高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆知能训练轻松闯关理北师大版113.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第5讲 椭圆 ‎1．(2016·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋y2＝1　　　　　　 B．x2＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选C.依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有，由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1.‎ ‎2．(2016·淮南模拟)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D.或21‎ 解析：选C.若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，‎ 由＝，即＝，‎ 解得k＝－；‎ 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝21.‎ ‎3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选D.依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为‎2c＝|AB|＝4，长轴长‎2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.‎ ‎4．(2016·烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选A.设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 PF1|，|F‎1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F‎1F2|，即‎2a＝2·‎2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.‎ ‎5．(2016·江西省九校模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率e的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，结合题目条件可得四边形AFBF′为矩形，则有|AB|＝|FF′|＝‎2c，结合椭圆定义有|AF|＋|BF|＝‎2a，而|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos α，则有2csin α＋2ccos α＝‎2a，则e＝＝＝，而α∈，则α＋∈，那么sin∈，‎ 故e∈.‎ ‎6．(2016·唐山质检)已知动点P(x，y)在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||＝1，且·＝0，则||的最小值为(　　)‎ A. B．3‎ C. D．1‎ 解析：选A.由题意得F(3，0)，|PM|2＝|PF|2－|MF|2≥(a－c)2－1＝(5－3)2－1＝3.所以||min＝.‎ ‎7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．‎ 解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤‎2c2，‎ 所以≤.又0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为‎2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 Γ的一个交点M满足∠MF‎1F2＝2∠MF‎2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ 解析：已知F1(－c，0)，F2(c，0)，‎ 直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为，‎ 所以倾斜角∠MF‎1F2＝60°.‎ 因为∠MF‎2F1＝∠MF‎1F2＝30°，‎ 所以∠F1MF2＝90°，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.‎ 由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝‎2a，‎ 所以离心率e＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．已知P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为两焦点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．‎ 解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.‎ 答案：7‎ ‎10．(2016·石家庄一模) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，∠F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过点F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为点R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为________．‎ 解析：延长F1R交F2P的延长线于点R′，则|F1R|＝|RR′|，|F1P|＝|PR′|，所以|R′F2|＝|R′P|＋|PF2|＝|F1P|＋|PF2|＝‎2a.因为R，O分别是F1R′，F‎1F2的中点，所以|OR|＝a.同理可得|OS|＝a.因此R，S的轨迹是以原点O为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2＋y2＝a2，故R，S所形成的图形的面积为πa2.‎ 答案：πa2‎ ‎11．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；‎ ‎(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．‎ 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.‎ 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，　‎ 由已知条件得 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎12.(2015·高考陕西卷)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ 解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，‎ 解得离心率＝.‎ ‎(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，‎ x1x2＝.‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，‎ 解得k＝.‎ 从而x1x2＝8－2b2.‎ 于是|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝ ＝.‎ 由|AB|＝，得＝，‎ 解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ 法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，‎ 且|AB|＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得 ‎－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. ‎ 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，‎ 所以AB的斜率kAB＝＝.‎ 因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，‎ 代入①得 x2＋4x＋8－2b2＝0.‎ 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.‎ 于是|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝＝.‎ 由|AB|＝，得＝，‎ 解得b2＝3.‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎1．(2016·济南模拟)在椭圆＋＝1内，通过点M(1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为(　　)‎ A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0‎ C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0‎ 解析：选C.设过点M(1，1)的直线l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减可得，＋＝0，即kl＝＝－＝－，故所求的直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0.‎ ‎2．(2016·陕西省五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．‎ 解析：设椭 圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝‎2a.‎ 又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝‎4a，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．‎ 此时‎4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，‎ 所以c＝2，所以e＝＝.‎ 答案： ‎3．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．　‎ ‎(1)求椭圆G的方程；‎ ‎(2)求△PAB的面积．‎ 解：(1)由已知得c＝2，e＝＝.‎ 解得a＝2.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m.‎ 由，得4x2＋6mx＋‎3m2‎－12＝0.①‎ 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)，‎ 由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，‎ 得 则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，‎ Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.‎ 由根与系数的关系知 又由＝2，‎ 即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，‎ 得－x1＝2x2，故 可得＝－2，‎ 整理得(‎9m2‎－4)k2＝8－‎2m2‎，‎ 又‎9m2‎－4＝0时不符合题意，所以k2＝>0，‎ 解得