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第6讲 抛物线
1．(2016·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.抛物线x2＝y的焦点坐标是.
2．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，抛物线准线方程为x＝－.
设M(a，b)，由抛物线的定义可知，
点M到准线的距离为，
所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，
解得b＝±，
所以S△MFO＝××＝.
3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P.
4．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝12x B．y2＝－8x
C．y2＝6x D．y2＝－4x
解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可得|x1|＋|x2|＋p＝8，又AB的中点到
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y轴的距离为2，即|x1|＋|x2|＝4，所以p＝4，所以y2＝－8x.故选B.
5．(2016·云南省第一次检测)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果·＝－12，那么抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：选C.由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12⇒p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.
6．(2016·衡水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( )
A．在C1开口内 B．在C1上
C．在C1开口外 D．与p值有关
解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B.
7．(2016·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．
解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8.
所以抛物线方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
8．(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.
所以x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，所以x0＝.
所以水面宽|CD|＝2 m.
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答案：2
9．(2016·南昌质检)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．
解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
因为>2，所以A在抛物线内部．
如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2，2)．
答案：(2，2)
10．(2016·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为4，则抛物线方程为________．
解析：由双曲线方程5x2－y2＝20知其渐近线方程为y＝±x，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，故其准线方程为x＝－，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令A，B，故S△ABO＝×p×＝p2＝4，解得p2＝16，又因为p>0，所以p＝4，故抛物线方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
11．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
1．(2016·四川省成都七中一诊)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1，0)，则的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过P作PN垂直x＝－1于N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，当＝最小时，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
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所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，＝＝cos∠NPA＝，故选B.
2．已知抛物线x2＝2y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：由x2＝2y，得y＝x2，所以y′＝x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，所以过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，又x＝2y1，所以切线方程为y＝x1x－，同理可得过点Q的切线方程为y＝x2x－，
两切线方程联立解得
又抛物线焦点F的坐标为，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝mx＋，由得x2－2mx－1＝0，
所以x1x2＝－1，所以yA＝－.
答案：－
3．已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．
(1)求曲线E的方程；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：(1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，
故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.
(2)由方程组消去x后，
整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2， y2)，
由根与系数的关系有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．
所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|，
＝|ON||y1－y2|＝×1×＝ .
因为S△OAB＝，
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所以 ＝，
解得k＝±.
4．(2016·石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．
解：(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x＝－的距离，
由抛物线的定义可知圆心的轨迹方程为y2＝2x.
(2)设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，
直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，
又圆心(1，0)到PB的距离为1，
＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，
同理可得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，
所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，
所以b＋c＝，bc＝，
依题意得bc2，则(b－c)2＝，
因为y＝2x0，所以|b－c|＝，所以S＝|b－c||x0|＝(x0－2)＋＋4≥8，
当x0＝4时，不等式等号成立，
所以△PBC面积的最小值为8.
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