，4，5，3，4，4 的众数与中位数分别是（ ） A．4，3 B．4，4 C．3，4 D．4，5 【考点】众数；中位数． 【分析】根据众数及中位数的定义，求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5， ∴众数是 4，中位数是 4． 故选：B． 【点评】本题考查了众数及中位数的知识．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 如果数据个数是奇数，则最中间的那个数是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则最 中间两个数的平均数是这组数据的中位数． 5．如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C 的度数是（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】根据平行线性质求出∠D，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD， 代入求出即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠D=∠A=20°， ∵∠COD=100°， ∴∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=60°， 故选 C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，关键是求出∠D 的度数和 得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD． 6．已知点 P（1，﹣3）在反比例函数 y= （k≠0）的图象上，则 k 的值是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】把点 P（1，﹣3）代入反比例函数 y= ，求出 k 的值即可． 【解答】解：∵点 P（1，﹣3）在反比例函数 y= （k≠0）的图象上， ∴﹣3= ，解得 k=﹣3． 故选 B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式． 7．如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ADF≌△CBE 的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 【考点】全等三角形的判定． 【分析】求出 AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， A、∵在△ADF 和△CBE 中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； B、根据 AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB 不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正 确； C、∵在△ADF 和△CBE 中 ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADF 和△CBE 中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选 B． 【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理 有 SAS，ASA，AAS，SSS． 8．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队预计在 2012﹣2013 赛季全部 32 场比赛中最少得到 48 分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将 要举行的比赛中胜 x 场，要达到目标，x 应满足的关系式是（ ） A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式． 【分析】这个队在将要举行的比赛中胜 x 场，则要输（32﹣x）场，胜场得分（2x）分，输 场得分（32﹣x）分，根据胜场得分+输场得分≥48 可得不等式． 【解答】解：这个队在将要举行的比赛中胜 x 场，则要输（32﹣x）场，由题意得： 2x+（32﹣x）≥48， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出胜场得分和输场 得分． 9．已知⊙O 的半径是 6，点 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据圆 O 的半径和圆心 O 到直线 l 的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离： d＞r；即可选出答案． 【解答】解：∵⊙O 的半径为 6，圆心 O 到直线 l 的距离为 5， ∵6＞5，即：d＜r， ∴直线 L 与⊙O 的位置关系是相交． 故选；C． 【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行 判断是解此题的关键． 10．如图，DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 S△CEF：S 四边形 BCED 的值为（ ） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】先利用 SAS 证明△ADE≌△CFE（SAS），得出 S△ADE=S△CFE，再由 DE 为中位线， 判断△ADE∽△ABC，且相似比为 1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到 S△ADE： S△ABC=1：4，则 S△ADE：S 四边形 BCED=1：3，进而得出 S△CEF：S 四边形 BCED=1：3． 【解答】解：∵DE 为△ABC 的中位线， ∴AE=CE． 在△ADE 与△CFE 中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴S△ADE=S△CFE． ∵DE 为△ABC 的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为 1：2， ∴S△ADE：S△ABC=1：4， ∵S△ADE+S 四边形 BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S 四边形 BCED=1：3， ∴S△CEF：S 四边形 BCED=1：3． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利 用中位线判断相似三角形及相似比． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．分解因式：x2y﹣y= y（x+1）（x﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解． 【分析】观察原式 x2y﹣y，找到公因式 y 后，提出公因式后发现 x2﹣1 符合平方差公式，利 用平方差公式继续分解可得． 【解答】解：x2y﹣y， =y（x2﹣1）， =y（x+1）（x﹣1）， 故答案为：y（x+1）（x﹣1）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公 因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．式子 有意义，则 x 的取值范围是 x＞1 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣1＞0， 解得 x＞1． 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 13．点 A（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 （﹣2，﹣3） ． 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答． 【解答】解：点 A（﹣2，3）关于 x 轴的对称点 A′的坐标为（﹣2，﹣3）， 故答案为：（﹣2，﹣3）． 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐 标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标 相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，CD 是 AB 边上的中线，则 CD 的长是 5 ．【考点】直角三角形斜边上的中线；含 30 度角的直角三角形． 【分析】先根据含 30°的直角三角形的性质得出 AB=10，再根据直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半可得 CD= AB． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5， ∴AB=10， ∵∠ACB=90°，CD 是 AB 边上的中线， ∴CD= AB= ×10=5． 故答案为：5 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关 键． 15．如图，将等边△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得△ACD，BC 的 中点 E 的对应点为 F，则∠EAF 的度数是 60° ． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF 的度数． 【解答】解：∵将等边△ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得△ACD， BC 的中点 E 的对应点为 F， ∴旋转角为 60°，E，F 是对应点， 则∠EAF 的度数为：60°． 故答案为：60°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键． 16．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1cm，则中间阴影部分的面积为 4﹣π cm2． 【考点】扇形面积的计算；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题． 【分析】根据题意可知图中阴影部分的面积=边长为 2 的正方形面积﹣一个圆的面积． 【解答】解：∵半径为 1cm 的四个圆两两相切， ∴四边形是边长为 2cm 的正方形，圆的面积为πcm2， 阴影部分的面积=2×2﹣π=4﹣π（cm2）， 故答案为：4﹣π． 【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系和扇形的面积公式．本题的解题关键是能看出阴 影部分的面积为边长为 2 的正方形面积减去 4 个扇形的面积（一个圆的面积）． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算：﹣2sin30°﹣（﹣ ）﹣1+（ ﹣π）0+ +（﹣1）2016﹣|﹣1|． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第 三项利用零指数幂法则计算，第四项利用立方根定义计算，第五项利用乘方的意义化简，最 后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣2× ﹣（﹣3）+1+2+1﹣1 =﹣1+3+1+2+1﹣1 =5． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．解方程： =1． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1， 去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1， 解得：x=﹣3， 经检验 x=﹣3 是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为 整式方程求解． 19．如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线．（1）作 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F，垂足为点 O（要求用尺规作图， 保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求证：DE=BF． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出直线 EF 即可； （2）利用全等三角形的判定方法 SAS 得出△DEO≌△BFO 进而求出即可． 【解答】（1）解：如图所示：EF 即为所求； ； （2）证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD∥BC． ∴∠ADB=∠CBD． ∵EF 垂直平分线段 BD，∴BO=DO． 在△DEO 和△BFO 中， ∵ ， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴DE=BF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的作法，正确掌握全 等三角形的判定方法是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透 明口袋中放入编号分别为 1、2、3 的三个红球及编号为 4 的一个白球，四个小球除了颜色和 编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个 球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球， 如果甲摸出的两个球都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分，如果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则乙得 0 分，得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率； （2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意列出表格或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与甲得 1 分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平． 【解答】解：（1）列表得： 1 2 3 4 1 ﹣ 1 分 1 分 0 分 2 1 分 ﹣ 1 分 0 分 3 1 分 1 分 ﹣ 0 分 4 0 分 0 分 0 分 ﹣ 画树状图得： ∴P（甲）= = （2）不公平． ∵P（乙）= ∴P（甲）≠P（乙）， ∴不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率 相等就公平，否则就不公平． 21．如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD，BC，BD． （1）求证：△ABD≌△CDB； （2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数． 【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据 AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据 HL 定理得出 Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由 BE 是切线，得 AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由 OA=OD，得出∠ADC 的度数． 【解答】（1）证明：∵AB，CD 是直径， ∴∠ADB=∠CBD=90°， 在 Rt△ABD 和 Rt△CDB 中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）； （2）解：∵BE 是切线， ∴AB⊥BE， ∴∠ABE=90°， ∵∠DBE=37°， ∴∠ABD=53°， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°， ∴∠ADC 的度数为 37°． 【点评】本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大． 22．“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，我国政府迅速派出了舰船和飞机到相关 海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点 A 处测得前方海面的点 F 处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为 30°．为了便于观察，飞机继 续向前飞行了 800m 到达 B 点，此时测得点 F 的俯角为 45°．请你计算当飞机飞临 F 点的正 上方点 C 时（点 A，B，C 在同一直线上），竖直高度 CF 约为多少米？（结果保留整数．参 考数据： ≈1.7） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】易得 BC=CF，那么利用 30°的正切值即可求得 CF 长． 【解答】解：∵∠BCF=90°，∠FBC=45°， ∴BC=CF， ∵∠CAF=30°， ∴tan 30°= ， 解得 CF= ≈1046（m）． 答：竖直高度 CF 约为 1046 米． 【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角 形．注意方程思想与数形结合思想的应用．五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 的图象交于 A（m，6），B（3，n） 两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出 的 x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 6m=6，3n=6，解得 m=1，n=2， 这样得到 A 点坐标为（1，6），B 点坐标为（3，2），然后利用待定系数求一次函数的解析 式； （2）观察函数图象找出反比例函数图象都在一次函数图象上方时 x 的取值范围； （3）先确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后利用 S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD 进行计算． 【解答】解：（1）分别把 A（m，6），B（3，n）代入 得 6m=6，3n=6， 解得 m=1，n=2， 所以 A 点坐标为（1，6），B 点坐标为（3，2）， 分别把 A（1，6），B（3，2）代入 y=kx+b 得 ， 解得 ， 所以一次函数解析式为 y=﹣2x+8； （2）当 0＜x＜1 或 x＞3 时， ； （3）如图，当 x=0 时，y=﹣2x+8=8，则 C 点坐标为（0，8）， 当 y=0 时，﹣2x+8=0，解得 x=4，则 D 点坐标为（4，0）， 所以 S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD = ×4×8﹣ ×8×1﹣ ×4×2 =8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点 坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 24．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 m∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC， 交直线 m 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE． （1）CE=AD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？（不需要证明） 【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）首先由已知直线 m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由 DE⊥BC，得 DE∥AC， 推出∠EDC=∠ACD，CD 为公共边，所以推出 △EDC≌△ADC，得证． （2）首先由 D 是 AB 中点和（1）证得 DE∥AC，得 F 为 BC 中点，即 BF=CF，再由已知 证△BFD≌△CFE，则 DF=EF，已知 DE⊥BC，所以 BC 和 DE 垂直且互相平分，故得四边 形 BECD 是菱形． （3）由四边形 BECD 是正方形可推出∠ABC=45°，即得∠A=45°． 【解答】（1）证明：∵直线 m∥AB， ∴∠ECD=∠ADC， 又∵∠ACB=90°，DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD，CD 为公共边， ∴△EDC≌△ADC， ∴CE=AD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是菱形． 证明：D 是 AB 中点，DE∥AC（已证） ∴F 为 BC 中点，即 BF=CF， ∵直线 m∥AB ∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE， ∴DF=EF，已知 DE⊥BC， 所以 BC 和 DE 垂直且互相平分， 故四边形 BECD 是菱形． （3）当∠A 的大小是 45°时，四边形 BECD 是正方形． 【点评】此题考查的知识点是正方形、菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键 是（1）由已知证△EDC≌△ADC． （2）先证 F 是 BC 中点，再证△BFD≌△CFE，推出 BC 和 DE 垂直且互相平分．（3）由四 边形 BECD 是正方形推出∠A=45°． 25．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm，AC=24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2mm/s 的速度移动，动点 D 从点 A 开始沿边 AC 以 4mm/s 的速度移动．过点 D 作 QD∥AB 交 BC 于 Q，设 P，D 两点从点 A 同时出发，运动时间为 ts． （1）是否存在 t 值，使四边形 APQD 为平行四边形？若存在，求出 t 值；若不存在，说明 理由． （2）当 t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？ （3）是否存在 t 值，使四边形 APQD 为菱形？若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由， 并探究如何改变 D 点的运动速度（匀速运动），使四边形 APQD 在某一时刻为菱形，求点 D 的速度及 t 值． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由平行线得出比例式 ，得出 DQ=12﹣2t，当 DQ=AP 时，12﹣2t=2t， 解方程即可得出 t 的值； （2）由题意得出 PB=12﹣2t（mm），AD=4tmm，求出∠C=30°，得出 BC、CQ，求出 BQ， 当 PB=BQ 时，得出方程，解方程即可求出 t 的值； （3）由 AD=4t mm，AP=2t mm，AD≠AP，得出不存在 t 值，使四边形 APQD 为菱形；设 D 点的运动速度为 amm/s，由平行线得出比例式，得出 DQ，由 AP=AD=DQ，得出 2t=at=12 ﹣ ，求出 a、t 的值即可． 【解答】解：（1）存在，t=3；理由如下： ∵DQ∥AB， ∴△CDQ∽△CAB， ∴ ， 即 ， 解得：DQ=12﹣2t， 当 DQ=AP 时，四边形 APQD 是平行四边形，∴12﹣2t=2t， 解得：t=3； ∴t=3 时，四边形 APQD 是平行四边形； （2）根据题意得：PB=12﹣2t（mm），AD=4tmm， ∵∠B=90°，AB=12mm，AC=24mm， ∴∠C=30°， ∴BC= AB=12 ， ∵DQ∥AB， ∴∠DQC=90°， ∴CQ= DQ= （12﹣2t）， ∴BQ=BC﹣CQ=2 t， 当 PB=BQ 时，12﹣2t=2 t， 解得：t=3 ﹣3； ∴当 t=（3 ﹣3）s 时，△PBQ 为等腰三角形； （3）不存在． ∵AD=4t mm，AP=2t mm，AD≠AP， ∴不存在 t 值，使四边形 APQD 为菱形； 设 D 点的运动速度为 amm/s， ∵DQ∥AB， ∴ ， 即 ， 解得：DQ=12﹣ ， 当四边形 APQD 为菱形时，AP=AD=DQ， 即 2t=at=12﹣ ， 解得：a=2，t=4， ∴当 D 点的运动速度为 2mm/s 时，存在 t=4，使四边形 APQD 为菱形． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、三 角函数、菱形的性质、等腰三角形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过证明 三角形相似得出方程才能得出结果．