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2016 年广东省中考数学模拟试卷（7） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣32 的值是（ ） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程 x2+2x﹣4=0 的根的情况为（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中绝对值相等的点是（ ） A．点 A 与点 D B．点 A 与点 C C．点 B 与点 C D．点 B 与点 D 6．下列计算正确的是（ ） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．3a2+2a3=5a5 D．a6÷a3=a3 7．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 8．我校举行了“建设宜居中山，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 8 12 11 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A．70 分，80 分 B．80 分，80 分 C．90 分，80 分 D．80 分，90 分9．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC 等于（ ） A．60° B．50° C．45° D．30° 10．如图，已知直线 y=﹣x+2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与双曲线 y= 交于 E，F 两点，若 AB=2EF，则 k 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．a﹣4ab2 分解因式结果是 ． 12．地球上陆地的面积约为 149 000 000 平方千米，把数据 149 000 000 用科学记数法表示 为 ． 13．化简：（a﹣ ）÷（a﹣1）= ． 14．如图，DE 是△ABC 的中位线，若△ADE 的周长是 18，则△ABC 的周长是 ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接 AC、AD，若∠CAB=35°，则∠ADC 的度数为 度．16．如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角 度得到△ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 ． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： . 18．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=10 ． （1）用尺规作图作 BC 边上的高 AD（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）求∠BAC 的度数． 19．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队 单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天，那么剩下的工程还需要两队合做 20 天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．在一个不透明的口袋里有分别标注 2、4、6 的 3 个小球（小球除数字不同外，其余都相 同），另有 3 张背面完全一样、正面分别写有数字 6、7、8 的卡片．现从口袋中任意摸出一 个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． （1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； （2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则 1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢． 规则 2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢． 小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明理由．21．在▱ ABCD 中，AB=10，∠ABC=60°，以 AB 为直径作⊙O，边 CD 切⊙O 于点 E． （1）圆心 O 到 CD 的距离是 ． （2）求由弧 AE、线段 AD、DE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号） 22．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经 A、B、C、D 四地．如 图，其中 A、B、C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C 地北偏西 45°方 向．C 地在 A 地北偏东 75°方向．且 BC=CD=20m． （1）证明三角形 BCD 是等边三角形； （2）从 A 地跑到 D 地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°=0.65， cos15°=0.97，tan15°=0.27， ≈1.4） 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．下表给出了代数式 x2+bx+c 与 x 的一些对应值： x … 0 1 2 3 4 … x2+bx+c … 3 ﹣1 3 … （1）请在表内的空格中填入适当的数； （2）设 y=x2+bx+c，则当 x 取何值时，y＞0； （3）请说明经过怎样平移函数 y=x2+bx+c 的图象得到函数 y=x2 的图象？24．如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形 ABCD 的边 AB 上取一 点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数； （2）当折痕 MN 与对角线 AC 重合时，试求△MNK 的面积． （3）△MNK 的面积能否小于 0.5？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明理由． 25．如图，已知一次函数 y=﹣x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B． （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个 单位长的速度，沿 O﹣C﹣A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左 平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请 说明理由．2016 年广东省中考数学模拟试卷（7） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣32 的值是（ ） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【考点】有理数的乘方． 【分析】﹣32 表示 32 的相反数． 【解答】解：﹣32=﹣3×3=﹣9． 故选 D． 【点评】此题的关键是注意符号的位置，﹣32 表示 32 的相反数，底数是 3，不要与（﹣3） 2 相混淆． 2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【专题】常规题型． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的 概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找 对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 3．一元二次方程 x2+2x﹣4=0 的根的情况为（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式． 【分析】把 a=1，b=2，c=﹣4 代入判别式△=b2﹣4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方 程根的情况． 【解答】解：∵一元二次方程 x2+2x﹣4=0， ∴△=2﹣4（﹣4）=18＞0， ∴方程有两不相等实数根， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 4．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：A、正确，∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0； B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0； C、正确，∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，∴c＞0； D、错误，∵抛物线的对称轴在 x 的正半轴上，∴﹣ ＞0． 故选：D． 【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的 判别式的熟练运用． 5．数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中绝对值相等的点是（ ） A．点 A 与点 D B．点 A 与点 C C．点 B 与点 C D．点 B 与点 D 【考点】绝对值；数轴． 【分析】本题需先根据各点在数轴上表示得数，再根据绝对值的性质即可求出结果． 【解答】解：数轴上点 A，B，C，D 在数轴上表示的数是；A=﹣2，B=﹣1，C=1，D=3.5， ∴|B|=1，|C|=1， ∴绝对值相等的两个点是点 B 和点 C， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴的表示方法，在解题时要注意绝对值的性质是解题的关键． 6．下列计算正确的是（ ） A．（﹣a3）2=﹣a6 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．3a2+2a3=5a5 D．a6÷a3=a3 【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：A、（﹣a3）2=a6，故本选项错误； B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误； C、不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、a6÷a3=a3，故本选项正确． 故选 D．【点评】本题综合考查了积的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，是基础 题目，难度不大． 7．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【专题】探究型． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解： ，由①得，x＜0；由②得，x≤1， 故此不等式组的解集为：x＜0， 在数轴上表示为： 故选 B． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解 答此题的关键． 8．我校举行了“建设宜居中山，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 8 12 11 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A．70 分，80 分 B．80 分，80 分 C．90 分，80 分 D．80 分，90 分 【考点】众数；中位数． 【分析】先求出总人数，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【解答】解：∵总人数为：4+8+12+11+5=40（人）， ∴中位数为第 20 和 21 人的成绩的平均值， ∴中位数为（80+80）÷2=80， ∵成绩为 80 分的人数为 12 人，最多， ∴众数为 80， 故选：B． 【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据 按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就 是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据 的中位数． 9．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC 等于（ ）A．60° B．50° C．45° D．30° 【考点】全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角． 【分析】首先由已知可求得∠OAD 的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB 的 度数，然后其邻补角就可求出了． 【解答】解：∵在△AOD 中，∠O=50°，∠D=35°， ∴∠OAD=180°﹣50°﹣35°=95°， ∵在△AOD 与△BOC 中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O， ∴△AOD≌△BOC， 故∠OBC=∠OAD=95°， 在四边形 OBEA 中，∠AEB=360°﹣∠OBC﹣∠OAD﹣∠O， =360°﹣95°﹣95°﹣50°， =120°， 又∵∠AEB+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣120°=60°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；解题过程中用到了三角形、四边形的内角和 的知识，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识． 10．如图，已知直线 y=﹣x+2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与双曲线 y= 交于 E，F 两点，若 AB=2EF，则 k 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【专题】压轴题． 【分析】作 FH⊥x 轴，EC⊥y 轴，FH 与 EC 交于 D，先利用一次函数图象上点的坐标特征 得到 A（2，0），B（0，2），易得△AOB 为等腰直角三角形，则 AB= OA=2 ，所以 EF= AB= ，且△DEF 为等腰直角三角形，则 FD=DE= EF=1；设 F 点坐标为（t，﹣t+2）， 则 E 点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 t（﹣t+2）=（t+1） •（﹣t+1），解得 t= ，这样可确定 E 点坐标为（ ， ），然后根据反比例函数图象上点的 坐标特征得到 k= × ． 【解答】解：作 FH⊥x 轴，EC⊥y 轴，FH 与 EC 交于 D，如图， A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（0，2），OA=OB， ∴△AOB 为等腰直角三角形， ∴AB= OA=2 ， ∴EF= AB= ， ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴FD=DE= EF=1， 设 F 点横坐标为 t，代入 y=﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则 F 的坐标是：（t，﹣t+2），E 点坐 标为（t+1，﹣t+1）， ∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得 t= ， ∴E 点坐标为（ ， ）， ∴k= × = ． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k≠0） 的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．a﹣4ab2 分解因式结果是 a（1﹣2b）（1+2b） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解．【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解答】解：原式=a（1﹣4b2）=a（1﹣2b）（1+2b）， 故答案为：a（1﹣2b）（1+2b）． 【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．地球上陆地的面积约为 149 000 000 平方千米，把数据 149 000 000 用科学记数法表示为 1.49×108 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】计算题． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 149 000 000 用科学记数法表示为 1.49×108． 故答案为：1.49×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 13．化简：（a﹣ ）÷（a﹣1）= ． 【考点】分式的混合运算． 【分析】先计算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：原式=（ ﹣ ）÷（a﹣1）= ÷（a﹣1） = • = ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 14．如图，DE 是△ABC 的中位线，若△ADE 的周长是 18，则△ABC 的周长是 36 ． 【考点】三角形中位线定理． 【分析】根据三角形的中位线定理，易证明△ABC 的周长是△ADE 的周长的 2 倍． 【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线， ∴AD= AB，AE= AC，DE= BC． ∴△ABC 的周长是△ADE 的周长的 2 倍， 即△ABC 的周长=2×18=36．故答案是 36． 【点评】此题考查了三角形的中位线概念以及三角形的中位线定理． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接 AC、AD，若∠CAB=35°，则∠ADC 的度数为 55 度． 【考点】圆周角定理． 【专题】压轴题． 【分析】连接 BC，根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得∠ADC 的度数． 【解答】解：连接 BC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵∠CAB=35° ∴∠CBA=55° ∵∠ADC=∠CBA ∴∠ADC=55°． 故答案为：55． 【点评】此题考查圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等． 16．如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角 度得到△ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 1.5 ． 【考点】旋转的性质．【分析】由将△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落 在 BC 边上，可得 AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得 BD=AB=2， 则可求得答案． 【解答】解：由旋转的性质可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.5， ∴CD=BC﹣BD=3.5﹣2=1.5． 故答案为：1.5． 【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋 转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： 【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题． 【分析】分别根据二次根式、特殊角的三角函数值、0 指数幂、负整数指数幂的运算法则进 行计算即可． 【解答】解：原式= × +2﹣1 = +1 =2+1 =3． 【点评】本题考查的是次根式、特殊角的三角函数值、0 指数幂及负整数指数幂的运算，熟 知这些运算法则是解答此类题目的关键． 18．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=10 ． （1）用尺规作图作 BC 边上的高 AD（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）求∠BAC 的度数． 【考点】作图—复杂作图． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，作线段 BC 的垂直平分线，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质“三线和一”，可得 BD=CD= =5 ，∠BAC=2∠BAD，再 在直角三角形 ABD 中求出 cosB= ，根据三角函数值，可得∠B=30°，从而 ∠BAD=60°，所以∠BAC=2∠BAD=120°． 【解答】（1）如图所示：注：作 BC 边的中垂线或∠A 的角平分线都可以． （2）∵AB=AC AD 是 BC 边上的高， ∴BD=CD= =5 ，∠BAC=2∠BAD， 在直角三角形 ABD 中 cosB= ， ∴∠B=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BAC=2∠BAD=120°． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解决本题的关键是等腰三角形的性质． 19．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队 单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天，那么剩下的工程还需要两队合做 20 天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 【考点】分式方程的应用． 【专题】工程问题． 【分析】本题的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，根据题意可得出：甲队的总 工作量+乙队的总工作量=1，由此可列出方程求解． 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意得： ×20=1， 解之得：x=60， 经检验，x=60 是原方程的解． 答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为 60 天． （2）设两队合做完成这项工程所需的天数为 y 天， 根据题意得： y=1， 解之得：y=24． 答：两队合做完成这项工程所需的天数为 24 天． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，考查学生对方程知识的应用能力，属于中难度题． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．在一个不透明的口袋里有分别标注 2、4、6 的 3 个小球（小球除数字不同外，其余都相 同），另有 3 张背面完全一样、正面分别写有数字 6、7、8 的卡片．现从口袋中任意摸出一 个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片．（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； （2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则 1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢． 规则 2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢． 小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明理由． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】图表型． 【分析】（1）利用列表法或者画出树状图，然后写出所有的可能情况即可； （2）分别求出“至少有一次是“6””和“卡片上的数字是球上数字的整数倍”的概率，小红选择 自己获胜的概率比小莉获胜的概率大的一种规则即可在游戏中获胜． 【解答】解：（1）列表如下： 画树状图如下： 共有 9 种可能，分别是（2，6），（2，7），（2，8），（4，6），（4，7），（4，8），（6，6），（6， 7），（6，8）； （2）从图表或树状图可知，至少有一次是“6”的情况有 5 种， 所以，小红赢的概率是 P（至少有一次是“6”）= ， 小莉赢的概率是 ， ∵ ＞ ，∴此规则小红获胜的概率大， 卡片上的数字是球上数字的整数倍的有：（2，6）（2，8）（4，8）（6，6）共 4 种情况， 所以，小红赢的概率是 P（卡片上的数字是球上数字的整数倍）= ， 小莉赢的概率是 ， ∵ ＞ ，∴此规则小莉获胜的概率大， ∴小红要想在游戏中获胜，她应该选择规则 1． 【点评】本题考查了列表法或树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比．21．在▱ ABCD 中，AB=10，∠ABC=60°，以 AB 为直径作⊙O，边 CD 切⊙O 于点 E． （1）圆心 O 到 CD 的距离是 5 ． （2）求由弧 AE、线段 AD、DE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号） 【考点】切线的性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）连接 OE，则 OE 的长就是所求的量； （2）阴影部分的面积等于梯形 OADE 的面积与扇形 OAE 的面积的差． 【解答】解：（1）连接 OE． ∵边 CD 切⊙O 于点 E． ∴OE⊥CD 则 OE 就是圆心 O 到 CD 的距离，则圆心 O 到 CD 的距离是 ×AB=5． 故答案是：5； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形． ∴∠C=∠DAB=180°﹣∠ABC=120°， ∴∠BOE=360°﹣90°﹣60°﹣120°=90°， ∴∠AOE=90°， 作 EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°， 在直角三角形 OEF 中，OE=5， ∴OF=OE•tan30°= ．EC=BF=5﹣ ． 则 DE=10﹣5+ =5+ ， 则直角梯形 OADE 的面积是： （OA+DE）×OE= （5+5+ ）×5=25+ ． 扇形 OAE 的面积是： = ． 则阴影部分的面积是：25+ ﹣ ． 【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确作出辅助线，把阴影部分的面积转化为梯 形 OADE 的面积与扇形 OAE 的面积的差是解题的关键．22．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经 A、B、C、D 四地．如 图，其中 A、B、C 三地在同一直线上，D 地在 A 地北偏东 30°方向、在 C 地北偏西 45°方 向．C 地在 A 地北偏东 75°方向．且 BC=CD=20m． （1）证明三角形 BCD 是等边三角形； （2）从 A 地跑到 D 地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°=0.65， cos15°=0.97，tan15°=0.27， ≈1.4） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】（1）求出∠DCA 的度数，再判断出 BC=CD，据此即可判断出△BCD 是等边三角 形． （2）过点 B 作 BE 垂直于 AD，垂足为 E，求出∠DAC 的度数，判断出△BCD 是等边三角 形，再利用三角函数求出 AB 的长，从而得到 AB+BC+CD 的长． 【解答】（1）证明：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°， ∵BC=CD，∴△BCD 是等边三角形． （2）解：过点 B 作 BE 垂直于 AD，垂足为 E， 由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°， ∵△BCD 是等边三角形，∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20m， ∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，∴BE=sin15°BD≈0.65×20≈13m， ∴AB= =13 ≈1.4×13≈18m，∴AB+BC+CD≈18+20+20≈58m． 答：从 A 地跑到 D 地的路程 58m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直 角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．下表给出了代数式 x2+bx+c 与 x 的一些对应值： x … 0 1 2 34 … x2+bx+c … 3 ﹣ 1 3 … （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设 y=x2+bx+c，则当 x 取何值时，y＞0； （3）请说明经过怎样平移函数 y=x2+bx+c 的图象得到函数 y=x2 的图象？ 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式 （组）．【专题】图表型． 【分析】根据与 x 轴的交点坐标得到什么时候 y＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题， 只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 【解答】解：（1）这个代数式属于二次函数．当 x=0，y=3；x=4 时，y=3． 说明此函数的对称轴为 x=（0+4）÷2=2．那么﹣ =﹣ =2，b=﹣4，经过（0，3）， ∴c=3，二次函数解析式为 y=x2﹣4x+3， 当 x=1 时，y=0； 当 x=3 时，y=0．（每空 2 分）（4 分） （2）由（1）可得二次函数与 x 轴的交点坐标，由于本函数开口向上， 可根据与 x 轴的交点来判断什么时候 y＞0． 当 x＜1 或 x＞3 时，y＞0．（6 分） （3）由（1）得 y=x2﹣4x+3，即 y=（x﹣2）2﹣1．（7 分） 将抛物线 y=x2﹣4x+3 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位即得抛物线 y=x2．（9 分） 【点评】常由一些特殊点入与 y 轴的交点，对称轴等得到二次函数的解析式． 24．如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形 ABCD 的边 AB 上取一 点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数； （2）当折痕 MN 与对角线 AC 重合时，试求△MNK 的面积． （3）△MNK 的面积能否小于 0.5？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明理由． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN 的度数，根据三角形内角 和即可求解； （2）当折痕 MN 与对角线 AC 重合时，此时△AKC 为等腰三角形，设 MK=AK=CK=x，则 DK=5﹣x，在 Rt△ADK 中，根据勾股定理得：AD2+DK2=AK2， 即 12+（5﹣x）2=x2，求得 x=2.6，所以 MK=AK=CK=2.6，根据三角形面积公式即可解答； （3）不能，过 M 点作 ME⊥DN，垂足为 E，通过证明 NK＞1，由三角形面积公式可得△MNK 的面积不可能小于 0.5． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1， ∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN， ∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°，∴∠MKN=40°； （2）如图 1，折痕即为 AC，此时△AKC 为等腰三角形， 设 MK=AK=CK=x，则 DK=5﹣x， 在 Rt△ADK 中，根据勾股定理得：AD2+DK2=AK2， 即 12+（5﹣x）2=x2， 解得：x=2.6， ∴MK=AK=CK=2.6， ∴△MNK 的面积的为 1.3． （3）不能，如图 2， 理由如下：过 M 点作 AE⊥DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1， 由（1）知，∠KNM=∠KMN， ∴MK=NK， 又∵MK≥ME，ME=AD=1，∴MK≥1， 又∵ ，即△MNK 面积的最小值为 ，不可能小于 0.5． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用翻折变换的性 质得到相等的角，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想． 25．如图，已知一次函数 y=﹣x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B． （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个 单位长的速度，沿 O﹣C﹣A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左 平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请 说明理由．【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线 解析式联立即可得出交点坐标； （2）①利用 S 梯形 ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，表示出各部分的边长，整理出一元二 次方程，求出即可； ②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN=∠ONB=45°，进而利用勾股定理以及等腰三 角形的性质和直角三角形的判定求出即可． 【解答】解：（1）∵一次函数 y=﹣x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于 点 B． ∴ ，解得： ，∴A 点坐标为：（3，4）； ∵y=﹣x+7=0，解得：x=7，∴B 点坐标为：（7，0）． （2）①当 P 在 OC 上运动时，0≤t＜4 时，PO=t，PC=4﹣t，BR=t，OR=7﹣t， ∵当以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8， ∴S 梯形 ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8， ∴ （AC+BO）×CO﹣ AC×CP﹣ PO×RO﹣ AM×BR=8， ∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16， ∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t=16，∴t2﹣8t+12=0，解得：t1=2，t2=6（舍去）， 当 t=4 时，无法构成三角形， 当 4＜t＜7 时，S△APR= AP×OC=2（7﹣t）=8，解得 t=3，不符合 4＜t＜7； 综上所述，当 t=2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8； ②存在．延长 CA 到直线 l 交于一点 D，当 l 与 AB 相交于 Q， ∵一次函数 y=﹣x+7 与 x 轴交于（7，0）点，与 y 轴交于（0，7）点，∴NO=OB， ∴∠OBN=∠ONB=45°， ∵直线 l∥y 轴，∴RQ=RB，CD⊥L， 当 0≤t＜4 时，如图 1，RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4﹣t），AC=3，PC=4﹣t， ∵以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则 AP=AQ， ∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2， ∴9+（4﹣t）2=2（4﹣t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去）， 当 AP=PQ 时 32+（4﹣t）2=（7﹣t）2， 解得 t=4 （舍去）当 PQ=AQ 时，2（4﹣t）2=（7﹣t）2， 解得 t1=1+3 （舍去），t2=1﹣3 （舍去）， 当 t=4 时，无法构成三角形， 当 4＜t＜7 时，如图（备用图），过 A 作 AD⊥OB 于 D，则 AD=BD=4， 设直线 l 交 AC 于 E，则 QE⊥AC，AE=RD=t﹣4，AP=7﹣t， 由 cos∠OAC= = ，得 AQ= （t﹣4）， 若 AQ=AP，则 （t﹣4）=7﹣t，解得 t= ， 当 AQ=PQ 时，AE=PE，即 AE= AP， 得 t﹣4= （7﹣t）， 解得：t=5， 当 AP=PQ 时，过 P 作 PF⊥AQ 于 F， AF= AQ= × （t﹣4）， 在 Rt△APF 中，由 cos∠PAF= = ， 得 AF= AP， 即 × （t﹣4）= （7﹣t）， 解得：t= ， 综上所述，当 t=1、5、 、 秒时，存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形 的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是 解决问题的关键．