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2016 年广东省中考数学模拟试卷（6） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣2016 的相反数是（ ） A．2016 B．±2016 C． 1 2016 D．﹣ 1 2016 2．下列运算正确的是（ ） A． =±3 B．a8÷a4=a2 C．3 =3 D．a2•a3=a5 3．如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF 交 CD 于 F，已知∠1=50°，则∠2=（ ） A．40° B．50° C．60° D．130° 4．点 P（5，﹣3）关于原点的对称点是（ ） A．（5，3） B．（﹣3，5） C．（﹣5，3） D．（3，﹣5） 5．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） A． 正方体 B． 长方体 C． 圆柱 D． 圆锥 6．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 7．一元二次方程 x2﹣3x﹣5=0 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．无法确定是否有实数根 D．有两个不相等的实数根 8．某班“环保小组”的 5 位同学在一次活动中，捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，10，16， 16．这组数据的中位数、众数分别为（ ） A．16，16 B．10，10 C．10，16 D．8，16 9．“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手 28 次，则参加聚会的人数是 （ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为（ ） A． B． C． D．二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．我国西部地区幅员辽阔、资源丰富，面积约 6720000 平方公里，占中国国土面积 70%， 用科学记数法表示 6720000= ． 12．一个多边形的每个外角都等于 60°，这个多边形的内角和为 ． 13．在平面直角坐标系中，点 P（m，m﹣3）在第四象限内，则 m 的取值范围是 ． 14．已知 a+b=4，a﹣b=3，则 a2﹣b2= ． 15．如果一个扇形的圆心角为 120°，半径为 6，那么该扇形的弧长是 ． 16．如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 4，∠A=120°．则阴影部分面积 是 ．（结果保留根号） 三、解答题（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣（3﹣π）0﹣3tan30°+（ ）﹣1． 18．解不等式 3x﹣1＜7，将解集在数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点 A 作△ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE．求证：△ABE≌△ACE． 四、解答题（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后 决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净 化器的进价少 300 元，且用 6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净 化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？21．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海 域进行维权活动．如图，一艘海监船位于钓鱼岛 D 的北偏东 60°方向，与钓鱼岛的距离为 16 海里的 A 处，它沿正南方向航行，航行 1 小时后，发现此时海监船位于钓鱼岛的南偏东 45°方向上的 B 处． （1）求此时这艘海监船所在的 B 处与钓鱼岛的距离（结果保留根号） （2）求这艘海监船的速度．（结果精确到 0.1）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.44） 22．在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1、2、3、4 的小球，它们的材质、形状、大小 完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小敏从剩下的 3 个小球中随机 取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（x，y）． （1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标； （2）求点 P（x，y）在函数 y=﹣x+5 图象上的概率． 五、解答题（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上， D 是 BC 的中点，过点 D 的反比例函数图象交 AB 于 E 点，连接 DE．若 OD=5，tan∠COD= ． （1）求过点 D 的反比例函数的解析式； （2）求△DBE 的面积； （3）x 轴上是否存在点 P 使△OPD 为直角三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不 存在，请说明理由．24．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 G， 过 D 作⊙O 的切线 EF，交 AB 的延长线于点 F，交 AC 于点 E． （1）求证：BD=CD； （2）若 AE=6，BF=4，求⊙O 的半径； （3）在（2）条件下判断△ABC 的形状，并说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，且斜靠在两 坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（﹣1，0），点 A 的坐标为（0，2），点 B 在抛物线 y=ax2+ax ﹣2 上． （1）点 B 的坐标为，抛物线的关系式为； （2）若点 D 是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接 BD、CD，当△BCD 的 面积最大时，求点 D 的坐标； （3）若将三角板 ABC 沿射线 BC 平移得到△A′B′C′，当 C′在抛物线上时，问此时四边形 ACC′A′是什么特殊四边形？请证明之，并判断点 A′是否在抛物线上，请说明理由．2016 年广东省中考数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共30 分） 1．﹣2016 的相反数是（ ） A．2016 B．±2016 C． 1 2016 D．﹣ 1 2016 考点： 相反数． 分析： 求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可． 解答： 解：﹣2015 的相反数是﹣（﹣2016）=2016． 故选：A． 点评： 此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握． 2．下列运算正确的是（ ） A． =±3 B．a8÷a4=a2 C．3 =3 D．a2•a3=a5 考点： 同底数幂的除法；算术平方根；同底数幂的乘法；二次根式的加减法． 分析： 根据算术平方根、二次根式的加减和同底数幂的乘除法计算判断即可． 解答： 解：A、 =3，错误； B、a8÷a4=a4，错误； C、3 =2 ，错误； D、a2•a3=a5，正确； 故选 D 点评： 此题考查算术平方根、二次根式的加减和同底数幂的乘除法，关键是熟练掌握公式 及法则进行计算． 3．如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF 交 CD 于 F，已知∠1=50°，则∠2=（ ） A．40° B．50° C．60° D．130° 考点： 平行线的性质． 分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义解答． 解答： 解：如图，∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=50°， ∵EF⊥AB， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°． 故选 A．点评： 本题考查了平行线的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质并准确识图，理清图 中各角度之间的关系是解题的关键． 4．点 P（5，﹣3）关于原点的对称点是（ ） A．（5，3） B．（﹣3，5） C．（﹣5，3） D．（3，﹣5） 考点： 关于原点对称的点的坐标． 分析： 利用两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数求出即可． 解答： 解：∵5 的相反数是﹣5，﹣3 的相反数是 3， ∴点 P（5，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 （﹣5，3）， 故选：C． 点评： 此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐 标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a 的相反数为﹣a． 5．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） A． 正方体 B． 长方体 C． 圆柱 D． 圆锥 考点： 简单几何体的三视图． 分析： 主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．分别 分析四个选项的左视图和主视图，从而得出结论． 解答： 解：A、左视图与主视图都是正方形，故 A 不符合题意； B、左视图与主视图不相同，分别是正方形和长方形，故 B 符合题意； C、左视图与主视图都是矩形，故 C 不符合题意； D、左视图与主视图都是等腰三角形．故 D 不符合题意． 故选：B． 点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，同时考查学生的思考能力和对几何体三种视图 的空间想象能力． 6．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误． 故选 C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合． 7．一元二次方程 x2﹣3x﹣5=0 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．无法确定是否有实数根 D．有两个不相等的实数根 考点： 根的判别式． 分析： 首先找出一元二次方程的 a、b 和 c，利用根的判别式△=b2﹣4ac 进行判断即可． 解答： 解：∵一元二次方程 x2﹣3x﹣5=0， ∴△=9﹣4（﹣5）=29＞0， ∴方程有两个不相等实数根， 故选：D． 点评： 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式△＞0，方 程有两个不相等的实数根，此题比较简单． 8．某班“环保小组”的 5 位同学在一次活动中，捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，10，16， 16．这组数据的中位数、众数分别为（ ） A．16，16 B．10，10 C．10，16 D．8，16 考点： 众数；中位数． 分析： 把数从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，正中间如果 是两个数，那中位数是这两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据 这两个定义解答即可． 解答： 解：∵数据 16 出现了 2 次，最大， ∴众数为 16； ∵从小到大排列后位于中间位置的数是 10， ∴中位数是 10． 故选 C． 点评： 本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数 值的中位数、众数． 9．（3分）“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手 28 次，则参加聚会的 人数是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 考点： 一元二次方程的应用． 分析： 设参加聚会的人数是 x 人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x﹣1） 次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有 x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答 即可． 解答： 解：设参加聚会的人数是 x 人，根据题意列方程得， x（x﹣1）=28， 解得 x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数是 8 人． 故选：B． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，理解：设参加聚会的人数是 x 人，每个人都 与另外的人握手一次，则每个人握手（x﹣1）次是关键． 10．在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象． 分析： 根据二次函数的开口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可 得相关图象． 解答： 解：∵一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于 y 轴上的同一点，故 B 选项错误； 当 a＞0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故 C 选项错误； 当 a＜0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故 A 选项错误； 故选：D． 点评： 本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函 数的常数项是图象与 y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于 0，图象经过一、三象 限；小于 0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于 0，图象开口向上；二次项系数 小于 0，图象开口向下． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（2016•安徽模拟）我国西部地区幅员辽阔、资源丰富，面积约 6720000 平方公里，占中 国国土面积 70%，用科学记数法表示 6720000= 6.72×106 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：6720000=6.72×106， 故答案为：6.72×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．一个多边形的每个外角都等于 60°，这个多边形的内角和为 720°． 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： 由一个多边形的每个外角都等于 60°，根据 n 边形的外角和为 360°计算出多边形的 边数 n，然后根据 n 边形的内角和定理计算即可． 解答： 解：设多边形的边数为 n， ∵多边形的每个外角都等于 60°，∴n= =6， ∴这个多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°． 故答案为 720°． 点评： 本题考查了 n 边形的内角和定理：n 边形的内角和=（n﹣2）•180°；也考查了 n 边 形的外角和为 360°． 13．在平面直角坐标系中，点 P（m，m﹣3）在第四象限内，则 m 的取值范围是 0＜m＜3． 考点： 点的坐标；解一元一次不等式组． 分析： 根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式 组，可得答案． 解答： 解：由点 P（m，m﹣3）在第四象限内，得 ．解得 0＜m＜3， 故答案为：0＜m＜3． 点评： 本题考查了点的坐标，利用第四象限的点的横坐标大于零，纵坐标小于零是解题关 键． 14．已知 a+b=4，a﹣b=3，则 a2﹣b2=12． 考点： 平方差公式． 专题： 计算题． 分析： 根据 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），然后代入求解． 解答： 解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=4×3=12． 故答案是：12． 点评： 本题重点考查了用平方差公式．平方差公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本题是一 道较简单的题目． 15．如果一个扇形的圆心角为 120°，半径为 6，那么该扇形的弧长是 4π． 考点： 弧长的计算． 分析： 根据弧长的公式 l= 进行解答． 解答： 解：根据弧长的公式 l= 知，该扇形的弧长为： l= =4π； 故答案是：4π． 点评： 本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式是解题的关键． 16．如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 4，∠A=120°．则阴影部分面积是 2 ．（结果保留根号）考点： 菱形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： 设 BF 交 CE 于点 H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求 出 CH，然后求出 DH，根据菱形邻角互补求出∠ABC=60°，再求出点 B 到 CD 的距离以及 点 G 到 CE 的距离；然后根据阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，根据三角形的面积公式列式 进行计算即可得解． 解答： 解：如图，设 BF 交 CE 于点 H， ∵菱形 ECGF 的边 CE∥GF， ∴△BCH∽△BGF， ∴ ，即 ，解得 CH= ， 所以，DH=CD﹣CH=2﹣ ， ∵∠A=120°， ∴∠ECG=∠ABC=180°﹣120°=60°， ∴点 B 到 CD 的距离为 2× ， 点 G 到 CE 的距离为 4× ， ∴阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH， = ， =2 ． 故答案为：2 点评： 本题考查了菱形的对边平行，邻角互补的性质，相似三角形对应边成比例的性质， 求出 DH 的长度，把阴影部分的面积分成两个三角形的面积进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣（3﹣π）0﹣3tan30°+（ ）﹣1． 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角 的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=2 ﹣1﹣3× +3= +2． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．解不等式 3x﹣1＜7，将解集在数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 考点： 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的整数解． 分析： 先移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1，并在数轴上表示出来，找出 x 的非负 整数即可． 解答： 解：移项得，3x＜7+1，合并同类项得，3x＜8， 把 x 的系数化为 1 得，x＜ ． 在数轴上表示为： ， 故其非负整数解为：0，1，2． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，再去括号，移项、合并同类项，把 x 的系数化为 1 是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点 A 作△ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE．求证：△ABE≌△ACE． 考点： 全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图． 专题： 作图题；证明题． 分析： （1）以 A 为圆心，以任意长为比较画弧，分别交 AB 和 AC 于一点，分别以这两 点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和 A 作射线，交 BC 于 D，则，AD 为所求； （2）推出∠BAE=∠CAE，根据 SAS 证△BAE 和△CAE 全等即可． 解答： （1）解：如图所示：（2）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵在△ABE 和△ACE 中， ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图﹣基本作图的应用，主要 考查学生的动手操作能力和推理能力． 四、解答题（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后 决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净 化器的进价少 300 元，且用 6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净 化器的数量相同．求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？ 考点： 分式方程的应用． 分析： 设每台甲种空气净化器为 x 元，乙种净化器为（x+300）元，根据用 6000 元购进 甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净化器的数量相同，列方程求解． 解答： 解：设每台甲种空气净化器为 x 元，乙种净化器为（x+300）元， 由题意得， = ，解得：x=1200， 经检验得：x=1200 是原方程的解，则 x+300=1500， 答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为 1200 元，1500 元． 点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系， 再列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． 21．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海 域进行维权活动．如图，一艘海监船位于钓鱼岛 D 的北偏东 60°方向，与钓鱼岛的距离为 16 海里的 A 处，它沿正南方向航行，航行 1 小时后，发现此时海监船位于钓鱼岛的南偏东 45°方向上的 B 处． （1）求此时这艘海监船所在的 B 处与钓鱼岛的距离（结果保留根号） （2）求这艘海监船的速度．（结果精确到 0.1）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.44）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 分析： （1）过点 D 作 DC⊥AB，则在 Rt△ADC 中易得 DC 的长，再在直角△BDC 中求 出 DB； （2）利用直角三角形中 30°所对的边等于斜边的一半求出 AC，再利用等腰直角三角形的知 识求出 BC 的长，即可得出 AB 的长．然后利用速度=路程÷时间进行计算其速度． 解答： 解：（1）作 DC⊥AB 于 C 点， ∴∠ADC=30°，∠BDC=45° AD=16（海里）． 在 Rt△ADC 中，cos∠ADC= ， ∴DC=AD•cos∠ADC=8 （海里）． 在 Rt△DCB 中，cos∠BDC= ， ∴DB= = =8 （海里）． 答：此时海监船所在的 B 处与钓鱼岛的距离是 8 海里． （2）∵DA=16 海里，∠ADC=30°，∠ACD=90°， ∴AC=8 海里， ∵∠CDB=45°，∠ACD=90°， ∴∠CBD=45°， ∴DC=BC=8 海里， ∴AB=AC+BC=16+8 （海里）， ∴这艘海监船的速度是：（16+8 ）÷1=16+8 ≈30（海里/时） 答：这艘海监船的速度约为 30 海里/时． 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般 可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 22．在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1、2、3、4 的小球，它们的材质、形状、大小 完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小敏从剩下的 3 个小球中随机 取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（x，y）． （1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标； （2）求点 P（x，y）在函数 y=﹣x+5 图象上的概率． 【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】分类讨论．【分析】（1）首先根据题意画出表格，即可得到 P 的所以坐标； （2）然后由表格求得所有等可能的结果与数字 x、y 满足 y=﹣x+5 的情况，再利用概率公 式求解即可求得答案 【解答】解：列表得： y （x，y） x 1 2 3 4 1 （1，2）（1，3）（1，4） 2 （2，1） （2，3）（2，4） 3 （3，1）（3，2） （3，4） 4 （4，1）（4，2）（4，3） （1）点 P 所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3， 1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共 12 种； （2）∵共有 12 种等可能的结果，其中在函数 y=﹣x+5 图象上的有 4 种， 即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， ∴点 P（x，y）在函数 y=﹣x+5 图象上的概率为：P= ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法 可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两 步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 五、解答题（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上， D 是 BC 的中点，过点 D 的反比例函数图象交 AB 于 E 点，连接 DE．若 OD=5，tan∠COD= ． （1）求过点 D 的反比例函数的解析式； （2）求△DBE 的面积； （3）x 轴上是否存在点 P 使△OPD 为直角三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不 存在，请说明理由． 考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）由四边形 OABC 是矩形，得到 BC=OA，AB=OC，根据 tan∠COD= ，设 OC=3x， CD=4x，求出 OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到 D（4，3），代入反比例函数的解析式即可． （2）根据 D 点的坐标求出点 B，E 的坐标即可求出结论； （3）分类讨论：当∠OPD=90°时，过 D 作 PD⊥x 轴于 P，点 P 即为所求，当∠ODP=90°时， 根据射影定理即可求得结果． 解答： 解：（1）∵四边形 OABC 是矩形，∴BC=OA，AB=OC， ∵tan∠COD= ， ∴设 OC=3x，CD=4x， ∴OD=5x=5， ∴x=1， ∴OC=3，CD=4， ∴D（4，3）， 设过点 D 的反比例函数的解析式为：y= ， ∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y= ； （2）∵点 D 是 BC 的中点， ∴B（8，3）， ∴BC=8，AB=3， ∵E 点在过点 D 的反比例函数图象上， ∴E（8， ）， ∴S△DBE= BD•BE= =3； （3）存在， ∵△OPD 为直角三角形， ∴当∠OPD=90°时，PD⊥x 轴于 P， ∴OP=4， ∴P（4，0）， 当∠ODP=90°时， 如图，过 D 作 DH⊥x 轴于 H， ∴OD2=OH•OP， ∴OP= = ． ∴P（ ，O）， ∴存在点 P 使△OPD 为直角三角形， ∴P（4，O），（ ，O）． 点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，特别是 （3）注意分类讨论，不能漏解．24．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 G， 过 D 作⊙O 的切线 EF，交 AB 的延长线于点 F，交 AC 于点 E． （1）求证：BD=CD； （2）若 AE=6，BF=4，求⊙O 的半径； （3）在（2）条件下判断△ABC 的形状，并说明理由． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出 结论． （2）推出△FOD∽△FAE，得出比例式，即可求出半径． （3）求出∠F=30°，求出∠BOD=60°，得出等边三角形 OBD，推出∠ABC=60°，根据等边 三角形判定推出即可． 解答： （1）证明：连接 AD，如图所示： ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴BD=CD； （2）解：设⊙O 的半径是 R，则 FO=4+R，FA=4+2R，OD=R， 连接 OD，如图所示： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∴△FOD∽△FAE， ∴ ， ∴ ， 即 R2﹣R﹣12=0， ∵R 为半径， ∴R=4，R=﹣3（舍去）， 即⊙O 的半径是 4． （3）△ABC 是等边三角形；理由：∵EF 是⊙O 的切线， ∴OD⊥EF， ∴∠ODF=90°， ∵FO=4+4=8，OD=4， ∴∠F=30°， ∴∠FOD=60°， ∵OB=OD， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵AC=AB， ∴△ABC 是等边三角形． 点评： 本题是圆的综合题目，考查了相似三角形的性质和判定、切线的性质、等边三角形 的性质和判定、圆周角定理、平行线性质、等腰三角形性质的应用等知识；本题难度较大， 综合性强，特别是（2）中需要通过作辅助线证明三角形相似才能得出结果． 25．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，且斜靠在两 坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（﹣1，0），点 A 的坐标为（0，2），点 B 在抛物线 y=ax2+ax ﹣2 上． （1）点 B 的坐标为（﹣3，1），抛物线的关系式为 y= x2+ x﹣2； （2）若点 D 是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接 BD、CD，当△BCD 的 面积最大时，求点 D 的坐标； （3）若将三角板 ABC 沿射线 BC 平移得到△A′B′C′，当 C′在抛物线上时，问此时四边形 ACC′A′是什么特殊四边形？请证明之，并判断点 A′是否在抛物线上，请说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）作 BM⊥x 轴于 M，先证明△BCM≌△CAO，得出 BM=CO=1，MC=OA=2， 再求出 OM，即可得出点 B 的坐标；把点 B 的坐标代入抛物线 y=ax2+ax﹣2，求出 a 的值， 即可得出抛物线的解析式； （2）作直线 l∥BC，交抛物线于 D，先用待定系数法求出直线 BC 的解析式，由直线 l 的解 析式和抛物线构成方程组，得出一元二次方程，由△=0 时，S△BCD 最大，即可求出点 D 的 坐标； （3）先求出点 C′的坐标，再求出直线 AC 和 A′C′的解析式，求出直线 A′C′与抛物线 y= x2+ x ﹣2 另一交点 G 的坐标，A′与 G 重合，得出 A′在抛物线上；由平移的性质得出四边形 ACC′A′ 是平行四边形，再由 CC′=A′C′，∠ACC′=90°，即可证出四边形 ACC′A′是正方形． 解答： 解：（1）作 BM⊥x 轴于 M，如图 1 所示： 则∠BMC=90°， ∴∠CBM+∠BCM=90°， ∵C 的坐标为（﹣1，0），点 A 的坐标为（0，2）， ∴CO=1，OA=2， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴BC=CA，∠ACB=90°， ∴∠BCM+∠ACO=90°， ∴∠CBM=∠ACO， 在△BCM 和△CAO 中， ， ∴△BCM≌△CAO（AAS）， ∴BM=CO=1，MC=OA=2， ∴OM=2+1=3， ∴点 B 的坐标为：（﹣3，1）； 故答案为：（﹣3，1）； 把 B（﹣3，1）代入抛物线 y=ax2+ax﹣2 得： 9a﹣3a﹣2=1， 解得：a= ， ∴抛物线的解析式为：y= x2+ x﹣2； 故答案为：y= x2+ x﹣2； （2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， 根据题意得： ， 解得：k=﹣ ，b=﹣ ，∴直线 BC 的解析式为：y=﹣ x﹣ ， 作直线 l∥BC，交抛物线于 D，如图 2 所示： 设直线 l 的解析式为：y=﹣ x+c， 解方程组 ， 即 x2+ x﹣2=﹣ x+c， 整理得：x2+2x﹣4﹣2c=0， 当△=0 时，S△BCD 最大， 此时 x1=x2=﹣1，y=﹣2， ∴点 D 的坐标为：（﹣1，﹣2）； （3）四边形 ACC′A′是正方形；点 A′在抛物线上；理由如下： 根据题意得：点 C′为直线 BC 与抛物线的交点， 解方程组 得： ，或 （舍去）， ∴点 C′的坐标为：（1，﹣1）， 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b， 根据题意得： ， 解得：k=2，b=2， ∴直线 AC 的解析式为：y=2x+2， ∵A′C′∥AC， 设直线 A′C′的解析式为：y=2x+c， 把点 C′（1，﹣1）代入得：c=﹣3， ∴直线 A′C′的解析式为：y=2x﹣3， 设直线 A′C′与抛物线 y= x2+ x﹣2 交于另一点 G， 解方程组 得： ，或 （舍去）， ∴点 G 的坐标为：（2，1）， ∴C′G= = ， ∵AC= = ， ∴A′与 G 重合， ∴A′在抛物线上； 作 C′F⊥x 轴于 F，如图 3 所示：根据勾股定理得：CC′= = ， ∴CC′=A′C′， ∵AC∥A′C′，AC=A′C′， ∴四边形 ACC′A′是平行四边形， 又∵∠ACC′=90°， ∴四边形 ACC′A′是正方形； 点评： 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、 全等三角形的判定与性质、一次函数解析式的求法、勾股定理、平移的性质、正方形的判定 等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要多次求直线的解析式和解方 程组才能得出结果．