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2016 年广东省中考数学模拟试卷（2） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣（+2）的相反数等于（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．± 2．下列运算正确的是（ ） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．（a+b）2=a2+b2 3．小明上网查得 H7N9 禽流感病毒的直径大约是 0.00000008 米，用科学记数法表示为（ ） A．0.8×10﹣7 米 B．8×10﹣7 米 C．8×10﹣8 米 D．8×10﹣9 米 4．将一副直角三角板如图所示放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和含 45°角的三角板 的一条直角边重合，则∠1 的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 5．给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A． B． C． D． 6．下列数据是 2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 342 163 165 45 227 163 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．164 和 163 B．105 和 163 C．105 和 164 D．163 和 164 7．把不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 8．图中几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 9．如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60°，则物体 AB 的高度为（ ）A．10 米 B．10 米C．20 米 D． 米 10．用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的 关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．分解因式：2a2﹣4a+2= ． 12．正六边形的内角和为 度． 13．如图，△ABC 中，AB+AC=6cm，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，则△ABD 的 周长为 cm． 14．甲乙丙三组各有 7 名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是 58，方差分别为 S 甲 2=36， S 乙 2=25，S 丙 2=16，则数据波动最小的一组是 ． 15．如图，点 B，A，C，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= °． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将 Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30° 后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣ +2sin60°+（ ）﹣1． 18．先化简，再求值： ，其中 x= ． 19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点 A 作△ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE．求证：△ABE≌△ACE． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一棵树”活动中，我市某 中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况， 随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如图统计图： 请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（直接填写答案） （1）该中学一共随机调查了 人； （2）条形统计图中的 m= ，n= ； （3）如果在该学校随机抽查了一位学生，那么该学生喜爱的香樟树的概率是 ．21．如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，AB=5，AC=3，BC 的中点 D 在双曲线 y= （x＞ 0）上，且 OC=2． （1）求 k 值； （2）将△ABC 沿 x 轴向左平移，当点 B 落在双曲线 y= （x＞0）上时，求△ABC 平移的 距离． 22．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收 入不超过 1600 元，不需交税；超过 1600 元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据 超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过 500 元的 5 2 超过 500 元至 2 000 元的部分 10 3 超过 2 000 元至 5 000 元的部分 15 … … … （1）某工厂一名工人 2006 年 5 月的收入为 2 000 元，问他应交税款多少元？ （2）设 x 表示公民每月收入（单位：元），y 表示应交税款（单位：元），当 2100≤x≤3600 时，请写出 y 关于 x 的函数关系式； （3）某公司一名职员 2006 年 5 月应交税款 120 元，问该月他的收入是多少元？ 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．某工厂现有甲种原料 280kg，乙种原料 190kg，计划用这两种原料生产 A，B 两种产品 50 件，已知生产一件 A 产品需甲种原料 7kg、乙种原料 3kg，可获利 400 元；生产一件 B 产品需甲种原料 3kg，乙种原料 5kg，可获利 350 元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？ （2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？24．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP=a， CQ= 时，P、Q 两点间的距离 （用含 a 的代数式表示）． 25．如图已知：直线 y=﹣x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、 B、C（1，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 的坐标为（﹣1，0），在直线 y=﹣x+3 上有一点 P，使△ABO 与△ADP 相似， 求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使△ADE 的面积等于四 边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．2016 年广东省中考数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣（+2）的相反数等于（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．± 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”， 据此解答即可． 【解答】解：因为﹣（+2）=﹣2， 所以根据相反数的含义，可得 ﹣（+2）的相反数等于：﹣（﹣2）=2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加 “﹣”． 2．下列运算正确的是（ ） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．（a+b）2=a2+b2 【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；整式的除法． 【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判 断． 【解答】解：A、2a3÷a=2a2，故选项错误； B、（ab2）2=a2b4，故选项错误； C、正确； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项错误． 故选 C． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌 握并灵活运用． 3．小明上网查得 H7N9 禽流感病毒的直径大约是 0.00000008 米，用科学记数法表示为（ ） A．0.8×10﹣7 米 B．8×10﹣7 米 C．8×10﹣8 米 D．8×10﹣9 米 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.00000008 米用科学记数法表示为 8×10﹣8 米． 故选 C． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 4．将一副直角三角板如图所示放置，使含 30°角的三角板的一条直角边和含 45°角的三角板 的一条直角边重合，则∠1 的度数为（ ）A．45° B．60° C．75° D．85° 【考点】三角形内角和定理． 【专题】计算题． 【分析】根据三角形三内角之和等于 180°求解． 【解答】解：如图．∵∠2=60°，∠3=45°，∴∠1=180°﹣∠2﹣∠3=75°．故选：C． 【点评】考查三角形内角之和等于 180°． 5．给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为 ． 【解答】解：∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等， ∴第一个打电话给甲的概率为 ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 6．下列数据是 2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 342 163 165 45 227 163 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A．164 和 163 B．105 和 163 C．105 和 164 D．163 和 164 【考点】众数；中位数． 【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数：将一组数据按 照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是 这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的 中位数．可以直接算出答案．【解答】解：把数据从小到大排列：45，163，163，165，227，342，位置处于中间的数是 163 和 165，故中位数是（163+165）÷2=164， 163 出现了两次，故众数是 163； 故答案为：A． 【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义． 7．把不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【专题】计算题． 【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解： ，由②得：x≤3， 则不等式组的解集为 1＜x≤3，表示在数轴上，如图所示： ． 故选 C. 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式 的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段， 如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的 解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆 点表示． 8．图中几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】分别利用三视图观察角度不同，得出三种视图即可． 【解答】解：几何体的主视图是 ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确注意观察角度进而得出是解题关键． 9．如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60°，则物体 AB 的高度为（ ）A．10 米 B．10 米C．20 米 D． 米 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边 AB 及 CD=DC﹣BC=20 构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【解答】解：∵在直角三角形 ADB 中，∠D=30°，∴ =tan30°，∴BD= = AB. ∵在直角三角形 ABC 中，∠ACB=60°，∴BC= = AB. ∵CD=20，∴CD=BD﹣BC= AB﹣ AB=20，解得：AB=10 ． 故选 A． 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角 函数解直角三角形． 10．用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的 关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【分析】结合瓶子的结构和题意知，容器的截面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再 由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断． 【解答】解：因瓶子下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同， 所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越缓， 分析四个图象只有 C 符合要求． 故选 C． 【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高 度 h 和时间 t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结 合思想． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题． 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2． 故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键． 12．六边形的内角和为 720 度． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】由多边形的内角和公式：180°（n﹣2），即可求得正六边形的内角和． 【解答】解：正六边形的内角和为：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720． 【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，解题的关键是熟记公式． 13．如图，△ABC 中，AB+AC=6cm，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，则△ABD 的 周长为 6 cm． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】数形结合． 【分析】根据中垂线的性质，可得 DC=DB，继而可确定△ABD 的周长． 【解答】解：∵l 垂直平分 BC， ∴DB=DC， ∴△ABD 的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm． 故答案为：6． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段 两端点的距离相等． 14．甲乙丙三组各有 7 名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是 58，方差分别为 S 甲 2=36， S 乙 2=25，S 丙 2=16，则数据波动最小的一组是 丙 ． 【考点】方差． 【分析】根据方差越大，波动越大即可得到结论． 【解答】解：∵方差越大，波动越大，反之方差越小，波动越小，∴方差小的波动最小， ∵ ， ， ，∴丙组的波动最小． 故答案为丙． 【点评】本题考查了方差的意义，解题的关键是了解方差越大，波动越大，反之方差越小， 波动越小． 15．如图，点 B，A，C，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC= 25 °．【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】由 OA⊥BC，利用垂径定理，即可求得 = ，又由在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【解答】解：∵OA⊥BC，∴ = ，∴∠ADC= ∠AOB= ×50°=25°． 故答案为：25． 【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与平分弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的两条弧定理的应用． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将 Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30° 后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ． 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据勾股定理得到 AB= ，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的 性质得到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD 【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB= ， ∴S 扇形 ABD= = ． 又∴Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= ．也考查了勾股定理以及旋转的性质． 三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算： ﹣ +2sin60°+（ ）﹣1． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂计算出各数，再根据 实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式= ﹣2 +2× +3=3． 【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数 指数幂的计算法则是解答此题的关键． 18．先化简，再求值： ，其中 x= ． 【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】先把括号内通分得到原式= ÷ ，再把除法运算化为乘法运算和分母 进行因式分解得到原式= • ，再约分得到 ，然后把 x 的值代入计算． 【解答】解：原式= ÷ = • = ， 当 x= +1 时，原式= = = ． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号）， 然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值． 19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB． （1）尺规作图：过顶点 A 作△ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE．求证：△ABE≌△ACE． 【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图． 【专题】作图题；证明题． 【分析】（1）以 A 为圆心，以任意长为比较画弧，分别交 AB 和 AC 于一点，分别以这两点 为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和 A 作射线，交 BC 于 D，则，AD 为所求； （2）推出∠BAE=∠CAE，根据 SAS 证△BAE 和△CAE 全等即可． 【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵在△ABE 和△ACE 中 ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图﹣基本作图的应用，主要 考查学生的动手操作能力和推理能力． 四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一棵树”活动中，我市某 中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况， 随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如图统计图： 请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：（直接填写答案） （1）该中学一共随机调查了 200 人； （2）条形统计图中的 m= 70 ，n= 30 ； （3）如果在该学校随机抽查了一位学生，那么该学生喜爱的香樟树的概率是 ． 【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式． 【分析】（1）用喜欢柳树的人数除以其所占的百分比即可； （2）用总人数乘以喜欢木棉的人数所占的百分比，求出 n，再用总人数减去喜欢桂花树、 柳树、木棉树的人数，即可求出 m； （3）用喜欢香樟树的人数除以总人数即可． 【解答】解：（1）该中学一共随机调查了 20÷10%=200 人； （2）条形统计图中的 n=200×15%=30 人，m=200﹣80﹣20﹣30=70 人； （3）该学生喜爱的香樟树的概率是 = ． 故答案为：200，70，30， ． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，AB=5，AC=3，BC 的中点 D 在双曲线 y= （x＞ 0）上，且 OC=2． （1）求 k 值； （2）将△ABC 沿 x 轴向左平移，当点 B 落在双曲线 y= （x＞0）上时，求△ABC 平移的 距离． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）求得 BC 的长度，即求得点 D，代入曲线方程，求得 k 值； （2）平移后点 B 的横坐标，用原来点 D 的横坐标减，从而得到平移距离． 【解答】解：（1）在直角三角形 ABC 中，∠BCA=90°，AB=5，AC=3，∴BC=4 由题意点 D（2，2） ∵BC 的中点 D 在双曲线 y= （x＞0）上，∴k=2×2=4． （2）设点 B（x，4），代入到 得 x=1，则三角形平移距离=2﹣1=1． 【点评】本题考查了反比例函数的综合利用，（1）在直角三角形 ABC 中，求得 BC 的值， 从而得到点 D，代入曲线方程，得到 k 值；（2）求得点 B 平移后的横坐标，原来点 D 的横 坐标减去即得． 22．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收 入不超过 1600 元，不需交税；超过 1600 元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据 超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过 500 元的 5 2 超过 500 元至 2 000 元的部分 10 3 超过 2 000 元至 5 000 元的部分 15 … … … （1）某工厂一名工人 2006 年 5 月的收入为 2 000 元，问他应交税款多少元？ （2）设 x 表示公民每月收入（单位：元），y 表示应交税款（单位：元），当 2100≤x≤3600 时，请写出 y 关于 x 的函数关系式； （3）某公司一名职员 2006 年 5 月应交税款 120 元，问该月他的收入是多少元？ 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税． （2）当 2100≤x≤3600 时，其中 1 600 元不用纳税，应纳税的部分在 500 元至 2000 元之间， 其中 500 元按 5%交纳，剩余部分按 10%交纳，列出 y 与 x 的函数关系式化简可得 y=0.1x﹣ 185．（3）根据（2）可知，当收入为 2 100 元至 3 600 元之间时，纳税额在 25 元至 175 元之间， 于是，由该职员纳税款 120 元，可知他的收入肯定在 2 100 元至 3 600 元之间，求出 x 即可． 【解答】解：（1）该工人 5 月的收入 2 000 元中，应纳税的部分是 400 元， 按纳税的税率表，他应交纳税款 400×5%=20（元）； （2）当 2100≤x≤3600 时，其中 1 600 元不用纳税，应纳税的部分在 500 元至 2 000 元之间， 其中 500 元按 5%交纳，剩余部分按 10%交纳， 于是，有：y=[（x﹣1600）﹣500 ] ×10%+500×5%=（x﹣2100）×10%+25=0.1x﹣185； 即 y 关于 x 的函数关系式为：y=（x﹣2100）×10%+25=0.1x﹣185（2100≤x≤3600）． （3）根据（2），当收入为 2 100 元至 3 600 元之间时，纳税额在 25 元至 175 元之间，于是， 由该职员纳税款 120 元， 可知他的收入肯定在 2 100 元至 3 600 元之间； 设他的收入为 x 元，由（2）可得： （x﹣2100）×10%+25=120，解得：x=3050； 故该职员 2006 年 5 月的收入为 3050 元． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用来解决实际问题，结合图标．一次函数的应用是中 考热点问题，考生应多加注意． 四、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．某工厂现有甲种原料 280kg，乙种原料 190kg，计划用这两种原料生产 A，B 两种产品 50 件，已知生产一件 A 产品需甲种原料 7kg、乙种原料 3kg，可获利 400 元；生产一件 B 产品需甲种原料 3kg，乙种原料 5kg，可获利 350 元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？ （2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题；压轴题；方案型． 【分析】（1）关系式为①A 产品需甲种原料量+B 产品需甲种原料量≤280；②A 产品需乙 种原料量+B 产品需乙种原料量≤190，列不等式组即可求解； （2）利润为：A 产品数量×400+B 产品数量×350，按自变量的取值求得最大利润． 【解答】解：（1）设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品（50﹣x）件，则 解得 30≤x≤32.5 ∵x 为正整数 ∴x 可取 30，31，32． 当 x=30 时，50﹣x=20， 当 x=31 时，50﹣x=19， 当 x=32 时，50﹣x=18， 所以工厂可有三种生产方案，分别为 方案一：生产 A 产品 30 件，生产 B 产品 20 件； 方案二：生产 A 产品 31 件，生产 B 产品 19 件； 方案三：生产 A 产品 32 件，生产 B 产品 18 件； （2）法一：方案一的利润为 30×400+20×350=19000 元； 方案二的利润为 31×400+19×350=19050 元； 方案三的利润为 32×400+18×350=19100 元． 因此选择方案三可获利最多，最大利润为 19100 元．法二：设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品（50﹣x）件，可获利共 y 元， ∴y=400x+350（50﹣x）=50x+17500， ∵此函数 y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=32 时，可获利最多，最大利润为 19100 元． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系． 24．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP=a， CQ= 时，P、Q 两点间的距离 （用含 a 的代数式表示）． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性 质． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）由△ABC 是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由 AP=AQ，E 是 BC 的中点，利用 SAS，可证得：△BPE≌△CQE； （2）由△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后 利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似 三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长，即可得 BC 的长，继而求得 AQ 与 AP 的长， 利用勾股定理即可求得 P、Q 两点间的距离． 【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ，∴BP=CQ， ∵E 是 BC 的中点，∴BE=CE， 在△BPE 和△CQE 中，∵ ， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：连接 PQ， ∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ，∴ ， ∵BP=a，CQ= a，BE=CE，∴ ，∴BE=CE= a，∴BC=3 a， ∴AB=AC=BC•sin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC= a，PA=AB﹣BP=2a， 在 Rt△APQ 中，PQ= = a． 25．如图已知：直线 y=﹣x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、 B、C（1，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 的坐标为（﹣1，0），在直线 y=﹣x+3 上有一点 P，使△ABO 与△ADP 相似， 求出点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使△ADE 的面积等于四 边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）首先确定 A、B、C 三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）△ABO 为等腰直角三角形，若△ADP 与之相似，则有两种情形，如答图 1 所示．利 用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图 2 所示，分别计算△ADE 的面积与四边形 APCE 的面积，得到面积的表达式．利 用面积的相等关系得到一元二次方程，将点 E 是否存在的问题转化为一元二次方程是否有 实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中 P 点的不同位置分别进行计算，在这 两种情况下，一元二次方程的判别式均小于 0，即所求的 E 点均不存在． 【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3） ∵抛物线经过 A、B、C 三点， ∴把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 y=ax2+bx+c， 得方程组 解得： ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3 （2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形，如答图 1 所示， 若△ABO∽△AP1D，则 ∴DP1=AD=4， ∴P1（﹣1，4） 若△ABO∽△ADP2 ，过点 P2 作 P2 M⊥x 轴于 M，AD=4， ∵△ABO 为等腰三角形， ∴△ADP2 是等腰三角形， 由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点 M 与点 C 重合， ∴P2（1，2） 综上所述，点 P 的坐标为 P1（﹣1，4），P2（1，2）； （3）不存在． 理由：如答图 2，设点 E（x，y），则 S△ADE= ①当 P1（﹣1，4）时， S 四边形 AP1CE=S△ACP1+S△ACE= =4+|y| ∴2|y|=4+|y|， ∴|y|=4 ∵点 E 在 x 轴下方， ∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即 x2﹣4x+7=0， ∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0 ∴此方程无解 ②当 P2（1，2）时， S 四边形 AP2CE=S△ACP2+S△ACE= =2+|y|， ∴2|y|=2+|y|， ∴|y|=2 ∵点 E 在 x 轴下方， ∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即 x2﹣4x+5=0， ∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0 ∴此方程无解综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E． 【点评】本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元 二次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分 类讨论计算，避免漏解；（3）问中是否存在点 E 的问题，转化为一元二次方程实数根个数 的问题，需要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高 学生的综合解题能力，是一道不错的题目．