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2016 年广东省中考数学模拟试卷（5） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有 一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A．a4+a2=a6 B．2a•4a=8a C．a5÷a2=a3 D．（a2）3=a5 3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路” 地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010 4．若 m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n 的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．一组数据 3，x，4，5，8 的平均数为 5，则这组数据的众数、中位数分别是（ ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8 6．闹元宵吃汤圆是我国的传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有 4 个花生 味和 2 个芝麻味，小明从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是（ ） A． B． C． D． 7．如图，把一块含有 45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么 ∠2 的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．如图，在▱ ABCD 中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则 AD 的长为（ ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 9．如果等腰三角形的两边长分别是方程 x2﹣10x+21=0 的两根，那么它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13 或 17 10．如图，已知矩形 OABC，A（4，0），C（0，4），动点 P 从点 A 出发，沿 A﹣B﹣C﹣O 的路线勻速运动，设动点 P 的运动路程为 t，△OAP 的面积为 S，则下列能大致反映 S 与 t 之间关系的图象是（ ）A． B． C． D． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题 卡相应的位置上． 11．因式分解：x3﹣9x= ． 12．已知 ，则 ab= ． 13．不等式组 的解集为 ． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=1.5，那么 BC= ． 15．如图，AC 是⊙O 的切线，BC 是直径，AB 交⊙O 于点 D，∠A=50°，那么∠COD= ． 16．如图矩形 ABCD 中，AB=1，AD= ，以 AD 的长为半径的⊙A 交 BC 于点 E，则图中 阴影部分的面积为 ． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ． 18．先化简，再求值： ，再选择一个使原式有意义的 x 代入求值．19．如图，已知△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 BC=CD （1）用尺规作出∠ACB 的平分线 CP（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中，设 CP 与 AB 相交于点 E，连接 DE，求证：BE=DE． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2﹣k=0 有两个不相等的实数根． （1）求实数 k 的取值范围； （2）0 可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 21．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂 直）1.2 米．试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米）．22．某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图 1 和图 2 是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）该校随机抽查了 名学生； （2）将图 1 补充完整；在图 2 中，“视情况而定”部分所占的圆心角是 度； （3）估计该校 2600 名学生中采取“马上救助”的方式约有 人. 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，已知正比例函数 y= x 与反比例函数 y= （k＞0）的图象交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求 k 的值； （2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围； （3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （k＞0）于 P、Q 两点（P 点在第一象限），若 由点 A、P、B、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 12% A B C D A：迅速离开 B：马上救助 C：视情况而定 D：只看热闹 图 2图 1 16 120 24 0 40 80 120 A B C D 人数 处理方式24．已知：如图，在△ABC 中，BC=AC，以 BC 为直径的⊙O 与边 AB 相交于点 D，DE⊥AC， 垂足为点 E． （1）求证：点 D 是 AB 的中点； （2）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）若⊙O 的直径为 18，cosB= ，求 DE 的长． 25．如图，抛物线 y= ﹣x﹣4 与坐标轴相交于 A、B、C 三点，P 是线段 AB 上一动点（端 点除外），过 P 作 PD∥AC，交 BC 于点 D，连接 CP． （1）直接写出 A、B、C 的坐标； （2）求抛物线 y= ﹣x﹣4 的对称轴和顶点坐标； （3）求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值时，以 PA、PD 为邻边的平 行四边形是否为菱形．2016 年广东省中考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有 一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【考点】相反数． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣2 的相反数是：﹣（﹣2）=2， 故选 A 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正 数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．不要把相反数的意义与倒 数的意义混淆． 2．下列计算正确的是（ ） A．a4+a2=a6 B．2a•4a=8a C．a5÷a2=a3 D．（a2）3=a5 【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方． 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则求出即可． 【解答】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误； B、2a•4a=8a2， C、a5÷a2=a3，正确； D、（a2）3=a6，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则等知识，正确 掌握运算法则是解题关键． 3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路” 地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为（ ） A．44×108 B．4.4×109 C．4.4×108 D．4.4×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：4 400 000 000=4.4×109， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．若 m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n 的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【考点】代数式求值．【专题】整体思想． 【分析】把（m﹣n）看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵m﹣n=﹣1， ∴（m﹣n）2﹣2m+2n=（m﹣n）2﹣2（m﹣n）， =（﹣1）2﹣2×（﹣1）， =1+2， =3． 故选 D． 【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键． 5．一组数据 3，x，4，5，8 的平均数为 5，则这组数据的众数、中位数分别是（ ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．5，8 【考点】众数；算术平均数；中位数． 【分析】先根据平均数的定义求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数 的平均数和出现次数最多的数即可． 【解答】解：∵3，x，4，5，8 的平均数为 5， ∴（3+x+4+5+8）÷5=5， 解得：x=5， 把这组数据从小到大排列为 3，4，5，5，8， ∴这组数据的中位数，5， ∵5 出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 5； 故选 B． 【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列 后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据 中出现次数最多的数． 6．闹元宵吃汤圆是我国的传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有 4 个花生 味和 2 个芝麻味，小明从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】先求出所有汤圆的个数，由花生味汤圆为 4 个，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：∵一碗汤圆，其中有 4 个花生味和 2 个芝麻味， ∴从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是： = ． 故选：D． 【点评】此题考查了概率公式的应用，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相 同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 7．如图，把一块含有 45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么 ∠2 的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】平行线的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可． 【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°， ∴∠3=∠1=20°， ∴∠2=45°﹣20°=25°． 故选：C． 【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 8．如图，在▱ ABCD 中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则 AD 的长为（ ） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由平行四边形 ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得 OA=OC，OB=OD， 又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得 AD 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm ∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm， ∵∠ODA=90°， ∴AD= =4cm． 故选 A． 【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾 股定理的应用． 9．如果等腰三角形的两边长分别是方程 x2﹣10x+21=0 的两根，那么它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13 或 17 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【分析】首先求出方程 x2﹣10x+21=0 的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出 它的周长． 【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是方程 x2﹣10x+21=0 的两根， ∴方程 x2﹣10x+21=0 的两个根分别是 x1=3，x2=7，∴等腰三角形的腰长为 7，底边长为 3， ∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17． 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系的知识，解答本题 的关键是掌握等腰三角形的性质，此题难度一般． 10．（2016•重庆模拟）如图，已知矩形 OABC，A（4，0），C（0，4），动点 P 从点 A 出发， 沿 A﹣B﹣C﹣O 的路线勻速运动，设动点 P 的运动路程为 t，△OAP 的面积为 S，则下列能 大致反映 S 与 t 之间关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】分三段求解：①当 P 在 AB 上运动时；②当 P 在 BC 上时；③当 P 在 CO 上时； 分别求出 S 关于 t 的函数关系式即可选出答案． 【解答】解：∵A（4，0）、C（0，4）， ∴OA=AB=BC=OC=4， ①当 P 由点 A 向点 B 运动，即 0≤t≤4，S= OA•AP=2t； ②当 P 由点 A 向点 B 运动，即 4＜t≤8，S= OA•AP=8； ③当 P 由点 A 向点 B 运动，即 8＜t≤12，S= OA•AP=2（12﹣t）=﹣2t+24； 结合图象可知，符合题意的是 A． 故选：A． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出 S 关于 t 的函数 关系式． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题 卡相应的位置上． 11．因式分解：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因式 x，再利用平方差公式进行分解． 【解答】解：x3﹣9x， =x（x2﹣9）， =x（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分 解，分解因式要彻底．12．已知 ，则 ab= 1 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，a+b+1=0， 解得 a=1，b=﹣2， 所以，ab=1﹣2=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0． 13．不等式组 的解集为 ﹣1＜x≤1 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：由（1）得，x＞﹣1， 由（2）得，x≤1， 故原不等式组的解集为：﹣1＜x≤1． 【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大 取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=1.5，那么 BC= 4.5 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】先根据题意判断出△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结 论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴BC=4.5． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此 题的关键． 15．如图，AC 是⊙O 的切线，BC 是直径，AB 交⊙O 于点 D，∠A=50°，那么∠COD= 800 ．【考点】切线的性质． 【分析】要求∠COD 的度数，可转化为求∠B 与∠BDO 的度数和，根据切线的性质可以得 到∠BCA=90°，继而求得∠B 的度数，得到答案． 【解答】解：因为 AC 是⊙O 的切线，BC 是直径， 所以∠BCA=90°，∠A=50°，∠B=40° 又因为 OB=OD，所以∠B=∠D=40° 所以∠COD 的度数是 800， 故答案为 800． 【点评】由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径， 构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于 它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系． 16．如图矩形 ABCD 中，AB=1，AD= ，以 AD 的长为半径的⊙A 交 BC 于点 E，则图中 阴影部分的面积为 ． 【考点】扇形面积的计算；矩形的性质． 【分析】连接 AE．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角三角形 ABE 的面积和扇形 ADE 的面积． 根据题意，知 AE=AD= ，则 BE=1，∠BAE=45°，则∠DAE=45°． 【解答】解：连接 AE． 根据题意，知 AE=AD= ． 则根据勾股定理，得 BE=1． 根据三角形的内角和定理，得∠BAE=45°． 则∠DAE=45°． 则阴影部分的面积= ﹣ ﹣ ． 【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的面积、扇形的面积公式．三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用二次根式的性质化简，第三项 利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣2+3﹣2× +1 =1． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．先化简，再求值： ，再选择一个使原式有意义的 x 代入求值． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式= × =2x+8 当 x=1 时，原式=2×1+8=10． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，在选取 x 的值时要保证分式有意义． 19．如图，已知△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 BC=CD （1）用尺规作出∠ACB 的平分线 CP（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中，设 CP 与 AB 相交于点 E，连接 DE，求证：BE=DE． 【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图． 【分析】（1）根据尺规作图的基本作图平分一只角的方法，就可以作出射线 CP； （2）由 CP 平分∠ACB 可以得出∠ACE=∠BCE，就可以由 SAS 证明△CDE≌△CBE，就 可以得出结论． 【解答】（1）解：如图 1，射线 CP 为所求作的图形． （2）证明：∵CP 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCE=∠BCE． 在△CDE 和△CBE 中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS），∴BE=DE． 【点评】本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，角平分线的性质的运用，全等 三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2﹣k=0 有两个不相等的实数根． （1）求实数 k 的取值范围； （2）0 可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系． 【分析】（1）根据已知得出△＞0，求出即可． （2）把 x=0 代入方程，求出 k 的值，把 k 的值代入方程，求出方程的另一个根即可． 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+k2﹣k=0 有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（2k）2﹣4（k2﹣k）=4k＞0， ∴k＞0， ∴实数 k 的取值范围是 k＞0． （2）把 x=0 代入方程得：k2﹣k=0， 解得：k=0，k=1， ∵k＞0， ∴k=1， 即 0 是方程的一个根， 把 k=1 代入方程得：x2+2x=0， 解得：x=0，x=﹣2， 即方程的另一个根为 x=﹣2．【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数， a≠0），①当 b2﹣4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当 b2﹣4ac=0 时，方程有两个 相等的实数根，③当 b2﹣4ac＜0 时，方程没有实数根． 21．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂 直）1.2 米．试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米）． 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长，根据余弦的定义求出 CD 的长． 【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA=∠EBA=90°， ∵∠E=30°， ∴AB= AE=8 米， ∵BC=1.2 米， ∴AC=AB﹣BC=6.8 米， ∵∠DCA=90°﹣∠A=30°， ∴CD=AC×cos∠DCA=6.8× ≈5.9 米． 答：该校地下停车场的高度 AC 为 6.8 米，限高 CD 约为 5.9 米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角的概念、灵活运用锐 角三角函数的定义是解题的关键． 22．某校就“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，图 9.1 和图 9.2 是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图. 请根据图中提供的信息，解答下列 问题： （1）该校随机抽查了 名学生； （2）将图 9.1 补充完整；在图 9.2 中，“视情况而定”部分所占的圆心角是 度； （3）估计该校 2600 名学生中采取“马上救助”的方式约有 人. 【考点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体． 12% A B C D A：迅速离开 B：马上救助 C：视情况而定 D：只看热闹 图 9.2图 9.1 16 120 24 0 40 80 120 A B C D 人数 处理方式【专题】数形结合． 【解答】解：（1）200 （2）如图 （3）1560 【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成 长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了用扇形统计图和样本估计 总体． 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，已知正比例函数 y= x 与反比例函数 y= （k＞0）的图象交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标为 4． （1）求 k 的值； （2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围； （3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= （k＞0）于 P、Q 两点（P 点在第一象限），若 由点 A、P、B、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先将 x=4 代入正比例函数 y= x，可得出 y=2，求得点 A（4，2），再根据点 A 与 B 关于原点对称，得出 B 点坐标，即可得出 k 的值； （2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方， 根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值． （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以 A、B、P、Q 为顶点的四边形应该是 平行四边形，那么△POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即 6．可根据双曲线的解析 式设出 P 点的坐标，然后表示出△POA 的面积，由于△POA 的面积为 6，由此可得出关于 P 点横坐标的方程，即可求出 P 点的坐标． 16 120 40 24 0 40 80 120 A B C D 人数 处理方式【解答】（1）∵点 A 在正比例函数 y= x 上， ∴把 x=4 代入正比例函数 y= x， 解得 y=2，∴点 A（4，2）， ∵点 A 与 B 关于原点对称， ∴B 点坐标为（﹣4，﹣2）， 把点 A（4，2）代入反比例函数 y= ，得 k=8， （2）由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围，x ＜﹣4 或 0＜x＜4； （3）∵反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形， ∴OP=OQ，OA=OB， ∴四边形 APBQ 是平行四边形， ∴S△POA=S 平行四边形 APBQ× = ×24=6， 设点 P 的横坐标为 m（m＞0 且 m≠4）， 得 P（m， ）， 过点 P、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F， ∵点 P、A 在双曲线上， ∴S△POE=S△AOF=4， 若 0＜m＜4，如图， ∵S△POE+S 梯形 PEFA=S△POA+S△AOF， ∴S 梯形 PEFA=S△POA=6． ∴ （2+ ）•（4﹣m）=6． ∴m1=2，m2=﹣8（舍去）， ∴P（2，4）； 若 m＞4，如图， ∵S△AOF+S 梯形 AFEP=S△AOP+S△POE， ∴S 梯形 PEFA=S△POA=6． ∴ （2+ ）•（m﹣4）=6， 解得 m1=8，m2=﹣2（舍去）， ∴P（8，1）． ∴点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 中 k 的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义．利用数 形结合的思想，求得三角形的面积． 24．已知：如图，在△ABC 中，BC=AC，以 BC 为直径的⊙O 与边 AB 相交于点 D，DE⊥AC， 垂足为点 E． （1）求证：点 D 是 AB 的中点； （2）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）若⊙O 的直径为 18，cosB= ，求 DE 的长． 【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． 【分析】（1）连接 CD，由 BC 为直径可知 CD⊥AB，又 BC=AC，由等腰三角形的底边“三 线合一”证明结论； （2）连接 OD，则 OD 为△ABC 的中位线，OD∥AC，已知 DE⊥AC，可证 DE⊥OC，证 明结论； （3）连接 CD，在 Rt△BCD 中，已知 BC=18，cosB= ，求得 BD=6，则 AD=BD=6，在 Rt△ADE 中，已知 AD=6，cosA=cosB= ，可求 AE，利用勾股定理求 DE． 【解答】（1）证明：连接 CD， ∵BC 为⊙O 的直径，∴CD⊥AB， 又∵AC=BC， ∴AD=BD，即点 D 是 AB 的中点． （2）解：DE 是⊙O 的切线． 证明：连接 OD，则 DO 是△ABC 的中位线，∴DO∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥DO 即 DE 是⊙O 的切线； （3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A， ∴cosB=cosA= ， ∵cosB= ，BC=18， ∴BD=6， ∴AD=6， ∵cosA= ，∴AE=2， 在 Rt△AED 中，DE= ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关 键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题． 25．如图，抛物线 y= ﹣x﹣4 与坐标轴相交于 A、B、C 三点，P 是线段 AB 上一动点（端 点除外），过 P 作 PD∥AC，交 BC 于点 D，连接 CP． （1）直接写出 A、B、C 的坐标； （2）求抛物线 y= ﹣x﹣4 的对称轴和顶点坐标； （3）求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值时，以 PA、PD 为邻边的平 行四边形是否为菱形． 【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设 y=0，解一元二次方程即可求出 A 和 B 的坐标，设 x=0，则可求出 C 的坐 标． （2）抛物线： ，所以抛物线的对称轴是直线 x=1，顶点 坐标是（1，﹣ ）． （3）设 P（x，0）（﹣2＜x＜4），由 PD∥AC，可得到关于 PD 的比例式，由此得到 PD 和 x 的关系，再求出 C 到 PD 的距离（即 P 到 AC 的距离），利用三角形的面积公式可得到 S 和 x 的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到 x 的值，所以 PD 可求，而 PA≠PD，所以 PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形． 【解答】解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）． （2）抛物线： ， ∴抛物线的对称轴是直线 x=1，顶点坐标是（1，﹣ ）． （3）设 P（x，0）（﹣2＜x＜4）， ∵PD∥AC， ∴ ， 解得： ， ∵C 到 PD 的距离（即 P 到 AC 的距离）： ， ∴△PCD 的面积 ， ∴ ， ∴△PCD 面积的最大值为 3， 当△PCD 的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3， ， 因为 PA≠PD，所以以 PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形． 【点评】本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐 角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等．