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2016 年广东省中考数学模拟试卷（8） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在实数﹣2，0，2，3 中，最小的实数是（ ） A． ﹣2 B． 0 C． 2 D． 3 2．下列图形中，中心对称图形有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 3．如图，⊙O 是 △ ABC 的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB 的度数是（ ） A． 40° B． 50° C． 60° D． 80° 4．下列事件中为必然事件的是（ ） A． 打开电视机，正在播放湛江新闻 B． 下雨后，天空出现彩虹 C． 随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D． 早晨的太阳从东方升起 5．如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1 等于（ ） A． 35° B． 45° C． 55° D． 65° 6．甲、乙、丙、丁四位选手各射击 10 次，每人的平均成绩都是 9.3 环，方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差（环 2） 0.035 0.016 0.022 0.025 则这四个人种成绩发挥最稳定的是（ ） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 7．如图的几何体中，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 8．下列代数运算正确的是（ ） A． （x3）2=x5 B． （2x）2=2x2 C． （x+1）2=x2+1 D． x3•x2=x59．一艘轮船在静水中的最大航速是 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90km 所用时间，与它以最 大航速逆流航行 60km 所用时间相等．如果设江水的流速为 x km/h，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面， 刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．﹣2 的相反数是 ． 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ． 13．第六次人口普查显示，湛江市常住人口数约为 6 990 000 人，数据 6 990 000 用科学记数法表示 为 ． 14．如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，反比例函数 y= 的图象过点 B，则反比例函数关系 式为 ． 15．如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）16．如图，在▱ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延长 BA 与⊙A 相交于点 F．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．解不等式组 ． 18．计算： ，并选一个合适的 x 代入求值． 19．如图所示，在 △ ABC 中，∠ACB=90° （1）用尺规作图的方法，过点 C 作斜边 AB 的垂线，垂足为 D；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 CD 的长． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．某天，一蔬菜经营户用 114 元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共 40kg 到菜市场去卖，黄瓜和土 豆这天的批发价和零售价（单位：元/kg）如下表所示: （1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？ （2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？ 21．如图，已知 Rt △ ABC 中，∠ABC=90°，先把 △ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至 △ DBE 后，再把 △ ABC 沿射线平移至 △ FEG，DE、FG 相交于点 H． （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连接 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形． 品名 批发价 零售价 黄瓜 2.4 4 土豆 3 522．我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的 综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩 组中值 频数 第一组 90≤x＜100 95 4 第二组 80≤x＜90 85 m 第三组 70≤x＜80 75 n 第四组 60≤x＜70 65 21 根据图表信息，回答下列问题： （1）参加活动选拔的学生共有 人；表中 m= ，n= ； （2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩； （3）将第一组中的 4 名学生记为 A、B、C、D，由于这 4 名学生的体育综合水平相差不大，现决定 随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中 A 和 B 的概率． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C（0，﹣3），顶点 D 坐标为（﹣1， ﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）如题图（1），求点 A、B 的坐标，并直接写出不等式 ax2+bx+c＞0 的解集； （3）如题图（2），连接 BD、AD，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作直线 PQ∥BD 交线段 AD 于点 Q，求 △ PQD 面积的最大值．24．如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过点 B 的直线与 CD 的延长 线交于点 F，AC∥BF． （1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF 是⊙O 的切线； （2）若 tan∠F= ，CD=a，请用 a 表示⊙O 的半径； （3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF． 25．如图（1），在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=2 ，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上， 且 BP=3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即 以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动， 点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，如图（2）以 EF 为边作等边 △ EFG，使 △ EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧．设运动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）如图（3），当等边 △ EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值； （2）如图（4），当等边 △ EFG 的顶点 G 恰好落在 CD 边上时，求运动时间 t 的值； （3）在整个运动过程中，设等边 △ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请求出 S 与 t 之间的函 数关系式，并写出相应的自变量，的取值范围．2016 年广东省中考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在实数﹣2，0，2，3 中，最小的实数是（ ） A． ﹣2 B． 0 C． 2 D． 3 考点：实数大小比较． 专题：常规题型． 分析：根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案． 解答：解：﹣2＜0＜2＜3，最小的实数是﹣2， 故选：A． 点评：本题考查了实数比较大小，正数大于 0，0 大于负数是解题关键． 2．下列图形中，中心对称图形有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 考点：中心对称图形． 分析：根据中心对称图形的概念求解． 解答： 解：第一个图形是中心对称图形； 第二个图形是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形． 故共 3 个中心对称图形． 故选 C． 点评：掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重 合． 3．如图，⊙O 是 △ ABC 的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB 的度数是（ ） A． 40° B． 50° C． 60° D． 80° 考点：圆周角定理． 分析：已知⊙O 是 △ ABC 的外接圆，∠AOB=100°，根据圆周角定理可求得∠ACB 的度数． 解答： 解：∵⊙O 是 △ ABC 的外接圆，∠AOB=100°， ∴∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．故选 B． 点评：本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的 一半． 4．下列事件中为必然事件的是（ ） A． 打开电视机，正在播放湛江新闻 B． 下雨后，天空出现彩虹 C． 随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D． 早晨的太阳从东方升起 考点：随机事件． 分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断． 解答： 解：A、打开电视机，正在播放湛江新闻是随机事件，选项错误； B、下雨后，天空出现彩虹是随机事件，选项错误； C、随机掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，选项错误； D、早晨的太阳从东方升起是必然事件，选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概 念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不 确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1 等于（ ） A． 35° B． 45° C． 55° D． 65° 考点：平行线的性质；直角三角形的性质． 专题：计算题． 分析：利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠ B=35°． 解答： 解：如图，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°． 又∵∠B=55°，∴∠A=35°． 又 CD∥AB，∴∠1=∠A=35°． 故选：A． 点评：本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质 以及平行线的性质来求∠1 的度数． 6．甲、乙、丙、丁四位选手各射击 10 次，每人的平均成绩都是 9.3 环，方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 方差（环 2） 0.035 0.016 0.022 0.025 则这四个人种成绩发挥最稳定的是（ ） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 考点：方差．分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组 数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 解答： 解：∵S 甲 2，=0.035，S 乙 2=0.016，S，丙 2=0.022，S，丁 2=0.025， ∴S 乙 2 最小，∴这四个人种成绩发挥最稳定的是乙； 故选 B． 点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数 据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7．如图的几何体中，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 解答： 解：从上面看易得一排由 4 个正方形组成． 故选 C． 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 8．下列代数运算正确的是（ ） A． （x3）2=x5 B． （2x）2=2x2 C． （x+1）2=x2+1 D． x3•x2=x5 考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式． 分析：根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法计算即可． 解答： 解：A、（x3）2=x6，错误； B、（2x）2=4x2，错误； C、（x+1）2=x2+2x+1，错误； D、x3•x2=x5，正确； 故选 D 点评：此题考查幂的乘方、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算． 9．一艘轮船在静水中的最大航速是 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90km 所用时间，与它以最 大航速逆流航行 60km 所用时间相等．如果设江水的流速为 x km/h，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 分析：设江水的流速为 x km/h，则逆流的速度为（30﹣x）km/h，顺流的速度为（30+x）km/h，根 据顺流航行 90km 所用时间，与逆流航行 60km 所用时间相等，列方程即可． 解答： 解：设江水的流速为 x km/h，则逆流的速度为（30﹣x）km/h，顺流的速度为（30+x）km/h， 由题意得， = ． 故选 C． 点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合 适的等量关系，列方程．10．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面， 刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【专题】压轴题． 【分析】立方体的上下底面为正方形，立方体的高为 x，则得出 y﹣ x=4x，再得出图象即可． 【解答】解：正方形的边长为 x，y﹣ x=2x， ∴y 与 x 的函数关系式为 y= x， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从 y﹣ x 等于该立方体的上底面周 长，从而得到关系式． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应 位置上． 11．﹣2 的相反数是 2 ． 考点：相反数． 分析：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 解答： 解：﹣2 的相反数是：﹣（﹣2）=2， 故答案为：2． 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反 数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 12．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≥0 且 x≠1 ． 考点：函数自变量的取值范围． 专题：函数思想． 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范 围． 解答： 解：根据题意得：x≥0 且 x﹣1≠0，解得：x≥0 且 x≠1． 故答案为：x≥0 且 x≠1． 点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13．第六次人口普查显示，湛江市常住人口数约为 6 990 000 人，数据 6 990 000 用科学记数法表示 为 6.99×106 ． 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数．确定 a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）中 n 的值，由于 6 990 000 有 7 位，所以可以确定 n=7﹣1=6． 解答： 解：6 990 000=6.99×106， 故答案为：6.99×106． 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14．如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，反比例函数 y= 的图象过点 B，则反比例函数关系 式为 ﹣1 ． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义． 分析：此题只需根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩 形面积 S 是个定值|k|即可作答． 解答： 解：因为反比例函数 y= 的图象过点 B，且四边形 OABC 是边长为 1 的正方形， 所以|k|=1，即 k=±1， 由图知反比例函数的图象在第二象限，所以 k=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评：主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所 得矩形的面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确 理解 k 的几何意义．15．如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5m，则大树的高度为 （5+5 ） m（结果保留根号） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：几何图形问题． 分析：作CE⊥AB 于点 E，则 △ BCE 和 △ BCD 都是直角三角形，即可求得 CE，BE 的长，然后在 Rt △ ACE 中利用三角函数求得 AE 的长，进而求得 AB 的长，即为大树的高度． 解答： 解：作 CE⊥AB 于点 E， 在 Rt △ BCE 中， BE=CD=5m， CE= =5 m， 在 Rt △ ACE 中， AE=CE•tan45°=5 m， AB=BE+AE=（5+5 ）m． 故答案为：（5+5 ）． 点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形 并解直角三角形． 16．如图，在▱ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与 CD 相切于点 C，交 AD 于点 E，延长 BA 与⊙A 相交于点 F．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．考点：切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算． 专题：几何图形问题． 分析：求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中 阴影部分的面积= △ ACD 的面积﹣扇形 ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可． 解答： 解：连接 AC， ∵DC 是⊙A 的切线， ∴AC⊥CD， 又∵AB=AC=CD， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB=45°， 又∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B=45°， ∴∠FAD=∠B=45°， ∵ 的长为 ， ∴ ， 解得：r=2， ∴S 阴影=S △ ACD﹣S 扇形 ACE= ． 故答案为： ． 点评：本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．解不等式组 ． 考点：解一元一次不等式组． 分析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 解答： 解： ， 由（1）得：x＞﹣由（2）得：x＜5 综合得不等式组的解集为﹣ ＜x＜5． 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等 式的解，若 x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为 x 介于两数之间． 18．计算： ，并选一个合适的 x 代入求值． 考点：分式的化简求值． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 x 的值代入进行计算即可． 解答： 解：原式= ﹣ • = ﹣ = ， 当 x=0 时，原式=﹣2． 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．如图所示，在 △ ABC 中，∠ACB=90° （1）用尺规作图的方法，过点 C 作斜边 AB 的垂线，垂足为 D；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 CD 的长． 考点：作图—复杂作图． 专题：作图题． 分析： （1）利用基本作图，过一点作直线的垂线作垂线段 CD； （2）先利用勾股定理计算 AB，然后利用面积法求 CD． 解答： 解：（1）如图， （2）在 Rt △ ABC 中，AB= = =10， ∵ CD•AB= AC•BC，∴CD= = ． 点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了 几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形 的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20．某天，一蔬菜经营户用 114 元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共 40kg 到菜市场去卖，黄瓜和土 豆这天的批发价和零售价（单位：元/kg）如下表所示： （1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？ （2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？ 考点：一元一次方程的应用． 分析： （1）设他当天购进黄瓜 x 千克，则土豆（40﹣x）千克，根据黄瓜的批发价是 2.4 元，土 豆批发价是 3 元，共花了 114 元，列出方程，求出 x 的值，即可求出答案； （2）根据（1）得出的黄瓜和土豆的斤数，再求出每斤黄瓜和土豆赚的钱数，即可求出总的赚的钱 数． 解答： 解：（1）设他当天购进黄瓜 x 千克，则土豆（40﹣x）千克，根据题意得： 2.4x+3（40﹣x）=114， 解得：x=10 则土豆为 40﹣10=30（千克）； 答：他当天购进黄瓜 10 千克，土豆 30 千克； （2）根据题意得： （4﹣2.4）×10+（5﹣3）×30 =16+60 =76（元）． 答：黄瓜和土豆全部卖完，他能赚 76 元． 点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系，列出方程，再求解．用到的知识点是：单价×数量=总价． 21．如图，已知 Rt △ ABC 中，∠ABC=90°，先把 △ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至 △ DBE 后，再把 △ ABC 沿射线平移至 △ FEG，DE、FG 相交于点 H． （1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由； （2）连接 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形． 考点：旋转的性质；正方形的判定；平移的性质． 专题：几何图形问题． 分析： （1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到 DE、FG 的位置关系是垂直； （2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形 CBEG 是 正方形． 品名 批发价 零售价 黄瓜 2.4 4 土豆 3 5解答： （1）解：FG⊥ED．理由如下： ∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至 △ DBE 后， ∴∠DEB=∠ACB， ∵把 △ ABC 沿射线平移至 △ FEG， ∴∠GFE=∠A， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∴∠DEB+∠GFE=90°， ∴∠FHE=90°， ∴FG⊥ED； （2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE， ∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°， ∴四边形 BCGE 是矩形， ∵CB=BE，∴四边形 CBEG 是正方形． 点评：此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一 点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 22．我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的 综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩 组中值 频数 第一组 90≤x＜100 95 4 第二组 80≤x＜90 85 m 第三组 70≤x＜80 75 n 第四组 60≤x＜70 65 21 根据图表信息，回答下列问题： （1）参加活动选拔的学生共有 50 人；表中 m= 10 ，n= 15 ； （2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩； （3）将第一组中的 4 名学生记为 A、B、C、D，由于这 4 名学生的体育综合水平相差不大，现决定 随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中 A 和 B 的概率．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法． 分析： （1）根据频数分布表可知第一组有 4 人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为 8%， 由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出 n，用学生总数减去 第一、三、四组的频数之和所得的差即为 m 的值； （2）利用组中值求出总数即可得出平均数； （3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中 A 和 B 的概率． 解答： 解：（1）∵第一组有 4 人，所占百分比为 8%， ∴学生总数为：4÷8%=50； ∴n=50×30%=15， m=50﹣4﹣15﹣21=10． 故答案为 50，10，15； （2） = =74.4； （3）将第一组中的 4 名学生记为 A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能 的结果如下表： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由上表可知，总共有 12 种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中 A 和 B 的结果有 2 种， 其概率为= = ． 点评：此题主要考查了扇形图与统计表的综合应用，利用扇形图与统计表相结合获取正确的信息得 出第一组有 4 人，所占百分比为 8%是解决问题的关键． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．如图抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C（0，﹣3），顶点 D 坐标为（﹣1， ﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）如题图（1），求点 A、B 的坐标，并直接写出不等式 ax2+bx+c＞0 的解集； （3）如题图（2），连接 BD、AD，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作直线 PQ∥BD 交线段 AD 于点 Q，求 △ PQD 面积的最大值． 考点：二次函数综合题． 分析： （1）运用顶点式求出解析式即可；（2）求出抛物线与 x 轴的交点坐标，位于 x 轴上方的部分所对应的自变量的取值范围即为所求； （3）根据 PQ∥BD，得到 △ APQ∽△ABD，设 AP=m，由相似三角形的面积比等于相似比的平方求 出 S △ APQ，则 S △ PQD=S △ APD﹣S △ APQ，根据二次函数的性质求出最大值即可． 解答： 解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）2﹣4， 将（0，﹣3）代入，得：﹣3=a（x+1）2﹣4，解得 a=1， ∴抛物线解析式为：y=（x+1）2﹣4； （2）当 y=0 时，（x+1）2﹣4=0，得 x1=1，x2=﹣3 ∴抛物线与 x 轴两交点坐标为：A（﹣3，0），B（1，0）， 对于不等式 ax2+bx+c＞0 的解集，即找到抛物线位于 x 轴上方时，相应的 x 的取值范围． ∴不等式的解集为 x＜﹣3 或 x＞1； （3）设 AP=m S △ PQD=S △ APD﹣S △ APQ ∵直线 PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD 得 ，而 S △ ABD= ×4×4=8， ∴S △ APQ= ， 而 S △ APD= ×m×4=2m， ∴S △ PQD=S △ APD﹣S △ APQ=﹣ +2m， 当 m=2 时，S 最大=2． 点评：本题主要考查了二次函数解析式的求法、一元二次不等式与二次函数的关系、相似三角形的 判定与性质、三角形的面积表示以及运用二次函数性质求最值等知识的综合运用，运用相似三角形 的性质表示出 S △ APQ 和 S △ APD 是解决第 3 小题的关键． 24．如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过点 B 的直线与 CD 的延长 线交于点 F，AC∥BF． （1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF 是⊙O 的切线； （2）若 tan∠F= ，CD=a，请用 a 表示⊙O 的半径； （3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．考点：圆的综合题． 专题：几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据 OA⊥CD 得到∠OAB+∠AGC=90°推 出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到 OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得 CE= CD= a，连接 OC， 设圆的半径为 r，表示出 OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出 r； （3）连接 BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG= ∠F，从而求出 △ BDG 和 △ FBG 相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出 BG2，然后代入等式 左边整理即可得证． 解答： （1）证明：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵OA⊥CD， ∴∠OAB+∠AGC=90°， 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC， ∴∠FBG+∠OBA=90°， 即∠OBF=90°， ∴OB⊥FB， ∵AB 是⊙O 的弦， ∴点 B 在⊙O 上， ∴BF 是⊙O 的切线； （2）解：∵AC∥BF， ∴∠ACF=∠F， ∵CD=a，OA⊥CD， ∴CE= CD= a， ∵tanF= ， ∴tan∠ACF= = ， 即 = ， 解得 AE= a， 连接 OC，设圆的半径为 r，则 OE=r﹣ a， 在 Rt △ OCE 中，CE2+OE2=OC2， 即（ a）2+（r﹣ a）2=r2， 解得 r= a； （3）证明：连接 BD， ∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F， 又∵∠FGB=∠BGF，∴△BDG∽△FBG，∴ = ，即 GB2=DG•GF， ∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF， 即 GF2﹣GB2=DF•GF． 点评：本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角 形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活， 想到计算整理后得证是解题的关键． 25．如图（1），在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=2 ，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上， 且 BP=3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即 以原速度沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动， 点 E、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F 的运动过程中，如图（2）以 EF 为边作等边 △ EFG，使 △ EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧．设运动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）如图（3），当等边 △ EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值； （2）如图（4），当等边 △ EFG 的顶点 G 恰好落在 CD 边上时，求运动时间 t 的值； （3）在整个运动过程中，设等边 △ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请求出 S 与 t 之间的函 数关系式，并写出相应的自变量，的取值范 围． 考点：几何变换综合题． 分析： （1）当边 FG 恰好经过点 C 时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在 Rt △ CBF 中，解直角三角形可 求 t 的值； （2）利用当等边 △ EFG 的顶点 G 恰好落在 CD 边上时，OG 垂直平分 EF，进而得出 t 的值； （3）按照等边 △ EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的图形特点，分为 0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6 四 种情况，分别写出函数关系式． 解答： 解：（1）当边 FG 恰好经过点 C 时，（如图 1） ∠CFB=60°，BF=3﹣t，在 Rt △ CBF 中，BC=2 ， tan∠CFB= ， ∴tan60°= ， ∴BF=2， 即 3﹣t=2， ∴t=1， ∴当边 FG 恰好经过点 C 时，t=1． （2）当点 G 在 CD 边上时，如图 2， 此时 FB=t﹣3，AB=t﹣3， 得 OE=OF． ∴OG 垂直平分 EF ∵OG=AD=2 ， ∴OE= =2， ∴AE=t﹣3=1， 解得：t=4； （3）依题意可知，当 t=3 时，F 点到 B 点，E 点到 A 点；当 t=6 时，E、F 两点相遇，停止运动．分 四种情形讨论： ①当 0＜t≤1 时，如图 3 所示． 此时重叠部分面积 S=S 梯形 BCME= （MC+BE）=BC， ∵MN=2 ， ∴EN=2， 而 BE=OB+OE=3+t， ∴BN=CM=3+t﹣2=1+t S= （1+t+3+t）×2 =2 t+4 ， ②当 1≤t≤3 时，如图 4 所示： 此时重叠部分的面积 S=S 五边形 ECHIM=S △ GEF﹣S △ HCF﹣S △ GMI 此时 PF=t，BE=3﹣t，所以 EF=6， △ GEF 是边长为 6 的正三角形 ∵MN=2 ， ∴ME=4，得 GM=2，三角形 GMI 是边长为 2 的正三角形 ∵CF=3﹣t，∴HC= （3﹣t）， ∴S= ﹣ ×2× ﹣ ×（3﹣t）2× =﹣ （t﹣3）2+8 ； ③当 3＜t≤4 时，如图 5 所示 此时重叠部分的面积 S=S 梯形 EFIM= （EF+MI）MN， 此时，CF=BE=t﹣3，EF=12﹣2t， ∵MN=2 ，∴ME=4，∴MG=12﹣2t﹣4=8﹣2t，三角形 GMI 是边长为 8﹣2t 的正三角形 ∴S= （12﹣2T+8﹣2T）× =﹣4 t+20 ；④当 4＜t≤6 时，如图 6 所示： 此时，CF=BE=t﹣3，EF=12﹣2t，O 为 EF 的中点，GO⊥EF 此时重叠部分的面积 S=S △ GEF= EF•GO， ∵EF=12﹣2t，∴EO=6﹣t，GO= EO= （6﹣t）， ∴S= （12﹣2t）× （6﹣t）= （t﹣6）2， 综上所述：S= ． 点评：本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形的有关知识以及多边形面积求法， 关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论得出．