高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理北师大版121.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条　　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．‎ ‎2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1，]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ 解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，‎ 所以e＝＝＞＝.‎ ‎3．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为(　　)‎ A．6 B．2 C. D．2 解析：选D.设双曲线C1的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知抛物线C2的焦点为(3，0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9，将x＝－3代入双曲线方程，解得y＝±，又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，所以2×＝4，与a2＋b2＝9联立得，a2＋‎2a－9＝0，解得a＝，故双曲线C1的实轴长为2，故选D.‎ ‎4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)‎ A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.‎ ‎5．(2016·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选C.由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得 消去y得(‎10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1，故选C.‎ ‎6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C. D. 解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2， y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.‎ ‎7．(2016·宜宾模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：由题意得|PF2|＝，又|F‎1F2|＝|PF2|，所以‎2c＝，因为b2＝a2－c2，所以c2＋‎2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±，又00)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求·的取值范围．‎ 解：(1)由题意知e＝＝，‎ 所以e2＝＝＝，‎ 所以a2＝b2.‎ 因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)，　‎ 所以b＝，所以a2＝4，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则·＝－4，‎ 当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，‎ 由⇒(‎3m2‎＋4)y2＋24my＋36＝0，‎ 由Δ>0⇒(‎24m)2－4×(‎3m2‎＋4)×36>0⇒m2>4，‎ 设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．‎ 因为y1＋y2＝－，y1y2＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋‎4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝－4，‎ 因为m2>4，所以·∈.‎ 综上所述，·的取值范围为.‎ ‎1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ 所以 F1(－，0)，F2(，0)，‎ 所以 ＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ 因为 ·＜0，所以 (－－x0)(－x0)＋y＜0，‎ 即x－3＋y＜0.‎ 因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以－y＝1，‎ 即x＝2＋2y，‎ 所以2＋2y－3＋y＜0，所以－＜y0＜.故选A.‎ ‎2．(2015·高考山东卷)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为‎2a，则C的离心率为________．‎ 解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为‎2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(‎2a，－b)，代入直线方程得－b＝(‎2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案：2＋ ‎3．(2016·衡水调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F‎1F2|＝2，点在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ 解：(1)由题意知c＝1，‎2a＝＋ ＝4，a＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当直线l⊥x轴时，可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得：‎ ‎(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 可得|AB|＝，‎ 又圆F2的半径r＝，‎ 所以△AF2B的面积为|AB|r ‎＝＝，‎ 化简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，‎ 所以r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎4．(2015·高考湖南卷)已知抛物线C1 ：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．‎ 解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．‎ 因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为，‎ 所以＋＝1.②‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 联立①②，得a2＝9，b2＝8.‎ 故C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，‎ D(x4，y4)．‎ 因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 由得x2－4kx－4＝0.‎ 而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④‎ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.‎ 而x3，x4是这个方程的两根，所以 x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤‎ 将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，‎ 即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，‎ 解得k＝±，即直线l的斜率为±.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费