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第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1
解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.
2．(2016·泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：选D.圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，半径r＝2，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝＝2，所以弦AB的长为2＝2＝4.
3．(2016·甘肃省诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
解析：选C.由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.
4．(2015·高考安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：选D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12.
5．(2016·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，点M(t，2)，若C上存在两点A，B满足＝，则t的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－3，3]
C．[－，] D．[－5，5]
解析：
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选C.如图，连接OM交圆于点D.
因为＝，所以A是MB的中点，
因为圆x2＋y2＝1的直径是2，
所以MA＝AB≤2.
又因为MD≤MA，OD＝1，
所以OM≤3.
即点M到原点的距离小于等于3，
所以t2＋4≤9，所以－≤t≤.
6．(2016·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D.圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0，1)，半径是r＝1，
因为PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
因为k＞0，
所以k＝2，故选D.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．
解析：设A(a，0)，由题意可得A，P，C，Q四点共圆，且AC是该圆的一条直径，记该圆的圆心为D，则圆D的方程为x2＋y2－ax－3y＝0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦，又圆C的方程为x2＋y2－6y＋7＝0，所以两圆方程相减可得PQ：ax－3y＋7＝0，则圆心C到直线PQ的距离d＝，又a2≥0，所以d∈，所以|PQ|＝2∈.
答案：
8．(2016·云南省统一检测)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图像在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________．
解析：由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又因为f′(x)＝3x2＋a，所以f(x)的图像在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，
所以＝⇒a＝－，
所以b＝，
所以3a＋2b＝－7.
答案：－7
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9．(2016·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
解析：四边形PACB的面积可表示为S＝2××|PA|×1＝|PA|＝，故当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小．而|PC|的最小值是点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，此时|PC|＝3，故Smin＝2.
答案：2
10．过直线x＋y－2＝0上的点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：因为点P在直线x＋y－2＝0上，
所以可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.
因为两条切线的夹角为60°，
所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有|OP|
＝2|OM|＝2.
由两点间的距离公式得
|OP|＝ ＝2，
解得x0＝.
故点P的坐标是(，)．
答案：(，)
11．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，所以b＝1±2，
所以切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，
所以m＝±5，
所以切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)因为kAC＝＝，
所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
12．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
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因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，解得＜k＜.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
1．(2016·南昌模拟)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l的倾斜角为( )
A．150° B．135°
C．120° D．不存在
解析：选A.由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，
以为半径的半圆，其图像如图所示．
设过点P(2，0)的直线为y＝k(x－2)，
则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2
＝2 ，
所以S△AOB＝××2＝1，解得k2＝，由图可得
k＝－，
故直线l的倾斜角为150°.
2．(2016·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是________．
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解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝4.
先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2”．
再将“直线上存在点P到圆心的距离为2”转化为“圆心到直线的距离小于等于2”．
即≤2，－2≤k≤2.
答案：[－2，2]
3．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得的弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0，4]上变化时，求m的取值范围．
解：(1)因为x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，
所以(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，
所以圆心为C(－a，a)，半径为r＝2，
设直线l被圆C所截得的弦长为2t，当m＝4时，直线l：x－y＋4＝0，
圆心C到直线l的距离为d＝＝·|a－2|，
则t2＝(2)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0＜a≤4，
所以当a＝3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2.
(2)圆心C到直线l的距离为
d＝＝，
因为直线l是圆C的切线，所以d＝r，即＝2，
所以m＝2a±2，又因为直线l在圆心C的下方，
所以m＝2a－2＝(－1)2－1，
因为a∈(0，4]，所以m的取值范围是[－1，8－4]．
4．已知曲线C的方程为：ax2＋ay2－2a2x－4y＝0(a≠0，a为常数)．
(1)判断曲线C的形状；
(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
(3)设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|＝|ON|，求曲线C的方程．
解：(1)将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－y＝0⇒(x－a)2＋＝a2＋，
可知曲线C是以点为圆心，以 为半径的圆．
(2)△AOB的面积S为定值．
证明如下：在曲线C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得点A(2a，0)，
在曲线C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得点B，
所以S＝|OA|·|OB|
＝·|2a|·＝4.(定值)
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(3)因为圆C过坐标原点，
且|OM|＝|ON|，
所以OC⊥MN，所以＝，
所以a＝±2，
当a＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为，
圆心到直线l：y＝－2x＋4的距离d＝＝＞，
直线l与圆C相离，不合题意舍去，
a＝2时符合题意．
这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.
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