2016年广东省九年级中考数学模拟试卷3（pdf版含答案）.pdf

第 1 页（共 20 页） 2016 年广东省中考数学模拟试卷（3） （满分 120 分，考试时间为 100 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣ 的绝对值是（ ） A． B．﹣2 C．﹣ D．2 2．为认真贯彻落实党的十八大和中央政治局关于八项规定的精神，厉行节约、反对铺张浪 费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费 5.05 亿元．用科学记数法表示为（ ） A．505×106 元 B．5.05×107 元 C．50.5×107 元 D．5.05×108 元 3．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A．3x﹣2x=1 B．x•x=x2 C．2x+2x=2x2 D．（﹣a3）2=a5 4．在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ） A． B． C． D． 5．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心 对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．下列式子中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 7．不等式组 的解集是（ ） A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2 8．一个不透明的布袋装有 4 个只有颜色的球，其中 2 个红色，1 个白色，1 个黑色，搅匀后 从布袋里摸出 1 个球，摸到红球的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，∠ECD=45°，将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75°，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A． B． C． D． 10．如图，点 A 是反比例函数 y= （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y= ﹣ 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 ． 12．因式分解：a3﹣4a= ． 13．一个多边形的每一个外角都等于 30°，则该多边形的内角和等于 ． 14．若方程 x2+kx+9=0 有两个相等的实数根，则 k= ． 15．如图，DE 为△ ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°，若 AB=6，BC=8，则 EF 的长为 ． 16．如图，在半径为 ，圆心角等于 45°的扇形 AOB 内部作一个正方形 CDEF，使点 C 在 OA 上，点 D、E 在 OB 上，点 F 在弧 AB 上，则阴影部分的面积为 ．（结 果保留 π） 第 3 页（共 20 页） 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算：|1﹣ |﹣2sin45°+（ ）2+ ． 18．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a+2）（ a﹣2），其中 a=﹣1． 19．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°． （1）用尺规在边 BC 上求作一点 P，使 PA=PB（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AP，当∠B 为 度时，AP 平分∠CAB． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20.目前，中国首条水上生态环保公路﹣﹣湖北省兴山县古夫至昭君大桥全线贯通．该条公 路全长 10.5 公里，公路建成后，汽车速度将提高到原来的 3 倍，行驶完全程所用的时间比 建成前节省了 42 分钟．问：现在汽车行驶完全路程需多少时间？ 21．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本 中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A x＜155 B 155≤x＜160 C 160≤x＜165 D 165≤x＜170 E x≥170 第 4 页（共 20 页） 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组； （2）样本中，女生身高在 E 组的人数有 人； （3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160≤x＜170 之间的学生约有多 少人？ 22．边防战士在海拔高度为 50 米（即 CD 的长）的小岛顶部 D 处执行任务，上午 8 点，发 现在海面上的 A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为 30°，该船沿着 AC 方向航行一段时间 后到达 B 处，又测得该船的俯角为 45°，求该船在这一段时间内的航程． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 23．已知二次函数 y=x2﹣kx+k﹣5． （1）求证：无论 k 取何实数，此二次函数的图象与 x 轴都有两个交点； （2）若此二次函数图象的对称轴为 x=1，求它的解析式； （3）若（2）中的二次函数的图象与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C；D 是第四象限函数 图象上的点，且 OD⊥BC 于 H，求点 D 的坐标． 第 5 页（共 20 页） 24．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙O 与点 B，延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF． （1）求证：PB 与⊙O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ACB 的值． 25．如图 1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正 半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4． （1）在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求 D，E 两点的坐标； （2）如图 2，若 AE 上有一动点 P（不与 A，E 重合）自 A 点沿 AE 方向 E 点匀速运动，运 动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（0＜t＜5），过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M，过点 M 作 AE 平行线交 DE 于点 N．求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的 函数关系式；当 t 取何值时，s 有最大值，最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，以 A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求 出相应的时刻点 M 的坐标？ 第 6 页（共 20 页） 2016 年广东省中考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卷中对应题号的方格内） 1．﹣ 的绝对值是（ ） A． B．﹣2 C．﹣ D．2 【考点】绝对值．菁优网版权所有 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：| |= ． 故选 A． 【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝 对值是 0． 2．为认真贯彻落实党的十八大和中央政治局关于八项规定的精神，厉行节约、反对铺张浪 费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费 5.05 亿元．用科学记数法表示为（ ） A．505×106 元 B．5.05×107 元 C．50.5×107 元 D．5.05×108 元 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 5.05 亿用科学记数法表示为：5.05×108． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A．3x﹣2x=1 B．x•x=x2 C．2x+2x=2x2 D．（﹣a3）2=a5 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 菁优网版权所有 【分析】先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则分别求出每个式子 的值，再判断即可． 【解答】解：A、结果是 x，故本选项错误； B、结果是 x2，故本选项正确； C、结果是 4x，故本选项错误； D、结果是 a6，故本选项错误； 故选 B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则的应用，能正 确运用法则进行计算是解此题的关键． 第 7 页（共 20 页） 4．在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有 【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误； B、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误； C、俯视图是一个圆，故本选项错误； D、俯视图是一个正方形，故本选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义．从上面看到的图 形是俯视图． 5．晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心 对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误． 故选 B． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图 重合． 6．下列式子中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式．菁优网版权所有 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个 条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 第 8 页（共 20 页） D、 是最简二次根式； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不 含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 7．不等式组 的解集是（ ） A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分． 【解答】解： ， 由①得，x≥﹣2； 由②得，x≤1； 故不等式组的解集为﹣2≤x≤1． 故选 A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，会找其公共部分是解题的关键． 8．一个不透明的布袋装有 4 个只有颜色的球，其中 2 个红色，1 个白色，1 个黑色，搅匀后 从布袋里摸出 1 个球，摸到红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式．菁优网版权所有 【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【解答】解：因为只有四个球，红球有 2 个，所以从布袋里摸出 1 个球摸到红球的概率 = ． 故选 A． 【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，∠ECD=45°，将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75°，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】旋转的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形． 菁优网版权所有 第 9 页（共 20 页） 【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设 OC=a，则 CN=2a，根据△ CMN 也是 等腰直角三角形设 CM=MN=x，由勾股定理得出 x2+x2=（2a）2，求出 x= a，得出 CD= a， 代入求出即可． 【解答】解：∵将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75°，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上， ∴∠ECN=75°， ∵∠ECD=45°， ∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ONC=30°， 设 OC=a，则 CN=2a， ∵等腰直角三角形 DCE 旋转到△ CMN， ∴△CMN 也是等腰直角三角形， 设 CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2， x= a， 即 CD=CM= a， ∴ = = ， 故选 C． 【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，旋转 性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力， 题目比较好，但有一定的难度． 10．如图，点 A 是反比例函数 y= （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y= ﹣ 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有 【分析】设 A 的纵坐标是 b，则 B 的纵坐标也是 b，即可求得 A、B 的横坐标，则 AB 的长 度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：设 A 的纵坐标是 b，则 B 的纵坐标也是 b． 把 y=b 代入 y= 得，b= ，则 x= ，即 A 的横坐标是 ，； 同理可得：B 的横坐标是：﹣ ． 第 10 页（共 20 页） 则 AB= ﹣（﹣ ）= ． 则 S□ABCD= ×b=5． 故选 D． 【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解 A、B 的纵坐标是同一个值， 表示出 AB 的长度是关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将下列各题的正确答案填写在答 题卷相应的位置上） 11．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x≠3 ． 【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有 【分析】根据分母不等于 0 列式进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0， 解得 x≠3． 故答案为：x≠3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．因式分解：a3﹣4a= a（a+2）（ a﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 菁优网版权所有 【专题】因式分解． 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（ a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（ a﹣2）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键． 13．一个多边形的每一个外角都等于 30°，则该多边形的内角和等于 1800° ． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【分析】多边形的外角和是 360 度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的 内角和定理即可求解． 【解答】解：多边形的边数是： =12． 则内角和是：（12﹣2）•180=1800° 【点评】本题主要考查了多边形的内角之间之间的关系．根据多边形的外角和不随边数的变 化而变化，转化为考虑内角的关系可以把问题简化． 14．若方程 x2+kx+9=0 有两个相等的实数根，则 k= ±6 ． 【考点】根的判别式．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】根据根判别式△ =b2﹣4ac 的意义得到△ =0，即 k2﹣4×1×9=0，然后解方程即可． 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：∵方程 x2+kx+9=0 有两个相等的实数根， ∴△=0，即 k2﹣4•1•9=0，解得 k=±6． 故答案为±6． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△ =b2﹣4ac：当 △ ＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0，方程没有实数 根． 15．如图，DE 为△ ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°，若 AB=6，BC=8，则 EF 的长为 1 ． 【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 DF 的长度，根据三角形的中位 线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 DE 的长，然后相减即可得到 EF 的长． 【解答】解：∵DE 为△ ABC 的中位线，∠AFB=90°， ∴DE= BC，DF= AB， ∵AB=6，BC=8， ∴DE= ×8=4，DF= ×6=3， ∴EF=DE﹣DF=4﹣3=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 熟记定理与性质是解题的关键． 16．如图，在半径为 ，圆心角等于 45°的扇形 AOB 内部作一个正方形 CDEF，使点 C 在 OA 上，点 D、E 在 OB 上，点 F 在弧 AB 上，则阴影部分的面积为 ﹣3 ．（结果 保留 π） 【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有 【分析】阴影部分的面积即为半径为 ，圆心角等于 45°的扇形 AOB 面积减去正方形的 面积和等腰直角三角形的面积． 【解答】解：连接 OF， ∵∠AOD=45°，四边形 CDEF 是正方形， ∴OD=CD=DE=EF， 第 12 页（共 20 页） 于是在 Rt△ OFE 中，OE=2EF， ∵OF= ，EF2+OE2=OF2， ∴EF2+（2EF）2=10， 解得：EF= ， ∴EF=OD=CD= ， ∴S 阴影=S 扇形 OAB﹣S△ OCD﹣S 正方形 CDEF= ﹣ ﹣ = ﹣3， 故答案为： ﹣3． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，熟练掌握弧长公式 l= ，是解题的 关键． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 17．计算：|1﹣ |﹣2sin45°+（ ）2+ ． 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值． 菁优网版权所有 【专题】计算题；实数． 【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利 用乘方的意义计算，最后一下利用立方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：原式= ﹣1﹣2× + +2=1 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a+2）（ a﹣2），其中 a=﹣1． 【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并代入求得答案即可． 【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2+4 =﹣4a+8 当 a=﹣1 时， 原式=4+8=12． 【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握运算方法是解决问题的关键． 19．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90°． （1）用尺规在边 BC 上求作一点 P，使 PA=PB（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 AP，当∠B 为 30 度时，AP 平分∠CAB． 第 13 页（共 20 页） 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 菁优网版权所有 【专题】作图题． 【分析】（1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图， （2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B． 【解答】解：（1）如图， （2）如图， ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 如果 AP 是角平分线，则∠PAB=∠PAC， ∴∠PAB=∠PAC=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°， ∴∠B=30°时，AP 平分∠CAB． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边 对等角的知识． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 20.目前，中国首条水上生态环保公路﹣﹣湖北省兴山县古夫至昭君大桥全线贯通．该条公 路全长 10.5 公里，公路建成后，汽车速度将提高到原来的 3 倍，行驶完全程所用的时间比 建成前节省了 42 分钟．问：现在汽车行驶完全路程需多少时间？ 第 14 页（共 20 页） 【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有 【分析】设现在汽车行驶完全路程需 x 分钟，则公路建成前汽车行驶完全路程需（x+42） 分钟，根据公路建成后，汽车速度将提高到原来的 3 倍列出方程，解方程即可． 【解答】解：设现在汽车行驶完全路程需 x 分钟，则公路建成前汽车行驶完全路程需（x+42） 分钟，根据题意得 =3× ， 解得 x=21． 经检验，x=21 是原方程的解． 答：现在汽车行驶完全路程需 21 分钟． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本 中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 身高情况分组表（单位：cm） 组别 身高 A x＜155 B 155≤x＜160 C 160≤x＜165 D 165≤x＜170 E x≥170 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 B 组，中位数在 C 组； （2）样本中，女生身高在 E 组的人数有 2 人； （3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160≤x＜170 之间的学生约有多 少人？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位 数；众数．菁优网版权所有 【专题】图表型． 【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可； （2）先求出女生身高在 E 组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解； （3）分别用男、女生的人数乘以 C、D 两组的频率的和，计算即可得解． 【解答】解：∵B 组的人数为 12，最多， 第 15 页（共 20 页） ∴众数在 B 组， 男生总人数为 4+12+10+8+6=40， 按照从低到高的顺序，第 20、21 两人都在 C 组， ∴中位数在 C 组； （2）女生身高在 E 组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同， ∴样本中，女生身高在 E 组的人数有 40×5%=2 人； （3）400× +380×（25%+15%）=180+152=332（人）． 答：估计该校身高在 160≤x＜170 之间的学生约有 332 人． 故答案为（1）B，C；（ 2）2． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取 信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22．边防战士在海拔高度为 50 米（即 CD 的长）的小岛顶部 D 处执行任务，上午 8 点，发 现在海面上的 A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为 30°，该船沿着 AC 方向航行一段时间 后到达 B 处，又测得该船的俯角为 45°，求该船在这一段时间内的航程． 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】根据题意得出∠EDA=30°，∠EDB=45°，CD=50 米，由 DE∥CA，CD⊥CA 所以， ∠DAC=30°，∠DBC=45°，得出 AC= 进而求出． 【解答】解：依题意∠EDA=30°，∠EDB=45°，CD=50 米． ∵DE∥CA，CD⊥CA ∴∠DAC=30°，∠DBC=45°． ∵AC= =50 米，BC=DC=50 米． ∴该船在这一段时间内的航程 AB 是（50 ﹣50）米． 答：该船在这一段时间内的航程（50 ﹣50）米． 【点评】此题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的 定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题． 五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 第 16 页（共 20 页） 23．已知二次函数 y=x2﹣kx+k﹣5． （1）求证：无论 k 取何实数，此二次函数的图象与 x 轴都有两个交点； （2）若此二次函数图象的对称轴为 x=1，求它的解析式； （3）若（2）中的二次函数的图象与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C；D 是第四象限函数 图象上的点，且 OD⊥BC 于 H，求点 D 的坐标． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】综合题． 【分析】（1）根据二次函数与二次方程的对应关系，可判断出二次方程 x2﹣kx+k﹣5=0 有两 个不同的根，易得此二次函数的图象与 x 轴都有两个交点； （2）根据对称轴的方程易得 k 的值，将 k 的值代入可得解析式； （3）根据解析式，易得 ABC 的坐标，进而可得 BC 的斜率，根据垂直的判定方法，可得 OD 的斜率，解可得 x 的值，即可得 D 的坐标． 【解答】（1）证明：对于二次方程：x2﹣kx+k﹣5=0， 有△ =（﹣k）2﹣4k+20=k2﹣4k+4+16=（k﹣2）2+16＞0； 可得其必有两个不相等的根； 故无论 k 取何实数，此二次函数的图象与 x 轴都有两个交点． （2）解：若此二次函数图象的对称轴为 x=1， 则对称轴的方程为﹣ （﹣k）=1，k=2； 易得它的解析式为 y=x2﹣2x﹣3． （3）解：若函数解析式为 y=x2﹣2x﹣3； 易得其与 x 轴的交点坐标为 A（﹣1，0）B（3，0）； 与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，﹣3）； BC 的解析式为：y=x﹣3； 设 D 的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），由 OD⊥BC，图象过（0，0），则 OD 的解析式为：y=﹣x， 易得 x2﹣2x﹣3=﹣x； 故 x= ， 解可得 D 的坐标为（ ，﹣ ） 【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力． 第 17 页（共 20 页） 24．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙O 与点 B，延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF． （1）求证：PB 与⊙O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ACB 的值． 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）连接 OA，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，即 OP 垂直 平分 AB，可得出 AP=BP，再由 OA=OB，OP=OP，利用 SSS 得出三角形 AOP 与三角形 BOP 全等，由 PA 为圆的切线，得到 OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定 义得到 OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似，由相似得比例， 列出关系式，由 OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证． （3）连接 BE，构建直角△ BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可 设 BE=x，BF=2x，进而可得 EF= x；然后由面积法求得 BD= x，所以根据垂径定理 求得 AB 的长度，在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理易求 BC 的长；最后由余弦三角函数的定 义求解． 【解答】（1）证明：连接 OA， ∵PA 与圆 O 相切， ∴PA⊥OA，即∠OAP=90°， ∵OP⊥AB， ∴D 为 AB 中点，即 OP 垂直平分 AB， ∴PA=PB， ∵在△ OAP 和△ OBP 中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP⊥OB， 则直线 PB 为圆 O 的切线； （2）答：EF2=4DO•PO． 证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA， ∴△OAD∽△OPA， ∴ = ，即 OA2=OD•OP， 第 18 页（共 20 页） ∵EF 为圆的直径，即 EF=2OA， ∴ EF2=OD•OP，即 EF2=4OD•OP； （3）解：连接 BE，则∠FBE=90°． ∵tan∠F= ， ∴ = ， ∴可设 BE=x，BF=2x， 则由勾股定理，得 EF= = x， ∵ BE•BF= EF•BD， ∴BD= x． 又∵AB⊥EF， ∴AB=2BD= x， ∴Rt△ ABC 中，BC= x， AC2+AB2=BC2， ∴122+（ x）2=（ x）2， 解得：x=4 ， ∴BC=4 × =20， ∴cos∠ACB= = = ． 【点评】此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数 关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 25．如图 1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正 半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4． （1）在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求 D，E 两点的坐标； （2）如图 2，若 AE 上有一动点 P（不与 A，E 重合）自 A 点沿 AE 方向 E 点匀速运动，运 动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为 t 秒（0＜t＜5），过 P 点作 ED 的平行线交 第 19 页（共 20 页） AD 于点 M，过点 M 作 AE 平行线交 DE 于点 N．求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 t 之间的 函数关系式；当 t 取何值时，s 有最大值，最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，以 A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求 出相应的时刻点 M 的坐标？ 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题；动点型． 【分析】（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形 ABE 中，用 勾股定理求出 BE 的长，进而可求出 CE 的长，也就得出了 E 点的坐标． 在直角三角形 CDE 中，CE 长已经求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可 求出 OD 的长，也就求出了 D 点的坐标． （2）很显然四边形 PMNE 是个矩形，可用时间 t 表示出 AP，PE 的长，然后根据相似三角 形 APM 和 AED 求出 PM 的长，进而可根据矩形的面积公式得出 S，t 的函数关系式，根据 函数的性质即可得出 S 的最大值及对应的 t 的值． （3）本题要分两种情况进行讨论： ①ME=MA 时，此时 MP 为三角形 ADE 的中位线，那么 AP= ，据此可求出 t 的值，过 M 作 MF⊥OA 于 F，那么 MF 也是三角形 AOD 的中位线，M 点的横坐标为 A 点横坐标的一 半，纵坐标为 D 点纵坐标的一半．由此可求出 M 的坐标． ②当 MA=AE 时，先在直角三角形 OAD 中求出斜边 AD 的长，然后根据相似三角形 AMP 和 ADE 来求出 AP，MP 的长，也就能求出 t 的值．根据折叠的性质，此时 AF=AP，MF=MP， 也就求出了 M 的坐标． 【解答】解：（1）依题意可知，折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴， ∴在 Rt△ ABE 中，AE=AO=5，AB=4．BE= =3． ∴CE=2．∴E 点坐标为（2，4）． 在 Rt△ DCE 中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．解得：OD= ．∴D 点坐标为（0， ）． （2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴ ， 又知 AP=t，ED= ，AE=5，PM= × = ， 又∵PE=5﹣t．而显然四边形 PMNE 为矩形． S 矩形 PMNE=PM•PE= ×（5﹣t）=﹣ t2+ t； ∴S 四边形 PMNE=﹣ （t﹣ ）2+ ， 第 20 页（共 20 页） 又∵0＜ ＜5． ∴当 t= 时，S 矩形 PMNE 有最大值 ． （3）（ i）若以 AE 为等腰三角形的底，则 ME=MA（如图①） 在 Rt△ AED 中，ME=MA， ∵PM⊥AE，∴P 为 AE 的中点，∴t=AP= AE= ． 又∵PM∥ED， ∴M 为 AD 的中点． 过点 M 作 MF⊥OA，垂足为 F，则 MF 是△ OAD 的中位线， ∴MF= OD= ，OF= OA= ， ∴当 t= 时，（0＜ ＜5）， △ AME 为等腰三角形． 此时 M 点坐标为（ ， ）． （ii）若以 AE 为等腰三角形的腰，则 AM=AE=5（如图②） 在 Rt△ AOD 中，AD= = = ． 过点 M 作 MF⊥OA，垂足为 F． ∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴ ． ∴t=AP= = =2 ，∴PM= t= ． ∴MF=MP= ，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2 ， ∴当 t=2 时，（0＜2 ＜5），此时 M 点坐标为（5﹣2 ， ）． 综合（i）（ ii）可知，t= 或 t=2 时，以 A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形， 相应 M 点的坐标为（ ， ）或（5﹣2 ， ）． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性 质以及二次函数的综合应用等知识点，综合性较强．